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      關(guān)于Hardmard乘積下和幻方跡的若干不等式

      2020-04-09 13:36:26劉娟娟劉興祥
      關(guān)鍵詞:數(shù)域幻方乘積

      劉娟娟,劉興祥,張 婧

      (延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安716000)

      幻陣學(xué)是矩陣?yán)碚撝蟹浅V匾膬?nèi)容,其廣泛應(yīng)用于密碼學(xué)、文件管理、人口流動等方面。而幻陣學(xué)對于研究矩陣不等式的相關(guān)問題也有很大價(jià)值和影響,其中幻陣學(xué)的分支——和幻方的定義及其跡的不等式前人還沒有研究過。本文在給出和幻方相關(guān)定義的基礎(chǔ)上,主要研究了關(guān)于Hardmard乘積下和幻方跡的幾個(gè)簡單的不等式,對于豐富矩陣不等式的研究內(nèi)容,完善矩陣不等式的框架體系具有重要意義。

      1 和幻方的相關(guān)定義

      定義1 設(shè)F是數(shù)域,如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

      則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階弱和幻方,并稱Sw為數(shù)域F上n階弱和幻方A的弱幻和。

      定義2 設(shè)F是數(shù)域,如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

      則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階和幻方,并稱S為數(shù)域F上n階和幻方A的幻和。

      2 矩陣不等式

      角元,則有tr(A°B)≤trA·trB。

      由Cacuchy不等式可知tr(A°B)≤trA·trB成立。

      引理4[5,6]設(shè)A為n×n階Hermite半正定矩陣,則trAn≤(trA)n。

      3 和幻方的不等式

      定理1 設(shè)矩陣A,B分別為數(shù)域F上的n階和幻方,幻和分別為SA,SB,其中A=C*C,B=D*D,C,D為數(shù)域F上的n階Hermite半正定矩陣,則tr(A°B)2≤(SA·SB)2。

      (SA)2(SB)2=(SA·SB)2,

      所以tr(A°B)2≤(SA·SB)2成立。

      推論1 設(shè)矩陣A,B分別為數(shù)域F上的n階和幻方,幻和分別為SA,SB,其中A=C*C,B=D*D,C,D為數(shù)域F上的n階Hermite半正定矩陣,則tr(A°B)n≤(SA·SB)n。

      (SA)n(SB)n=(SA·SB)n,

      所以tr(A°B)n≤(SA·SB)n成立。

      證明:采用第一數(shù)學(xué)歸納法來證明:

      n=1,trA1=SA1,

      n=2,tr(A1°A2)=trA1·trA2=SA1·SA2,

      假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即

      當(dāng)n=k+1時(shí)

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