彭 滔陸 群蘇春翌

(1.重慶理工大學(xué)兩江人工智能學(xué)院,重慶 400054;2.鹽城工學(xué)院電氣工程學(xué)院,江蘇 鹽城 224003;3.康考迪亞大學(xué)Gina Cody工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,加拿大 魁北克蒙特利爾H3G 1M8)

1 引言

因移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)具有廣泛的應(yīng)用前景,使其在近幾十年成為機(jī)器人領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)[1–2].經(jīng)過(guò)多年的研究,現(xiàn)已形成了領(lǐng)航跟隨法[3–5]、基于行為法[6–8]和虛擬結(jié)構(gòu)法[9–10]3種最常用的控制策略,其中領(lǐng)航跟隨法因具有數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)單,編隊(duì)運(yùn)動(dòng)安全高效和易于形成及保持隊(duì)形等優(yōu)點(diǎn),已被廣泛地應(yīng)用于移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)的各研究領(lǐng)域中.通常,系統(tǒng)中會(huì)存在因噪聲、擾動(dòng)、摩擦、負(fù)載變化等引起的未知信息和不確定性.為此,研究者利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提出了許多自適應(yīng)控制方法[11–13].這些結(jié)果,只研究了機(jī)器人在二維平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況.對(duì)三維未知流場(chǎng)中的編隊(duì)協(xié)調(diào)問(wèn)題,Ge 等利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(radial basis function neural networks,RBF NN),提出了一種魯棒自適應(yīng)控制方法[14].在已有的研究結(jié)果中,調(diào)用的RBF NN只更新了線性權(quán)值,而未研究高斯函數(shù)的中心和方差這兩個(gè)非線性參數(shù)的更新,這使得中心和方差選取不當(dāng)時(shí),將影響控制器的自適應(yīng)性,智能性和實(shí)用性.

上述研究少有考慮車(chē)輪打滑的情況,打滑會(huì)造成機(jī)器人線速度與車(chē)軸形成一個(gè)偏離角而產(chǎn)生軸向和側(cè)向速度分量,并引發(fā)一個(gè)附加的角速度,從而不滿足非完整約束條件,使得針對(duì)不打滑設(shè)計(jì)的控制器性能將受到極大的影響,甚至失效.在文獻(xiàn)[15]中,Wang等分析了單個(gè)輪式機(jī)器人在打滑情況下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,為后續(xù)研究打滑情況建立了模型基礎(chǔ).在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中,許多研究者為打滑狀態(tài)下的單機(jī)人軌跡跟蹤控制提出了多種控制方法,而研究打滑狀態(tài)下的機(jī)器人編隊(duì)控制成果還較少[16–17].文獻(xiàn)[17–19]對(duì)打滑情況的機(jī)器人編隊(duì),分別運(yùn)用自適應(yīng),輸入輸出線性化和二階滑模技術(shù)設(shè)計(jì)了控制器.

本文利用領(lǐng)航跟隨法協(xié)調(diào)編隊(duì)運(yùn)動(dòng),建立了“距離–角度”編隊(duì)誤差控制模型.通過(guò)分析控制模型,發(fā)現(xiàn)不打滑狀態(tài)可視為系統(tǒng)的一種特殊情況,并在該模型的基礎(chǔ)上,利用RBF NN設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì).控制器中調(diào)用的RBF NN能自適應(yīng)打滑和不打滑兩種狀態(tài),且對(duì)權(quán)值、中心和方差3個(gè)參數(shù)設(shè)計(jì)了在線調(diào)整的非線性更新律.因此,能有效地這提高控制器的自適應(yīng)性,智能性和實(shí)用性.

2 系統(tǒng)模型

輪式移動(dòng)機(jī)器人的車(chē)輪在只滾不滑的相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足非完整約束條件,其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為[20]

其中:q=[x y θ]T為位姿向量(上標(biāo)T 表示轉(zhuǎn)置),(x,y)表示后軸中點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo),θ為方向角;υ和ω分別為線速度和角速度.

當(dāng)運(yùn)動(dòng)平面比較光滑或輪子受到擠壓而發(fā)生變形時(shí),輪子會(huì)出現(xiàn)打滑狀態(tài),而造成線速度v發(fā)生偏離,并引發(fā)一個(gè)附加的偏離角速度ωs.這造成機(jī)器人不滿足非完整約束條件,使得其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型變?yōu)閇15]

其中va和vb分別是v的徑向和側(cè)向分量,且在不打滑時(shí)有v=va,各速度關(guān)系如圖1所示.

對(duì)多個(gè)移動(dòng)機(jī)器人構(gòu)成的機(jī)器人編隊(duì),利用領(lǐng)航跟隨控制策略來(lái)協(xié)調(diào)編隊(duì)運(yùn)動(dòng),則可將編隊(duì)分解成多組如圖2所示的領(lǐng)航–跟隨機(jī)器人對(duì).為了方便表示,下文中用下標(biāo)1和2分別表示領(lǐng)航機(jī)器人(Leader)和跟隨機(jī)器人(Follower),則領(lǐng)航機(jī)器人和跟隨機(jī)器人的位姿分別為q1=[x1y1θ1]T和q2=[x2y2θ2]T.本文研究在編隊(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,領(lǐng)航機(jī)器人不打滑而跟隨機(jī)器人存在打滑狀態(tài)的編隊(duì)自適應(yīng)控制,則1和2分別滿足式(1)–(2).

圖1 機(jī)器人打滑狀態(tài)的速度關(guān)系示意圖Fig.1 Speed relationship of a robot under slipping condition

圖2 領(lǐng)航–跟隨機(jī)器人編隊(duì)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Leader-Follower formation sketch

從圖2中可知,跟隨機(jī)器人的位姿q2可由領(lǐng)航機(jī)器人的位姿q1及兩機(jī)器人間的距離l和角度ψ唯一確定,且l和ψ滿足[20]

其中:θl為兩機(jī)器人連線l與水平軸的夾角,d為機(jī)器人后軸到前端的距離.

因此,編隊(duì)控制目標(biāo)是控制距離l和角度ψ分別收斂到期望的距離ld和角度ψd,即和因此,可以通過(guò)l和ψ表達(dá)編隊(duì)控制模型.

對(duì)式(3)–(5)求導(dǎo),并根據(jù)式(1)–(2)化簡(jiǎn)可得

其中:γ=θe+ψ,θe=θ1?θ2.

注1因l為兩機(jī)器人間的距離,所以l >0.

定義編隊(duì)誤差e=[leψe]T=[l ?ldψ ?ψd]T為系統(tǒng)控制狀態(tài)量,u=[v2aω2]T為控制輸入,則可將式(6)–(7)表示成如下的矩陣形式:

注2在式(8)中,因v2b和ω2s是跟隨機(jī)器人打滑所產(chǎn)生的,且難以準(zhǔn)確獲知.如果記

則h為系統(tǒng)的未知信息,這給控制器設(shè)計(jì)帶來(lái)了挑戰(zhàn).當(dāng)不打滑時(shí)有v2b=0和ω2s=0,即h=0.因此,式(8)能通過(guò)h是否為零,統(tǒng)一地表達(dá)打滑和不打滑兩種情況.

3 未知信息的非線性逼近

對(duì)于系統(tǒng)未知信息h,文獻(xiàn)[21–22]中證明了RBF NN滿足Stone-Weierstrass定理,能在緊集上對(duì)任意的非線性未知函數(shù)逼近到任意精度.文獻(xiàn)[23]中,證明了RBF NN有最佳逼近性質(zhì),有

其中:z=[l ψ]T;W?,ζ?和δ?為最佳常值參數(shù);??為最佳逼近誤差.本文中,選用高斯函數(shù)為RBF NN的激活函數(shù)S(z,ζ,δ)=[s1(z,ζ1,δ1)···sn(z,ζn,δn)]T,高斯函數(shù)si(z,ζi,δi)為

因?yàn)樽罴殉Ｖ祬?shù)W?,ζ?,δ?是未知量,不能直接應(yīng)用.因此在控制中,用估計(jì)值構(gòu)建估計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并記參數(shù)誤差為=

根據(jù)文獻(xiàn)[24]中的定理1,利用S?在ζ?和δ?的泰勒展開(kāi)式,可求得未知函數(shù)h與估計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)T?的誤差為

并且|?h|??Ψ,其中??∈是一個(gè)有界的最優(yōu)常值向量,Ψ=

4 控制器設(shè)計(jì)

為了在下文的控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中表示方便,記

由于det(g)=≠0,所以g是可逆矩陣,有

為自適應(yīng)系統(tǒng)(8)中的未知信息h,設(shè)計(jì)如下嵌入RBF NN的自適應(yīng)控制器

其中:ki ∈R2×2(i=1,···,5)是正的對(duì)角形控制參數(shù)矩陣,sgn(·)為符號(hào)函數(shù),為??的估計(jì)值,記=???

注3因f和g與系統(tǒng)編隊(duì)誤差e無(wú)關(guān),能在控制器中直接使用,不涉及魯棒性.

定理1考慮如圖2中所示的利用領(lǐng)航跟隨法協(xié)調(diào)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)的多移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì),對(duì)式(8)描述的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)控制誤差模型,應(yīng)用自適應(yīng)控制器(10)和RBF NN參數(shù)非線性更新律(11)–(14).當(dāng)ω1有界時(shí),能選擇合適的控制參數(shù)ki(i=1,···,5),使得系統(tǒng)編隊(duì)控制誤差e漸近穩(wěn)定和方向角誤差θe有界.

證將式(10)代入式(8),可得

將式(9)代入式(15)有

對(duì)式(16),考慮如下的李雅普諾夫函數(shù):

對(duì)式(17)兩邊微分,并代入式(11)–(12)和式(16),化簡(jiǎn)可得

將控制器(10)中的ω2分量代入式(19),因?yàn)閑漸近穩(wěn)定,并經(jīng)過(guò)三角函數(shù)的同類項(xiàng)合并與簡(jiǎn)化可得

對(duì)上式利用三角函數(shù)的積化和差化簡(jiǎn),可得

可將ω1視為系統(tǒng)(20)的擾動(dòng)項(xiàng),其標(biāo)稱系統(tǒng)為

由于標(biāo)稱系統(tǒng)(21)穩(wěn)定,且ω1有界,根據(jù)文獻(xiàn)[25]中的引理9.2和引理9.3可知,有界擾動(dòng)系統(tǒng)(20)的解有界,即θe有界.

注4在實(shí)際情況中,ω1的有界性是容易得到保證的.

注5因式(8)通過(guò)h是否為零,統(tǒng)一地表達(dá)了打滑和不打滑兩種狀態(tài),并且嵌入控制器(10)中的RBF NN通過(guò)非線性更新律(11)–(12)調(diào)整參數(shù)對(duì)h進(jìn)行自適應(yīng),這使得本文提出的控制方法對(duì)打滑和不打滑兩種狀態(tài)均有效,在很大程度上提高了控制器的自適應(yīng)性,智能性和實(shí)用性.

5 仿真研究

本部分運(yùn)用MATLAB進(jìn)行仿真研究,以驗(yàn)證本文所提出的控制方法的正確性和有效性.

設(shè)期望距離和角度分別為ld=1 m,ψd=120?.機(jī)器人的d=0.1 m,領(lǐng)航機(jī)器人(Leader)和跟隨機(jī)器人(Follower)的初始位姿分別為q1=[5.5 m 0.5 m 90?]T和q2=[5 m 1.5 m 60?]T.

對(duì)橫向打滑速度v2b和角速度ω2s分別設(shè)置如下Case 1和Case 2,以分別代表跟隨機(jī)器人處于打滑和不打滑兩種狀態(tài).

表1 兩種狀態(tài)Table 1 Two states

在仿真研究中,考慮了領(lǐng)航機(jī)器人走曲線和直線兩種情況,并通過(guò)設(shè)置v1=0.5 m/s,角速度分別為ω1=0.2 rad/s和ω1=0 rad/s來(lái)實(shí)現(xiàn).

選擇控制參數(shù)為k1=I2,kj=0.5I2,其中:j=2,···,5,I2為2階單位矩陣;編隊(duì)誤差初值為e(0)=[3 m 60?]T;RBF NN 節(jié)點(diǎn)數(shù)n=5,各參數(shù)的初值利用MATLAB的RAND函數(shù)產(chǎn)生為

仿真結(jié)果如圖3–10所示,其中圖3–6和圖7–10分別是領(lǐng)航機(jī)器人走曲線和走直線的仿真效果,各圖分別是編隊(duì)距離l、角度ψ、方向角誤差θe隨時(shí)間變化的曲線,以及編隊(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線.

圖3 編隊(duì)距離誤差曲線(ω1=0.2 rad/s)Fig.3 Formation distance error curve(ω1=0.2 rad/s)

圖4 編隊(duì)角度誤差曲線(ω1=0.2 rad/s)Fig.4 Formation angle error curve(ω1=0.2 rad/s)

圖5 編隊(duì)方向角誤差曲線(ω1=0.2 rad/s)Fig.5 Formation direction angle error curve(ω1=0.2 rad/s)

圖6 編隊(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(ω1=0.2 rad/s)Fig.6 Formation trajectory curve(ω1=0.2 rad/s)

圖7 編隊(duì)距離誤差曲線(ω1=0 rad/s)Fig.7 Formation distance error curve(ω1=0rad/s)

圖8 編隊(duì)角度誤差曲線(ω1=0 rad/s)Fig.8 Formation angle error curve(ω1=0 rad/s)

圖9 編隊(duì)方向角誤差曲線(ω1=0 rad/s)Fig.9 Formation direction angle error curve(ω1=0 rad/s)

圖10 編隊(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(ω1=0 rad/s)Fig.10 Formation trajectory curve(ω1=0 rad/s)

從圖3–10中可以看出,本文提出的自適應(yīng)控制方法在打滑和不打滑兩種情況下,均能使編隊(duì)距離l和角度ψ收斂到期望值的較小誤差范圍內(nèi),并保持編隊(duì)方向角誤差θe有界,實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制目標(biāo).分別對(duì)比圖3、圖4、圖7和圖8中Case1和Case2兩條曲線,可以看出,在不打滑狀態(tài)下,編隊(duì)距離l和角度ψ在3 s后收斂到目標(biāo)值的0.01誤差范圍內(nèi),并一直保持;在打滑狀態(tài)下,編隊(duì)距離l和角度ψ在5 s后收斂到目標(biāo)值的0.05的誤差范圍內(nèi),并一直存在振蕩.這與圖6和圖10中所展示的跟蹤軌跡曲線吻合.

從上述分析可知,本文提出的控制方法對(duì)打滑和不打滑兩種狀態(tài),均有很好的響應(yīng)速度,控制精度和自適應(yīng)能力.

6 結(jié)論

本文針對(duì)運(yùn)用領(lǐng)航跟隨法協(xié)調(diào)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)的多機(jī)器人編隊(duì),在跟隨機(jī)器人打滑狀態(tài)下,依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器和RBF NN參數(shù)非線性更新律.因建立的控制模型能統(tǒng)一表達(dá)打滑和不打滑兩種狀態(tài),通過(guò)嵌入控制器中的RBF NN能自適應(yīng)打滑和不打滑兩種狀態(tài),保證了閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)的收斂和有界,使得控制器對(duì)打滑和不打滑兩種狀態(tài)均有效,這提高了控制器的自適應(yīng)性,智能性和實(shí)用性.因本文未考慮領(lǐng)航機(jī)器人存在打滑的情況,所以為了更好地適應(yīng)實(shí)際情況,對(duì)領(lǐng)航機(jī)器人和跟隨機(jī)器人均存在打滑的情況將在后續(xù)研究中進(jìn)行.