孫景波

(山東省淄博第十一中學(xué)，255086)

高考命題可粗略分為沿襲與創(chuàng)新兩大類,從功能上看,這兩類試題各有其作用.沿襲是一種對知識的繼承,是強(qiáng)化基礎(chǔ)的必由之路；創(chuàng)新是知識撞擊的火花,是一個(gè)由量變到質(zhì)變的過程.每年的高考都會推出一批新穎而又別致的創(chuàng)新試題,令高考精彩紛呈.從歷年高考試題來看,創(chuàng)新題主要是指試題情境的創(chuàng)新,而且情境的創(chuàng)新也是“依綱據(jù)本”.

一、以教材為本

在選材立意上,以教材中核心概念、性質(zhì)法則、定理公式和例題習(xí)題為載體,以考查基礎(chǔ)知識和通性通法為主,以知識的交匯和應(yīng)用為命題重點(diǎn),檢測學(xué)生對教材知識的理解與掌握程度.

例1(2018年浙江高考題)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則( )

(A)a1

(B)a1>a3,a2

(C)a1a4

(D)a1>a3,a2>a4

解由結(jié)論lnx≤x-1，可知x≥lnx+1.

若公比q>0,則a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3),不合題意;若公比q≤-1,則a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,但ln(a1+a2+a3)=ln[a1(1+q+q2)]>lna1>0,即a1+a2+a3+a4≤0

綜上，a1>a1q2=a3,a2

評注通過函數(shù)不等式x≥lnx+1對題設(shè)不等式進(jìn)行放縮,進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍,是一個(gè)有效方法.

例2(2019年全國高考題)為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.

(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

分析(1)首先確定X所有可能的取值,再來計(jì)算出每個(gè)取值對應(yīng)的概率,從而可得分布列.(2)(i)求出a、b、c的取值,可得pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,…,7),再整理出符合等比數(shù)列定義的形式,問題得證;(ii)列出證得的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,采用累加的方式,結(jié)合p8和p0的值可求得p1，再次利用累加法可求出p4.

解(1)由題意，可知X所有可能的取值為-1、0、1.

于是，P(X=-1)=(1-α)β，P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，P(X=1)=α(1-β)，得X的分布列如下:

X-101 P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(2)由(1)及α=0.5,β=0.8，得a=0.5×0.8=0.4,b=0.5×0.8+0.5×0.2=0.5,c=0.5×0.2=0.1.

(i)由pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，整理可得5pi=4pi-1+pi+1，pi+1-pi=4(pi-pi-1)，故{pi+1-pi}是以p1-p0為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列.

(ii)由(i)知pi+1-pi=(p1-p0)·4i=p1·4i，故p8-p7=p1·47,p7-p6=p1·46,…,p1-p0=p1·40，

評注本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解、利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的項(xiàng)的問題.本題綜合性較強(qiáng),要求學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)列通項(xiàng)求解、概率求解的相關(guān)知識,對學(xué)生分析和解決問題能力要求較高.

二、以學(xué)生為本

在設(shè)問方式上,以分步設(shè)問為主,采用遞進(jìn)式、并列式、類比式和開放式相結(jié)合的方式,表述貼近教材,讓學(xué)生有似曾相似之感.

例3(2019年江蘇高考題)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.

(1)已知等比數(shù)列{an}滿足a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”;

(i) 求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(ii) 設(shè)m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn}(n∈N*),對任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時(shí),都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.

分析(1)由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可證得題中的結(jié)論.(2)第(i)問由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式;第(ii)問由(i) 確定n的值,將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，即可求得m的最大值.

解(1)設(shè){an}的公比為q,則a1≠0,q≠0.

(ii) 由(i) 知bk=k(k∈N*).因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M-數(shù)列”,設(shè)公比為q,則c1=1,q>0.因?yàn)閏k≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.

若m≥6,分別取k=3和6,得3≤q3,且q5≤6,從而q15≥243,且q15≤216,此時(shí)q不存在.因此，所求m的最大值小于6.

綜上,所求m的最大值為5.

評注本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力.

三、以素養(yǎng)為本

在問題情境上,依托課本素材加工改造,將解決問題所需要的核心知識、思想方法、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)文化內(nèi)隱其中進(jìn)行命題,反映數(shù)學(xué)的本質(zhì),有利于甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

例4(2019年全國高考題)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”,如圖1就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是( )

分析本題主要考查利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問題,滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng),“重卦”中每一爻有兩種情況,基本事件計(jì)算是住店問題,該重卦恰有3個(gè)陽爻是相同元素的排列問題,利用直接法即可計(jì)算.

評注對利用排列組合計(jì)算古典概型問題,首先要分析元素是否可重復(fù),其次要分析是排列問題還是組合問題.本題是重復(fù)元素的排列問題,所以基本事件的計(jì)算是“住店”問題,滿足條件事件的計(jì)算是相同元素的排列問題(即為排列組合綜合問題).

例5(2015年湖北高考題)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖2所示的陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),連結(jié)DE、BD、BE.

(1)證明：DE⊥平面PBC，試判斷四面體EBCD是否為鱉臑.若是, 寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由.

解(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,所以PD⊥BC,

由于底面ABCD為長方形,有BC⊥CD,且PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.

由DE?平面PCD,所以BC⊥DE.

又PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.由PC∩BC=C，得DE⊥平面PBC.

由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形,則四面體EBCD是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別是∠BCD、∠BCE、∠DEC、∠DEB.