趙東亞,崔文豪,嚴(yán)星剛

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)化學(xué)工程學(xué)院,山東青島 266580;2.肯特大學(xué)工程技術(shù)與數(shù)碼學(xué)院,英國(guó)坎特伯雷CT2 7NZ)

1 引言

近年來,多機(jī)器人系統(tǒng)協(xié)調(diào)編隊(duì)問題由于其廣泛的應(yīng)用背景受到越來越多的關(guān)注[1].多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)具有較強(qiáng)的靈活性及自主性,在地理勘測(cè)、偵查救援、無人機(jī)編隊(duì)以及協(xié)同運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域都有著較好的實(shí)際應(yīng)用[2–7].為了完成上述領(lǐng)域中的任務(wù),需要對(duì)多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)采用高效的控制方法.

目前,多機(jī)器人的編隊(duì)控制算法主要包括圖論法[8–11]、基于行為法[12–13]、虛擬結(jié)構(gòu)法[14–16]和領(lǐng)航–跟隨法[17–23]等.圖論法可對(duì)多機(jī)器人通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行建模.基于行為法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,適用于不確定環(huán)境.但編隊(duì)精度差且很難進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)分析;虛擬結(jié)構(gòu)法和領(lǐng)航跟隨法分別需要虛擬結(jié)構(gòu)和領(lǐng)航機(jī)器人全狀態(tài)信息,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)相關(guān)算法策略實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制.而在許多情況下,移動(dòng)機(jī)器人在追蹤其自身期望軌跡之外,還需實(shí)現(xiàn)與其他機(jī)器人之間的運(yùn)動(dòng)同步.1980年密歇根大學(xué)針對(duì)雙軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)率先提出交叉耦合同步控制方法[24].同步控制通過定義位置誤差及同步誤差得到交叉耦合誤差,進(jìn)而設(shè)計(jì)同步控制器使3種誤差收斂到零,從而使機(jī)器人追蹤自身期望軌跡的同時(shí)實(shí)現(xiàn)與其他機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)同步.文獻(xiàn)[25–26]提出了一種同步控制策略來解決編隊(duì)控制問題.同步控制因其控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制效果易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢(shì),在多軸系統(tǒng)、多機(jī)械臂系統(tǒng)中都得到了廣泛應(yīng)用.

文獻(xiàn)[27]在使用上述同步控制的基礎(chǔ)上結(jié)合圖論法,提出兩種多機(jī)械臂任務(wù)空間同步控制算法,并證明所提出算法能分別實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)收斂和有限時(shí)間收斂.文獻(xiàn)[28]提出了一種輪式移動(dòng)機(jī)器人非線性不確定運(yùn)動(dòng)學(xué)瞬態(tài)模型,并針對(duì)外部干擾及未知參數(shù)變化問題提出一種基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的單臺(tái)機(jī)器人自適應(yīng)滑?？刂?與文獻(xiàn)[27]相比,本文將交叉耦合同步控制應(yīng)用于多輪式移動(dòng)機(jī)器人協(xié)同編隊(duì)系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一種雙向環(huán)形通訊拓?fù)?且本文考慮了系統(tǒng)集總參數(shù)不確定性并設(shè)計(jì)魯棒控制克服不確定性的影響.與文獻(xiàn)[28]相比,本文對(duì)該瞬態(tài)模型中心偏移d的狀態(tài)方程進(jìn)行了完善,避免了一般形式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中多輸入耦合的問題,并將瞬態(tài)模型應(yīng)用于由n個(gè)移動(dòng)機(jī)器人組成的系統(tǒng)中.與文獻(xiàn)[28]中控制系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定相比,本文結(jié)合終端滑模控制算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定.

2 問題描述

圖論是一種能清晰完整地描述移動(dòng)機(jī)器人之間通訊拓?fù)涞臄?shù)學(xué)工具.令G=(V,ξ)表示一個(gè)無向圖,其中:V={v1,v2,···,vn}表示由n個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的節(jié)點(diǎn)集,ξ ?V×V表示邊的集合.如果(vi,vj)∈ξ則表示機(jī)器人i與機(jī)器人j能夠相互通訊.定義A=[aij]表示無向圖G的加權(quán)鄰接矩陣,其中aij表示vi與vj之間的連接權(quán)重,其值定義為

定義對(duì)角矩陣B=diag{b1,b2,···,bn}其中i=1,2,···,n,則無向圖G的拉普拉斯(Laplacian)矩陣L定義為

2.1 輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

考慮由n臺(tái)輪式移動(dòng)機(jī)器人組成的系統(tǒng).每個(gè)機(jī)器人由兩個(gè)差動(dòng)驅(qū)動(dòng)輪和兩個(gè)全向從動(dòng)輪組成,每個(gè)驅(qū)動(dòng)輪受各自直流伺服電機(jī)控制.

如圖1所示.假設(shè)在某瞬時(shí)時(shí)刻t時(shí),機(jī)器人幾何中心O正沿圖中虛線圓圍繞一瞬時(shí)中心A進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng).Ra表示此時(shí)刻機(jī)器人繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的曲率半徑;v1和v2分別為左右驅(qū)動(dòng)輪的前進(jìn)速度.

圖1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.1 The kinematics model

兩驅(qū)動(dòng)輪中心的速度為

假設(shè)u1,u2分別為左右驅(qū)動(dòng)輪直流電機(jī)電樞電壓,Tm為電機(jī)機(jī)械時(shí)間常數(shù),Kd為電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)常數(shù),r為驅(qū)動(dòng)輪半徑,i為減速齒輪傳動(dòng)比,Ks為移動(dòng)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)增益,則Ks可表示為

由直流伺服電機(jī)特性可以得到以下傳遞函數(shù):

其中V1(s),V2(s),U1(s),U2(s)分別為v1,v2,u1,u2的拉普拉斯變換.

由于移動(dòng)機(jī)器人當(dāng)前路徑與期望軌跡之間存在誤差,因此需要給直流電機(jī)增加或減去一部分糾正電壓?u,則u1,u2可表示為

其中uc表示直流電機(jī)能夠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人保持速度vc進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的基準(zhǔn)電壓.

則左右驅(qū)動(dòng)輪的前進(jìn)速度表示為

其中?v表示驅(qū)動(dòng)輪的前進(jìn)速度糾正量.

圖1中:θ為機(jī)器人航向角;點(diǎn)p為期望軌跡上的參考點(diǎn);d為移動(dòng)機(jī)器人幾何中心O與p點(diǎn)之間的中心偏移距離;?為p點(diǎn)的切線角.在一段很短的時(shí)間間隔?t內(nèi),χθ和χd分別表示θ和d的變化量.則從圖1所示的幾何關(guān)系可得

若期望軌跡如圖1所示,當(dāng)?t→0時(shí),χθ,χd均為減小量的絕對(duì)值,?θ=?χθ<0,?d=?χd.因此可得到以下微分方程:

若期望軌跡位于機(jī)器人上方,當(dāng)?t→0時(shí),χθ為增大量的絕對(duì)值,則χd為減小量的絕對(duì)值,?θ=χθ>0,?d=?χd.但此時(shí)由于機(jī)器人在糾正電壓的作用下轉(zhuǎn)動(dòng)方向與圖1相反,因此?v <0,故微分方程仍如式(9)所示.

由于移動(dòng)機(jī)器人追蹤期望軌跡需滿足當(dāng)前航向角追蹤期望軌跡切線角,即θ→?,因此角度總變化量等于二者之差:

則式(9)可變?yōu)?/p>

對(duì)式(6)–(7)進(jìn)行拉普拉斯變換并代入式(5)可得

其中?V(s)和?U(s)分別為?v和?u的拉普拉斯變換.

對(duì)式(12)進(jìn)行拉普拉斯逆變換可得以下微分方程:

定義x=[x1x2x3]T=[d θ?v]T為狀態(tài)變量矩陣,以及控制輸入u=[?u].取y=θ=x2為系統(tǒng)輸出.由式(11)(13)可得以下方程:

下式表示一般形式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型:

瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(14)將一般運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單輸入串級(jí)控制系統(tǒng),從而避免了模型(15)中v,ω多輸入耦合造成相互干擾的問題.

在現(xiàn)實(shí)條件下,由于存在齒輪間隙、溫度改變?cè)斐傻碾姍C(jī)參數(shù)變化、機(jī)器人與地面間摩擦、機(jī)械系統(tǒng)磨損等因素,因此需考慮系統(tǒng)不確定性及外部干擾的影響,則第i個(gè)機(jī)器人的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中D為系統(tǒng)集總參數(shù)不確定性,包括模型不確定性和外部干擾等.D滿足∥D∥D0,D0為正實(shí)數(shù).

2.2 交叉耦合誤差

定義第i個(gè)機(jī)器人角度誤差:

其中θi,?i分別表示第i個(gè)機(jī)器人的當(dāng)前航向角和期望軌跡切線角.

由于系統(tǒng)的同步要求各機(jī)器人保持與其他機(jī)器人之間的運(yùn)動(dòng)同步,即各機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)時(shí)保持一定的幾何關(guān)系.用以下同步運(yùn)動(dòng)方程表示為

其中ci >0為第i個(gè)機(jī)器人的同步系數(shù).

由于在同步運(yùn)動(dòng)過程當(dāng)中,機(jī)器人最終需實(shí)現(xiàn)跟蹤各自期望軌跡的任務(wù),因此期望航向角?i同樣需滿足同步運(yùn)動(dòng)方程(18),即

由式(18)–(19)可得多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)所要實(shí)現(xiàn)的同步約束:

根據(jù)無向圖理論,同步誤差可定義為

其中aij為集合A中的元素.

設(shè)計(jì)雙向環(huán)形通訊拓?fù)?如圖2所示.

圖2 通訊拓?fù)銯ig.2 Communication topology

并結(jié)合式(20),定義位置同步誤差:

其中εi為第i個(gè)移動(dòng)機(jī)器人的航向角同步誤差.

將式(22)以矩陣形式表示:

其中系數(shù)矩陣

為同步轉(zhuǎn)換矩陣,T

當(dāng)c1=c2=···=cn=1時(shí)由圖論基本概念可知,同步轉(zhuǎn)換矩陣T即為圖2所示通訊拓?fù)涞睦绽咕仃?當(dāng)ε=0時(shí),系統(tǒng)將會(huì)滿足同步約束(20).

根據(jù)文獻(xiàn)[24]定義交叉耦合誤差如下:

其中:Ei為第i個(gè)移動(dòng)機(jī)器人的交叉耦合誤差;φ>0表示耦合系數(shù).考慮整個(gè)機(jī)器人系統(tǒng)并結(jié)合式(24),得到整個(gè)系統(tǒng)交叉耦合誤差為

由于I+?T為對(duì)稱正定矩陣,因此當(dāng)交叉耦合誤差E收斂到0時(shí),航向角誤差e與同步誤差ε也將收斂到0.

3 魯棒自適應(yīng)終端滑模同步控制器設(shè)計(jì)

由于移動(dòng)機(jī)器人追蹤期望軌跡需滿足以下兩個(gè)條件:

1)機(jī)器人航向角追蹤期望軌跡切線角;

2)機(jī)器人中心偏移趨近于0.

因此系統(tǒng)同步控制目標(biāo)可總結(jié)為通過控制器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)交叉耦合誤差E和中心偏移d收斂到0.

為了簡(jiǎn)化運(yùn)算,首先定義如下符號(hào):

根據(jù)構(gòu)造的交叉耦合誤差,設(shè)計(jì)如下終端滑?？刂破?

其中:λ1>0;0<γ <1;E由式(26)給出.

對(duì)滑模(28)求其一階導(dǎo)數(shù)可得

其中:系統(tǒng)狀態(tài)x2=[x21x22···x2n]T;期望角度?=[?1?2···?n]T.

將式(16)代入式(29)可得

其中:系統(tǒng)狀態(tài)x3=[x31x32···x3n]T;系統(tǒng)控制輸入u=[u1u2···un]T.

采用如下終端滑模型趨近律,如式(31)所示:

其中:K1>0;K2>0;0<β <1.

設(shè)計(jì)如下同步終端滑?？刂破?

其中:u1=[u11u12···u1n]T為趨近控制律,當(dāng)D=0時(shí),u1可保證系統(tǒng)能夠有限時(shí)間穩(wěn)定;u2=[u21u22···u2i···u2n]T為魯棒控制項(xiàng),用以克服D的影響.

定理1考慮n臺(tái)移動(dòng)機(jī)器人,如果位置控制器設(shè)計(jì)如式(32),那么其位置交叉耦合誤差E可在有限時(shí)間收斂到滑模面s=0.

證定義Lyapunov函數(shù)如下:

對(duì)其求導(dǎo),先后代入式(30)和式(32)整理可得

由文獻(xiàn)[29]可知,解微分不等式(34)可得收斂時(shí)間保守估計(jì)為

證明系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間收斂到滑模面s=0.

證畢.

為避免實(shí)際應(yīng)用中由于調(diào)節(jié)控制器切換增益K2而造成的困難,提高控制器性能,引入自適應(yīng)律

則由式(32),式(36)最終得到終端滑?？刂破鳛?/p>

4 系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

引理1(Barbalat引理[30])若x:[0,∞)→R一致連續(xù),存在且有界,則

定理2考慮不確定非線性移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)(16),如果在滑模切換函數(shù)(28)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)終端滑模同步控制器(37)并采用自適應(yīng)律(36),則航向角交叉耦合誤差E和中心偏移x1=d均會(huì)漸進(jìn)收斂到0.

證對(duì)于系統(tǒng)(16),定義一個(gè)新的Lyapunov函數(shù):

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得

將式(16)(30)(36)–(37)代入式(39)可以得到

因此V2是半負(fù)定函數(shù),隨時(shí)間t滿足以下條件:

由式(40)可得

而由式(42)可得

同理可得

由于x1和s均一致連續(xù),根據(jù)Barbalat 引理[30]可得:當(dāng)t→∞時(shí),有x1→0,s→0,即中心偏移x1=d可漸進(jìn)收斂到0.又由式(14)中可知,若x2有限時(shí)間收斂,則x1=d也可有限時(shí)間收斂. 證畢.

因此由上述證明可得航向角交叉耦合誤差E和中心偏移x1=d均會(huì)有限時(shí)間收斂到0.

5 仿真結(jié)果

為證明算法的有效性,針對(duì)由4臺(tái)機(jī)器人組成的系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證.控制器參數(shù)設(shè)置如下:

λ1=20,γ=0.3,K1=2,β=0.9,

φ=0.1,ζ=5,η=2.82,c=0.1,τ=1.

則4輛移動(dòng)機(jī)器人期望航向角為

移動(dòng)機(jī)器人物性參數(shù)如表1所示[17].

表1 機(jī)器人物性參數(shù)Table 1 Robot physical property parameters

機(jī)器人初值坐標(biāo)為(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),初始航向角為θ1=θ2=θ3=θ4=仿真時(shí)間T=15 s.仿真結(jié)果如下:

圖3表示4輛移動(dòng)機(jī)器人追蹤期望軌跡的過程.從圖3可以看出4輛機(jī)器人均能在很短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)各自期望軌跡的跟蹤.

圖3 期望軌跡跟蹤Fig.3 Tracking of desired trajectories

圖4–5分別表示4輛機(jī)器人航向角誤差e及航向角交叉耦合誤差E收斂情況.可以看出航向角誤差與交叉耦合誤差均能有限時(shí)間收斂到0,實(shí)現(xiàn)對(duì)期望航向角?(期望軌跡切線角)的跟蹤.

圖4 航向角誤差Fig.4 Heading angle errors

圖5 交叉耦合誤差Fig.5 Cross coupling errors

從圖6可以看出機(jī)器人中心偏移d(位置誤差)能迅速收斂到0,實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的位置跟蹤.且由圖4–6可以看出,4輛車角度誤差、交叉耦合誤差及中心偏移收斂趨勢(shì)完全一致,證明移動(dòng)機(jī)器人在追蹤各自期望軌跡的同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)與其他機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)同步,證明所提出的同步算法的有效性.

圖6 中心偏移Fig.6 Center offset

圖7表示在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)之后t=5時(shí)對(duì)第一輛移動(dòng)機(jī)器人施加D=10的外加干擾之后系統(tǒng)的同步誤差.可以看出其他3輛機(jī)器人有相同的變化趨勢(shì),進(jìn)一步證明了同步控制的有效性.圖8表示機(jī)器人控制輸入,可以看出控制輸入均有界且能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定.仿真結(jié)果證明了所設(shè)計(jì)控制算法的有效性.

圖7 同步誤差Fig.7 Synchronization errors

圖8 控制輸入Fig.8 Control inputs

6 結(jié)論

本文以多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)為研究對(duì)象,提出了一種基于瞬態(tài)模型和圖論原理的魯棒自適應(yīng)同步終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)方法,避免了一般移動(dòng)機(jī)器人一般運(yùn)動(dòng)學(xué)模型多輸入耦合的問題.通過結(jié)合魯棒控制克服了系統(tǒng)集總不確定性的影響,同時(shí)采用自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)完成切換增益的實(shí)時(shí)調(diào)節(jié).所設(shè)計(jì)交叉耦合同步控制器不僅可以實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)器人追蹤自身期望軌跡,同時(shí)又解決了與其他機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)同步問題.