郭俊鋒，楊 文

（蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

1 引言

滾動軸承作為機械設(shè)備中一種必不可少的通用零部件，其工作狀態(tài)直接影響著機械設(shè)備的正常運行。滾動軸承振動信號蘊含著機械設(shè)備工作過程中的大量信息。傳統(tǒng)的以奈奎斯特采樣定理為基礎(chǔ)的振動信號A/D檢測與采樣會產(chǎn)生巨量的監(jiān)測數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)對后續(xù)存儲、傳輸及處理形成了潛在的計算壓力。

壓縮感知理論[1]的出現(xiàn)為機械振動信號檢測與采樣提供了新的思路，可以遠低于奈奎斯特采樣率所要求的數(shù)據(jù)高概率重構(gòu)信號。目前對壓縮感知理論在機械振動信號的研究逐步深入，主要包括三個方面：振動信號的稀疏表示、測量矩陣和重構(gòu)算法的設(shè)計[2]。信號的稀疏表示是實現(xiàn)壓縮感知理論的前提和基礎(chǔ)，選擇適合機械振動信號的稀疏域并獲得信號在稀疏域上的最稀疏表示就顯得尤為重要。近幾年，信號在過完被字典上的稀疏分解得到了廣泛關(guān)注。一些研究嘗試采用K-SVD算法[3]從樣本集合中學(xué)習訓(xùn)練得到過完備字典后對信號進行稀疏表示，進而提高信號的壓縮重構(gòu)性能。K-SVD算法主要分三步實現(xiàn)：字典初始化、稀疏編碼和字典更新。文獻[4]針對K-SVD算法在字典更新過程中消耗時間較長的問題，從更新的字典原子列數(shù)出發(fā)對算法進行改進，并將其應(yīng)用于齒輪箱振動信號，提高了算法的速率。文獻[5]基于K-SVD過完備字典對振動信號進行稀疏表示，與離散余弦過完備字典相比，在保證壓縮比的同時有更好的重構(gòu)性能，提高了算法的精度。文獻[4-5]分別從字典更新和稀疏編碼入手對K-SVD算法的重構(gòu)性能進行了分析研究，較傳統(tǒng)K-SVD算法和DCT過完備字典，雖然改進算法和KSVD過完備字典在一定程度上性能有所改善，但均未考慮樣本對字典學(xué)習算法、特征提取及故障識別方法的影響。

樣本是信號內(nèi)容詳細信息的表達，而在實際應(yīng)用中，用于訓(xùn)練過完備字典的樣本集合中只包含一種信號類型，對重構(gòu)信號的精確性和穩(wěn)定性影響較大。為了進一步改進信號的重構(gòu)性能和后續(xù)特征提取、故障識別的精度，采用多種形式的振動信號構(gòu)造樣本，解決樣本集合中信號類型不足的問題，通過不同的樣本得到不同的字典學(xué)習結(jié)果。采用在數(shù)據(jù)樣本集合中隨機選取K個原子構(gòu)成初始字典的方式，研究K-SVD過完備字典完整訓(xùn)練樣本對滾動軸承振動信號重構(gòu)性能的影響。首先構(gòu)造用于學(xué)習的樣本集合，使其盡可能多地包含各種信號成分；然后從所構(gòu)造的樣本集合中隨機選取K個原子作為初始字典，采用K-SVD算法對初始字典進行訓(xùn)練更新得到過完備字典，獲得滾動軸承振動信號的最稀疏表示；最后利用高斯隨機測量矩陣對振動信號進行壓縮測量，基于壓縮測量數(shù)據(jù)采用OMP算法對信號進行重構(gòu)。并選用美國西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)進行實驗驗證。

2 壓縮感知基本框架

壓縮感知理論[6-8]是一種新的壓縮與采樣同時進行的信號采集理論，其采樣過程，如圖1所示。由圖1可知：滾動軸承振動信號f∈Rn在變換域Ψ上是稀疏的或可壓縮的，其線性投影的數(shù)學(xué)模型為：

圖1 壓縮感知理論框架Fig.1 The Theory Framework of Compression Sensing

式中：Φ∈Rm×n（m＜＜n）—測量矩陣；x—信號 f在變換基 Ψ 上的稀疏表示系數(shù)；y∈Rm×1—測量數(shù)據(jù)；||x||0—稀疏系數(shù)中非零項的個數(shù)。

為了方便求解，當信號本身或在某個變換域下具有稀疏性且測量矩陣滿足約束等距性（RIP）[9]時，可采用l1范數(shù)代替l0范數(shù)求解優(yōu)化問題。

目前上述優(yōu)化問題的求解方法主要有凸松弛算法和貪婪算法。凸松弛法所需采樣點數(shù)少，但計算復(fù)雜度較高，主要有基追蹤（BP）算法[10]；貪婪算法計算復(fù)雜度較低，但需要的測量數(shù)據(jù)多且精度較低，主要有匹配追蹤（MP）算法和正交匹配追蹤（OMP）算法。綜上所述，選用OMP算法[11]進行振動信號的重構(gòu)。

3 基于過完備字典完整訓(xùn)練樣本的滾動軸承振動信號壓縮重構(gòu)方法

3.1 基于K-SVD算法的滾動軸承振動信號過完備字典完整訓(xùn)練樣本設(shè)計

K-SVD算法是一種稀疏編碼和字典更新交替進行的貪婪算法，其思想是使每個原子的重構(gòu)誤差在字典更新階段最小。根據(jù)K-SVD算法的實現(xiàn)步驟，采用從數(shù)據(jù)樣本集合Y中隨機選取K個原子作為初始字典的方式，從樣本集合中包含的信號類型出發(fā)對算法進行改進，分別構(gòu)造單一信號樣本集合、綜合信號樣本集合及單一故障信號樣本集合，通過構(gòu)造不同的樣本集合獲得不同的初始字典，從而獲得更適合于滾動軸承振動信號的字典。通過構(gòu)造3種包含不同信號類型的樣本集合，分析同一滾動軸承振動信號在不同K-SVD過完備字典上的稀疏性，并研究滾動軸承振動信號基于K-SVD過完備字典的重構(gòu)性能和不同樣本集合對信號重構(gòu)性能的影響。

3.2 基于過完備字典完整訓(xùn)練樣本的滾動軸承振動信號重構(gòu)方法的實現(xiàn)步驟

（1）選取美國西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫振動數(shù)據(jù)，構(gòu)造不同的樣本集合Y。（2）隨機選取樣本集合Y中的K個原子作為初始字典D，基于K-SVD算法和OMP算法獲得最優(yōu)的過完備字典。（3）在K-SVD過完備字典上對滾動軸承振動信號f進行稀疏表示f=Dx。（4）選用高斯隨機矩陣作為觀測矩陣Φ，對n維信號f進行投影得到m維壓縮測量數(shù)據(jù)y。（5）根據(jù)壓縮測量數(shù)據(jù)y采用OMP算法對信號進行重構(gòu)，并基于重構(gòu)信號分析信號重構(gòu)性能。

4 實驗與分析

這里的所有實驗均在MATLABR2014a進行編程運行，操作系統(tǒng)為Windows7。選用美國西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)進行實驗驗證。該試驗對象為深溝球軸承，軸承型號為6205-RSJEMSKF，信號采樣頻率為12KHz。該試驗在軸承外圈、內(nèi)圈、滾動體上分別布置了單點故障，故障直徑分別為0.007、0.014、0.021英寸（1英寸=2.54cm）。

4.1 樣本集合的構(gòu)造及其稀疏性分析

4.1.1 單一軸承振動數(shù)據(jù)樣本集合的構(gòu)造

首先選用故障負載為0HP（1HP=746W）、故障直徑為0.007英寸（即0.1778mm）的驅(qū)動端外圈故障模式振動數(shù)據(jù)OR007@6實現(xiàn)單信號樣本集合的構(gòu)造。由于該振動信號是周期信號，為了訓(xùn)練字典的需要，故將信號進行擴展，選取0-512000采樣點作為單信號樣本集合Y1，然后從樣本集合Y1中選取K個原子作為初始字典D，并選取上述信號長度為512的外圈振動數(shù)據(jù)作為測試信號。

4.1.2 綜合軸承振動數(shù)據(jù)樣本集合的構(gòu)造

針對上述單信號樣本集合Y1存在的問題，考慮構(gòu)造包含多種信號類型的綜合樣本集合Y2，其構(gòu)造方式如下：綜合軸承振動數(shù)據(jù)和類別，如表1所示。共包括正常、外圈、內(nèi)圈、滾動體故障的10種故障數(shù)據(jù)類型中的29種信號（信號長度分別為25600），選取0-512000采樣點作為綜合信號樣本集合Y2，然后在綜合樣本集合Y2中隨機選取K個原子作為初始字典D。

表中：Normal—正常狀態(tài)；OR、IR、B—外圈、內(nèi)圈、滾動體故障，其后的數(shù)字表示故障程度，@后表示故障點所處方位；DE—驅(qū)動端數(shù)據(jù)；FE—風扇端數(shù)據(jù)；BA—基座數(shù)據(jù)。

4.1.3 單一故障軸承振動數(shù)據(jù)樣本集合的構(gòu)造

為了使上述長度為512的外圈振動測試信號基于過完備字典即有較好稀疏性又有較高的重構(gòu)精度，嘗試采用僅包含外圈故障的多種信號構(gòu)造單一故障樣本集合Y3，其構(gòu)造方式如下：表2為外圈單一故障軸承振動數(shù)據(jù)，故障直徑為0.007、0.014、0.021英寸的9種信號（信號長度為76800），選取0-512000采樣點作為單一故障樣本集合Y3。

表2 外圈故障數(shù)據(jù)名稱與類別Tab.2 The Name and Category of Outer Ring Fault Data

4.1.4 基于不同樣本集合的K-SVD過完備字典的滾動軸承振動信號稀疏性分析

首先基于上述3種樣本集合的構(gòu)造方式，構(gòu)造不同的樣本集合，然后確定K-SVD算法中的五大參數(shù)：初始字典原子個數(shù)K=600、原子長度n=512、樣本集合Y的原子個數(shù)N=1000、迭代次數(shù)J=10、稀疏表示振動信號所需最多原子個數(shù)L=10，最后選取上述信號長度為512的外圈振動數(shù)據(jù)進行滾動軸承振動信號的稀疏性分析。其中，測試信號的時域波形，如圖2所示。

圖2 外圈振動信號時域波形Fig.2 The Time Domain Waveform of Outer Ring Vibration Signal

將振動信號在不同K-SVD過完備字典上進行稀疏表示，采用OMP算法獲得振動信號在過完備字典上的稀疏表示系數(shù)，迭代一定次數(shù)后對分解系數(shù)按絕對值降序排列后，如圖3所示。

從圖3可以看出經(jīng)過多次迭代后振動信號在單一信號樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典上稀疏表示系數(shù)呈指數(shù)衰減，且在迭代106次時衰減為0。而在綜合信號和單一故障信號樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典上的稀疏性相對較差，但其稀疏表示系數(shù)按絕對值降序排列后也呈指數(shù)衰減。說明振動信號在K-SVD訓(xùn)練所得過完備字典上稀疏性較好。

圖3 按絕對值降序排列后的分解系數(shù)Fig.3 The Descending Order Decomposition Coefficient According to Absolute Value

4.2 基于不同K-SVD過完備字典的振動信號重構(gòu)誤差分析

采用相對誤差來衡量振動信號的重構(gòu)性能，相對誤差是指振動信號的絕對誤差與原始信號之比，其定義如下：

式中：σ—相對誤差；f—原始信號；f?—重構(gòu)信號。

相對誤差越小，說明重構(gòu)信號越接近原始信號，信號的重構(gòu)性能越好。本次實驗依然采用上述同一振動信號（OR007@6），KSVD算法中的參數(shù)設(shè)置不變，測量矩陣采用的高斯隨機矩陣，重構(gòu)算法采用OMP算法。圖4為OR007@6驅(qū)動端振動信號在不同樣本集合構(gòu)造方式下的重構(gòu)信號波形，其重構(gòu)誤差、重構(gòu)時間、K-SVD字典訓(xùn)練時間，如表3所示。

表3 不同樣本的重構(gòu)性能Tab.3 The Reconstruction Performance of Different Samples

從圖4和表3可以看出振動信號在單一故障信號構(gòu)造的樣本集合基于K-SVD算法訓(xùn)練所得過完備字典的字典訓(xùn)練時間為35.428794s，重構(gòu)相對誤差為1.5905e-15，相比其他兩種樣本集合構(gòu)造所得過完備字典，其重構(gòu)信號更接近原始信號，重構(gòu)性能更好。故在后續(xù)實驗中均采用單一故障信號構(gòu)造樣本集合訓(xùn)練獲得K-SVD過完備字典。根據(jù)單一故障樣本集合構(gòu)造方式，分別構(gòu)造正常、外圈、內(nèi)圈、滾動體故障樣本集合，并基于K-SVD算法訓(xùn)練獲得對應(yīng)的過完備字典，分別選取故障負載為0HP、故障直徑為0.007英寸、信號長度為512的驅(qū)動端數(shù)據(jù)Normal、OR007@6、IR007、B007作為測試信號，測試信號在不同過完備字典上的重構(gòu)誤差，如表4所示。

圖4 重構(gòu)信號波形Fig.4 The Waveform of Reconstruction Signal

表4 測試信號在不同過完備字典上的重構(gòu)誤差Tab.4 The Reconstruction Error of Test Signal Based on Different Over-Complete Dictionary

從表4可以看出，只有測試信號與過完備字典在同一故障狀態(tài)下時才有較高的重構(gòu)精度，意味著其他故障狀態(tài)下的信號不能在該字典上獲得最稀疏分解，這為后續(xù)故障診斷提供了新的思路。測試信號在對應(yīng)故障過完備字典上的重構(gòu)誤差、重構(gòu)時間及K-SVD字典訓(xùn)練時間，如表5所示。

表5 測試信號在對應(yīng)過完備字典上的重構(gòu)性能Tab.5 The Reconstruction Performance of Test Signal Based on Corresponding Over-Complete Dictionary

從表5可以看出，測試信號在對應(yīng)故障過完備字典的重構(gòu)性能較好，且基于單一故障數(shù)據(jù)構(gòu)造的樣本集合訓(xùn)練所得過完備字典的字典訓(xùn)練時間更短，重構(gòu)精度更高，重構(gòu)時間更短，進一步驗證了所提樣本構(gòu)造方法的有效性。

4.3 K-SVD過完備字典在不同采樣率下的重構(gòu)性能分析

為了分析滾動軸承振動信號在不同采樣率δ=m/n（式中：m—壓縮測量信號長度；n—原始信號長度）下的重構(gòu)性能，以下進行多組實驗，K-SVD算法中的參數(shù)設(shè)置如下：初始字典原子個數(shù)K=600、原子長度n=512、樣本集合Y的原子個數(shù)N=1000、迭代次數(shù)J=10、稀疏表示振動信號所需最多原子個數(shù)L=10。OR007@6驅(qū)動端外圈振動信號在采樣率為0.2-0.9范圍內(nèi)變化時的重構(gòu)誤差，如表6所示。

表6 不同采樣率下的重構(gòu)誤差Tab.6 The Reconstruction Error Under Different Sampling Rate

從表6中可以看出采用單一故障信號構(gòu)造樣本集合后基于K-SVD算法訓(xùn)練得過完備字典的重構(gòu)精度較高，當采樣率為0.9時，重構(gòu)誤差為1.5103e-15，即采樣率越大時重構(gòu)誤差越小。但是這并不適用于表6所示的情況，如表6所示。當采樣率為0.2、0.3時，其重構(gòu)誤差分別為1.5286e-15、1.5243e-15，即在較低采樣率時依然可以保證信號的重構(gòu)性能，這與壓縮感知理論的初衷一致，可以遠低于奈奎斯特采樣頻率所要求的采樣點數(shù)精確重構(gòu)信號。為了進一步驗證單一故障信號樣本集合訓(xùn)練得到K-SVD過完備字典的重構(gòu)性能。OR007@6驅(qū)動端外圈振動信號在不同采樣率和樣本集合構(gòu)造方式下所得過完備字典的重構(gòu)曲線，如圖5所示。

圖5 不同采樣率和樣本集合下的重構(gòu)曲線Fig.5 The Reconstruction Curves Under Different Sampling Rate and Sample Set

從圖5可以看出：在不同采樣率下，單一故障信號樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的重構(gòu)誤差遠遠小于其他2種樣本集合構(gòu)造方式下的重構(gòu)誤差，說明所提樣本構(gòu)造方法在不丟失原始信號主要信息的情況下，仍能保證信號具有較高的重構(gòu)精度。

5 結(jié)論

主要研究了K-SVD算法中樣本集合的構(gòu)造方式對信號重構(gòu)性能的影響，通過構(gòu)造單一振動數(shù)據(jù)、綜合振動數(shù)據(jù)以及單一故障數(shù)據(jù)三種樣本集合，將其應(yīng)用于滾動軸承振動信號，分析了信號基于不同樣本訓(xùn)練所得過完備字典的稀疏性。

仿真實驗結(jié)果表明，當采樣率不變時，單一信號樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的稀疏性較好，但其重構(gòu)誤差相對較大，字典訓(xùn)練時間較長。綜合信號樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的重構(gòu)誤差和字典訓(xùn)練時間居中。而單一故障信號樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的重構(gòu)誤差非常小，且字典訓(xùn)練時間僅占其他兩種情況字典訓(xùn)練時間的29.64%和37.79%。綜上所述，單一故障信號樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的重構(gòu)精度高、字典訓(xùn)練時間短、速度快，且在較低采樣率下依然可以較少的采樣點數(shù)高概率地重構(gòu)原始信號，非常適用于滾動軸承振動信號的恢復(fù)。