王立玲,董力元,馬 東,劉秀玲,王洪瑞

(河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院,河北保定 071002;河北省數(shù)字醫(yī)療工程重點實驗室,河北保定 071002)

1 引言

近年來輪式移動機器人在軍事民用工程領(lǐng)域發(fā)揮著越來越多的作用,如掃雷、偵察、醫(yī)院任務(wù)、物流搬運等,其軌跡跟蹤控制問題引起了很多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.目前,解決輪式移動機器人軌跡跟蹤問題的方法主要有反步法控制[1–2]、滑?？刂芠3–4]、自適應(yīng)控制[5–6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[7–8]等.

在上述文獻(xiàn)中,都假設(shè)輪式移動機器人滿足“理想的非完整約束”條件.即,機器人在運動中始終保持“純滾動無滑動”狀態(tài).然而,輪式移動機器人工作環(huán)境是十分復(fù)雜的.由于冬天道路結(jié)冰,雨天道路潮濕或者快速轉(zhuǎn)彎等情況,輪式移動機器人就可能發(fā)生側(cè)向滑動和縱向打滑,破壞了機器人的理想非完整約束.因此,研究滑動與打滑下的輪式移動機器人的軌跡跟蹤控制很有意義.

目前對滿足理想的非完整約束的輪式移動機器人動力學(xué)建模研究比較廣泛,但對其在滑動與打滑條件下的建模研究相對缺乏.首先Wang等建立了具有滑動與打滑的輪式移動機器人運動學(xué)模型,并驗證了其打滑下軌跡跟蹤的可控性和可操作性[9].Kang和Chen等依據(jù)滑動與打滑下的輪式移動機器人動力模型,分別提出了一種基于廣義擴展?fàn)顟B(tài)觀測器[10]的魯棒跟蹤控制器[11]和基于擾動觀測器的魯棒跟蹤控制器[12].Yoo 提出了一種適用于輪式移動機器人在滑動與打滑下的自適應(yīng)跟蹤控制方法,該算法同時考慮到發(fā)生滑動和打滑存在的扭矩飽和,但是對機器人動力學(xué)系統(tǒng)不確定性的影響考慮不足[13].Cui等基于輪子產(chǎn)生縱向滑動時的移動機器人運動學(xué)模型,提出了一種自適應(yīng)跟蹤控制策略,由于沒考慮到輪式移動機器不確定性問題,該控制器的魯棒性不太理想[14].針對含有未知擾動的非線性時變系統(tǒng),提出了一種基于線性擴展觀測器的自抗擾控制方法[15].

本文主要研究了滑動與打滑下的輪式移動機器人(wheeled mobile robots,WMR)軌跡跟蹤問題.受到文獻(xiàn)[15]的啟發(fā),本文設(shè)計了一種基于線性擴展觀測器的自抗擾動力學(xué)控制器.首先建立了WMR在滑動與打滑下的動力學(xué)模型,然后利用反步法設(shè)計運動學(xué)控制器,基于模型設(shè)計線性擴張觀測器和自抗擾動力學(xué)控制器并證明了動力學(xué)系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的.最后仿真結(jié)果驗證了本文控制器具有收斂速度快和魯棒性強的特點.

2 問題描述

本文以質(zhì)心與幾何中心重合的輪式移動機器人為研究對象,前輪為萬向輪,僅起支撐作用,兩個后輪為獨立驅(qū)動.假設(shè)OXY為全局坐標(biāo)系,PoXoYo為局部坐標(biāo)系.滑動與打滑條件下的WMR模型如圖1所示.

圖1 輪式移動機器人模型Fig.1 Wheeled mobile robots model

圖1中:r為WMR的半徑,b為WMR兩驅(qū)動輪距離的一半,mc為WMR的主體質(zhì)量;mw為帶有電機的WMR驅(qū)動輪的質(zhì)量;Ic為WMR通過的Po關(guān)于車軸慣性力矩,Iw為WMR驅(qū)動輪關(guān)于車軸的慣性力矩,Im為WMR驅(qū)動輪關(guān)于半徑的慣性力矩;ξ為縱向打滑時WMR 驅(qū)動輪的角速度擾動向量.

定義輪式移動機器人位姿為q=[x y θ θrθl]T,在滑動與打滑條件下,輪式移動機器人的非完整約束方程為

其中:(x,y)為Po在滑動與打滑下全局坐標(biāo)系的坐標(biāo),θ為WMR的方位角,θl和θr分別為左右驅(qū)動輪旋轉(zhuǎn)的角度.ξl,ξr和μ分別為WMR左右驅(qū)動輪的打滑時角速度擾動和WMR側(cè)向滑動擾動,大小取決于車輪與道路狀況等.

為簡化非完整約束(1),本文可以用矩陣重寫它們?nèi)缦?

選擇一滿秩矩陣S(q)為A(q)零空間的一組基,使得A(q)S(q)=0.

在滑動與打滑下的輪式移動機器人的運動學(xué)方程可表示為

其中:

v和w分別為WMR的線速度和角速度,ζv和ζw分別為縱向打滑引起的WMR的縱向打滑擾動和橫擺率擾動,?(q,μ)是車輪發(fā)生側(cè)向滑動時引起的擾動向量[11].

假設(shè)1擾動ζv,ζw,?(q,μ)為連續(xù)有界的,它們的一階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)有界的,其中:βd2,∥?(q,μ)∥<βd3,βi,βdi,i=1,2,3是未知的正常數(shù).

輪式移動機器人的動力學(xué)模型一般可以描述為[13]

考慮到WMR受到滑動與打滑以及外界對自身的干擾的影響,本文應(yīng)該考慮其動力學(xué)模型參數(shù)不確定性和未知動力學(xué)輸入干擾,因此式(5)改寫如下:

由于假設(shè)WMR在水平地面上運行,G(q)=0,重寫式(6),如下所示:

定義d為WMR模型不確定性變化量?(q),未知輸入擾動τd和滑動與打滑引起擾動向量ζ和?(q,μ)的集總擾動,且d是有界可導(dǎo)的.

3 反步法運動學(xué)控制設(shè)計

在軌跡跟蹤中,只需知道位姿q中的坐標(biāo)和方位角,本文重新定義輪式移動機器人位姿為q=[x y θ]T,則有

假設(shè)2輪式移動機器人在全局坐標(biāo)系下的參考軌跡定義如下:

式中vr和wr分別為WMR有界的參考線速度和角速度,且vr>0.

輪式移動機器人位姿跟蹤誤差的微分方程為

利用反步法,輪式移動機器人運動學(xué)控制律為[1]

其中:k1,k2,k3為正常數(shù),vc,wc分別為WMR的虛擬線速度和角速度.

4 自抗擾動力學(xué)控制設(shè)計

由于輪式移動機器人在滑動與打滑下的動力學(xué)特性是十分復(fù)雜的,vc和wc往往不是輪式移動機器人真實的線速度和角速度.本文可以將vc和wc視為虛擬速度,基于滑動與打滑的動力學(xué)模型,實現(xiàn)軌跡的完美跟蹤.

4.1 擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計

定義狀態(tài)變量x1=z,x2=d,則系統(tǒng)(7)的狀態(tài)空間描述為

其中由文獻(xiàn)[15]可知

ω0是觀測器帶寬,ω0>0.

4.2 動力學(xué)控制器設(shè)計

基于自抗擾的動力學(xué)控制器可以分為集總擾動補償部分和虛擬速度跟蹤部分.對集總擾動補償部分設(shè)計如下:

對虛擬速度跟蹤部分設(shè)計如下:

由式(14)–(15)可得動力學(xué)控制律為

4.3 動力學(xué)控制器穩(wěn)定性分析

定理1在式(17)中,若d中每個元素都是有界可導(dǎo)的,對于任意ω0>0存在一個常向量b=[δ1δ2]T,δi>0,使有限時間內(nèi)中的每個元素滿足δi,其中:i=1,2,j=1,2.

I2表示二階單位陣,02表示二階零矩陣.

步驟2設(shè)觀測器初始誤差為零,解方程(18)得到

因為d(t)中每個元素都是有界的,即存在一個正常向量dm,滿足d(t)dm,因此

根據(jù)文獻(xiàn)[15],A0是赫爾維茲矩陣,則存在一個有限時間T1,對所有tT1有

不妨設(shè)dm?d(0)=[γ1γ2]T,γ1,γ2為常數(shù),則B0×[dm?d(0)]=[0 0γ1γ2]T,可得

令ε(t)=[ε11ε12ε21ε22]T,重寫式(21)如下:

所以擴張狀態(tài)觀測器是穩(wěn)定的,并且觀測器誤差與帶寬成反比.

下面對動力學(xué)系統(tǒng)式(7)進(jìn)行分析,令速度追蹤誤差ec=z ?zc.

定理2對WMR動力學(xué)系統(tǒng)式(7),選擇線性擴張狀態(tài)觀測器式(13),自抗擾動力學(xué)控制器式(16),若d(t)是有界可導(dǎo)的,則對任意的ω0>0,ωc>0,存在一個常向量ρ=[ρ1ρ2]T,且ρi >0,使得在有限時間內(nèi)ec中每個元素|(ec)i|ρi,i=1,2.

證由式(7)(13)(16)可得

其中:

解方程(22)得

由定理1得,?tT1,i=1,2,

因為Ae為赫爾維茲矩陣[15],則存在一個有限的時間T2,對所有tT2,

令T=max{T1,T2},對于tT,則

由式(25)(27)可得

令emax(0)=|[eeec(0)]1|+|[eeec(0)]2|,則

由式(28)–(29)可知,對tT,i=1,2,

由式(30)可知,速度追蹤誤差ec是有界的并且隨控制器帶寬增大而減小,即自抗擾動力學(xué)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的. 證畢.

由上面分析可知,WMR的控制系統(tǒng)原理如圖2所示.

圖2 WMR的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 WMR control system structure diagram

5 仿真

為了驗證本文所提出的控制方案的可行性,選擇雙紐線和圓形兩種參考軌跡進(jìn)行了MATLAB仿真實驗.WMR的模型參數(shù):

r=0.05 m,b=0.15 m,mc=3 kg,mw=0.5 kg,

Im=0.00125 kg·m2,Ic=0.0675 kg·m2,

Iw=0.01125 kg·m2.

運動學(xué)控制器參數(shù):k1=11.7,k2=11.1,k3=8;自抗擾動力學(xué)控制器參數(shù):kp=diag{8,8};線性觀測器參數(shù):ω0=40.

1)雙扭線軌跡跟蹤控制.

WMR只發(fā)生了縱向打滑,驅(qū)動輪的角速度擾動分別為ξr=sint+1 rad/s,ξl=0.01t?sin(2t)+2 rad/s.縱向打滑下的WMR軌跡跟蹤結(jié)果,位姿誤差變化及對ξr和ξl的估計值如圖3(a)–3(d)所示.

圖3 縱向打滑跟蹤Fig.3 Tracking under longitudinal sliping

由圖3可以看出,WMR能夠在縱向打滑條件下跟蹤參考軌跡;WMR位姿誤差在較短的時間內(nèi)收斂;線性擴張觀測器能夠?qū)崟r地,準(zhǔn)確地觀測縱向打滑時WMR驅(qū)動輪的角速度擾動ξr和ξl.

為進(jìn)一步驗證本文控制器在滑動與打滑情況下的性能,讓W(xué)MR3～5 s發(fā)生側(cè)向滑動,側(cè)向滑動擾動μ=1 m/s.側(cè)向滑動下的WMR軌跡跟蹤結(jié)果,位姿誤差變化及對集總擾動d的估計值如圖4(a)–4(d)所示.

圖4 側(cè)向滑動跟蹤Fig.4 Tracking under lateral sliding

由圖4可以看出,WMR仍能在側(cè)向滑動下跟蹤參考軌跡;WMR位姿誤差在剛開始迅速地收斂并穩(wěn)定,當(dāng)發(fā)生側(cè)向滑動時,雖然位姿誤差發(fā)生了較小波動,但是在本文控制器作用下又迅速地收斂并穩(wěn)定;線性擴張觀測器也能實時地,準(zhǔn)確地觀測側(cè)向滑動時存在有限個不可導(dǎo)點的集總擾動d.

2)圓形軌跡跟蹤控制.

圓形軌跡:xr=5 cos(0.2t),yr=5 sin(0.2t),WMR的初始參考位姿和實際位姿分別qr=為了對所提出控制器魯棒性做進(jìn)一步研究,假設(shè)輪式移動機器人的未知動力學(xué)輸入擾動服從正態(tài)分布函數(shù):在運行t=8 s時負(fù)載發(fā)生了緩慢變化:mc=3.3 kg.WMR既發(fā)生縱向滑動又發(fā)生了側(cè)向滑動,情況如下:

本文采用文中算法和反步法設(shè)計運動學(xué)控制器與積分滑?？刂破鹘Y(jié)合算法(backstepping kinematic control integral sliding mode control,BKCISMC)進(jìn)行了仿真對比.BKCISMC算法中運動學(xué)控制器與文中算法參數(shù)相同,積分滑模控制器中的比例增益,滑模增益大小:Lp=diag{8,8},LD=diag{7,7}.軌跡跟蹤對比結(jié)果如圖5所示.

圖5 軌跡跟蹤對比Fig.5 Trajectory tracking comparison

文中算法比BKCISMC算法收斂速度更快圖5(a)BKCISMC算法中,經(jīng)5 s后位姿誤差收斂到一個很小的區(qū)間內(nèi),并保持該區(qū)間內(nèi);而本文算法中,經(jīng)3 s后位姿誤差收斂到一個很小的區(qū)間內(nèi),并保持該區(qū)間內(nèi).圖5(c)BKCISMC算法中,約4～5 s后達(dá)到速度誤差曲線拐點;而本文算法中,經(jīng)1 s左右速度誤差曲線拐點.

文中算法和BKCISMC算法都具有較好的魯棒性,但是BKCISMC算法魯棒性越強輸入抖動越劇烈.當(dāng)WMR受到滑動與打滑,WMR模型不確定性變化量和未知輸入擾動的影響時,而它們的控制參數(shù)不變的情況下,從圖5(a)–5(c)中可以看出位姿和速度跟蹤誤差收斂過程中僅發(fā)生了少許的變化.由圖5(d)可知,本文算法的控制力矩輸入不存在BKCISMC算法的控制力矩輸入的抖動現(xiàn)象.

本文算法對滑動與打滑下集的總擾動d的估計值如圖6.

圖6 滑動與打滑下集總擾動d的估計Fig.6 Estimation of lumped disturbance d under sliding and slipping

圖6可以看出d估計值能十分接近其實際值,表明線性擴張觀測器的收斂誤差較小,對擾動的觀測精度較高.

6 結(jié)論

針對滑動與打滑下的輪式移動機器人,本文基于自抗擾思想提出了含有集總擾動補償?shù)膭恿W(xué)控制器.由于滑動與打滑下的集總擾動是未知的,本文通過線性擴張觀測器對集總擾動進(jìn)行實時估計,并對動力學(xué)控制器進(jìn)行前饋補償,提高了控制器的精度和魯棒性.最后仿真結(jié)果表明該控制器實現(xiàn)了輪式移動機器人在滑動與打滑條件下對參考軌跡的快速跟蹤.即使輪式移動機器人在跟蹤中存在著輸入擾動和參數(shù)變化,本文的控制器仍具有良好的跟蹤控制性能.

下一步的工作:搭建硬件實驗平臺,驗證本文提出的控制器方案.考慮到機器人在實際實驗情況下更為復(fù)雜,本文給出了自抗擾動力學(xué)控制器在實際應(yīng)用中的兩點建議:

1)通過減小線性擴張觀測器的初始誤差,可以提高軌跡跟蹤的精度;

2)控制器帶寬越大,動力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性越好,不宜超出信號采樣頻率.根據(jù)實際情況,選擇適當(dāng)?shù)目刂破鲙?觀測器帶寬為控制器帶寬3～5倍.