帶有耦合Rellich項(xiàng)的臨界雙調(diào)和方程組解的存在性

康東升, 田丹丹, 馬玉恒, 曹玉平

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢 430074； 2 中南民族大學(xué) 圖書館,武漢 430074)

1 相關(guān)知識

在本文中，首先研究了下列雙調(diào)和方程組：

(1)

其中參數(shù)滿足下列假設(shè)：

這里D2,2(N)是N)關(guān)于范數(shù)的完備化空間，

(2)

其中Ω?N(N≥5)是包含原點(diǎn)的有界光滑區(qū)域，是外法向?qū)?shù)，a1,a2>0.

γ1(u2+v2)≤μ1u2+2λuv+μ2v2≤γ2(u2+v2),

其中γ1和γ2是矩陣E的特征值.

可以定義下列最佳常數(shù)：

S(μ*):=

由文獻(xiàn)[2]可知，S(μ*)的達(dá)到函數(shù)是：

(3)

這里Uμ*(x)>0是一個徑向?qū)ΨQ的遞減函數(shù)，滿足：

根據(jù)Rellich，Sobolev和Young不等式[3-5]，可以定義下列最佳常數(shù)：

S(μ1,μ2,λ):=

(4)

在積空間H×H上，方程組(2)對應(yīng)的能量泛函是：

J(u,v):=

其中J∈C1(H×H,).在積空間H×H和它的對偶空間(H×H)-1中定義對偶積：

這里J′(u,v)表示能量泛函J在點(diǎn)(u,v)的Fréchet導(dǎo)數(shù)，(u,v),(φ,φ)∈H×H. 如果(u,v)∈H×H{(0,0)}滿足：

J′(u,v),(φ,φ)=0,?(φ,φ)∈H×H,

則稱(u,v)為方程組(2)的解. 在方程組的所有解中，能量最小的解稱為基態(tài)解.

定義下列函數(shù)和常數(shù)：

設(shè)Λ1(μ*)是算子L的第一特征值，定義如下：

考慮下面的條件：

(H2)N≥9,μ*≤ζ,0

本文的主要結(jié)果可以歸納為以下定理：

定理2假設(shè)(H1),(H2)成立，則方程組(2)存在一個非平凡解(u0,v0)∈(H{0})2.

為方便起見我們用C表示正常數(shù)，有時省略積分式中的dx. 對任意t>0和充分小的ε>0，o(1)表示一個無窮小量，O(εt)表示滿足不等式|O(εt)|/εt

2 定理1的證明

定理1的證明假設(shè)(H1)成立，直接計算可得：

任取w∈D2,2(N){0}. 在(4)式中取檢驗(yàn)函數(shù)對(u,v)=(w,Aw)，可以得出：

在上式中對w∈D2,2(N){0}取下確界即得：

S(μ1,μ2,λ)≤f(A)S(μ*).

(5)

設(shè){(un,vn)}?D是S(μ1,μ2,λ)的極小化序列，令zn=snvn，其中：

于是就有：

(6)

由Young不等式可得：

由(6)式可以得到：

所以:

因?yàn)閒(A)=f(B)，當(dāng)n→∞時得出：

S(μ1,μ2,λ)≥f(B)S(μ*)=f(A)S(μ*),

(7)

由(5)和(7)式得出：

3 定理2的證明

證明假設(shè)序列{(un,vn)}?H×H滿足：

J(un,vn)→c,J′(un,vn)→0在對偶空間(H×H)-1上，

易證序列{(un,vn)}在H×H中有界，則存在{(un,vn)}的子序列，我們?nèi)杂洖閧(un,vn)}，存在(u,v)∈H×H，使得：

(8)

(9)

F(un,vn)?dρ=F(u,v)+ρ0δ0,

(10)

(11)

(12)

因此有：

(13)

(14)

類似于(13)式，可得：

(15)

(16)

另一方面，由于：

(17)

O(ε2(b(μ*)-δ)),

進(jìn)一步地，當(dāng)N≥9時：

證明定義函數(shù)：

0≤μ*≤ζ?b(μ*)-δ≥2,

所以有：

g(tε)≤

定理2的證明由山路引理[8,9]，引理1和引理3可知，存在能量泛函J的一個非零臨界點(diǎn)(u0,v0)∈H×H，它也是雙調(diào)和方程組(2)的一個解；另外由假設(shè)(H2)中的條件a1≠0,a2≠0，可知(u0,v0)≠(0,0). 定理2證畢.