關(guān)于定理“斜邊、直角邊”的證明方法之見解

華東師大版教材八年級上冊13.2.6中全等三角形的判定——斜邊、直角邊，當(dāng)時學(xué)習(xí)本節(jié)課時沒有給出證明，教師用書的注釋寫到：這個定理將在下一節(jié)中得到證明，這里應(yīng)讓學(xué)生確信這個判定方法是正確的，因此教材中省略了用運(yùn)動變換說明的過程，采用了先確認(rèn)，后補(bǔ)證的方法。

在13.3.1等腰三角形的性質(zhì)中，在證明“等腰三角形的兩底角相等”時，注釋中寫到：教材通過添加等腰三角形的頂角平分線，利用S.A.S等到全等的兩個三角形;若添加底邊的中線，則利用S.S.S可得全等的兩個三角形;若添加底邊上的高，則利用H.L同樣可得全等的兩個三角形。但H.L的證明需要用到等腰三角形的性質(zhì)，因此成了循環(huán)論證，這是不允許的，在教學(xué)中應(yīng)該避免這樣添加輔助線的方法。

上面是我將華東師大版的教材內(nèi)容，從前到后做了羅列，這里解釋一個詞語：循環(huán)論證

百度百科里是這樣解釋的：循環(huán)論證（又稱為乞詞魔術(shù)等），用來證明論題的論據(jù)本身的真實性要依靠論題來證明的邏輯錯誤。如證明"鴉片能催眠"，所用的論據(jù)是"它有催眠的力量"。而"鴉片有催眠的力量"，又要借助于"它能催眠"來證明。這就是犯了循環(huán)論證的自證。這是論證無謂的一種，當(dāng)辯士為支持某項主張所提供的根據(jù)，其實是同一主張換湯不換藥的重復(fù)時，就是進(jìn)入了"循環(huán)論證"的無謂性。換句話說，在循環(huán)論證中，論證的前提就是論證的結(jié)論，因此又稱為"先定結(jié)論"。

這樣解釋專業(yè)術(shù)語太強(qiáng)，可能有人不太理解，我舉個簡單的例子：

一個瘦子問胖子：“你為什么長得胖？”

胖子回答：“因為我吃得多。”

瘦子又問胖子：“你為什么吃得多？”

胖子回答：“因為我長得胖?！?/p>

胖子的回答真是令人啼笑皆非。他回答瘦子的第一個問題時，是以“吃得多”為理由的;而他回答瘦子的第二個問題時，又以“長得胖”為理由。胖子的回答能夠解決瘦子的問題嗎？當(dāng)然不能。胖子的這種論證，就叫做“循環(huán)論證”，是說明不了任何問題的。

胖子的循環(huán)論證雖然說明不了任何問題，但是胖子的兩個狀態(tài)“吃得多”“長得胖”卻是真實的。

作為一線老師，今年我給八年級的學(xué)生講全等三角形的性質(zhì)時，告訴學(xué)生不能添加底邊上的高作為輔助線，與后面HL的證明存在循環(huán)論證。我試過，這么講解的話，學(xué)生聽懂的真的沒幾個！隔了幾天測試一下，添加底邊上的高作為輔助線的又有很多學(xué)生，甚至，有的教師師講校級公開課，輔助線照樣添加底邊上的高。我就想，問題出在哪呢？

我就思考，那是不是有其它的解決方法？我翻閱了北師大版教材與人教版教材。

人教版教材中沒有給出證明，是利用畫圖驗證的，旁邊的注釋中寫到：在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，“斜邊、直角邊”條件是作為定理而不是基本事實要求的。我想，既然是定理，第一，為什么課本不直接表明？讓學(xué)生或者有的老師弄不清楚，我調(diào)查過，有的老師還認(rèn)為“斜邊、直角邊”是基本事實。第二，又為什么不給出證明呢？定理是需要邏輯推理來證明正確性的。因此，我認(rèn)為教材的編排應(yīng)該再斟酌斟酌！

北師大版教材中，七年級下冊學(xué)習(xí)三角形全等時并未給出關(guān)于HL定理的證明，而是在八年級上冊學(xué)習(xí)《勾股定理》時又補(bǔ)證了一下，并且易于理解，下面我詳細(xì)敘述一下證明方法。

我認(rèn)為學(xué)生最能接受的是這種證法，但是時間上是不是有點(diǎn)滯后呢？

基于此，我認(rèn)為華東師大版的教材在這個定理的編排上最好能考慮教學(xué)實際，不論從學(xué)生的理解上還是數(shù)學(xué)定理的本身，是不是能再完善一下。

我對華師大版教材的另一個疑問是：HL定理的證明既然是利用了等腰三角形的性質(zhì)，為什么不放在等腰三角形的性質(zhì)一節(jié)中講，為什么要放在等腰三角形的判定中呢？我真的是沒有想明白！

上面是我對幾個版本中HL定理證明的見解，有不到之處，敬請指出！

注：允許編制對論文進(jìn)行小的修改，如有大的變動請與作者溝通。

作者：曹曉瑞

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