王殿宏，王文龍，李 雪

(東北林業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，哈爾濱 150040)

圖1 四維前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Four-dimensional feed-forward neural network

近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因其在模式識別、聯(lián)想記憶、組合優(yōu)化、自動控制等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，受到越來越多的關(guān)注.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)研究始于20世紀(jì)40年代.1943年，美國Mcculloch和Pitts首先提出了一種神經(jīng)元的數(shù)學(xué)模型，即MP模型[1].1982年，美國物理學(xué)家Hopfield提出了Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(HNN)模型[2].后來，許多學(xué)者提出并研究了大量的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并取得了顯著成果，如細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和雙向聯(lián)想記憶等[3-4].

隨著生物學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域研究的不斷深入，時(shí)滯動力系統(tǒng)的相關(guān)理論被廣泛應(yīng)用到這些領(lǐng)域中[5-7].由于外界干擾和信息處理速度有限，動力系統(tǒng)不可避免地存在時(shí)滯，時(shí)滯是影響系統(tǒng)動態(tài)行為的一個關(guān)鍵因素.而動力學(xué)系統(tǒng)除了研究穩(wěn)定性[8-9]外，還可研究其它動力學(xué)行為，如振蕩、混沌、多周期和不穩(wěn)定等[10].因此，許多科研工作者相繼對時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為進(jìn)行研究[11-12].魏俊杰等[13]研究了具有時(shí)滯的二維網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)模型的分支，王春梅等[14]研究了一類具有時(shí)滯的三維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的分支與穩(wěn)定性，李秀玲[15]研究了具有時(shí)滯的四維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的分支問題，本文對圖1所示的四個神經(jīng)元的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行研究.

由圖1，可建立如下方程：

(1)

其中ui(t)(i=1,2,3,4)表示第i個神經(jīng)元t時(shí)刻的活躍狀態(tài)，a，b為連接權(quán)值，τ≥0表示神經(jīng)元傳輸時(shí)滯.關(guān)于活躍函數(shù)f，在本文中假定：

(H1)f∈C1，f(0)=0，f′(0)=1；

在(H1)的條件下，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)的特征方程為:

(2)

其中Δ1=λ+1-(a+b)e-λτ，Δ2=λ+1-ae-λτ.

本文主要研究內(nèi)容如下：針對模型(1)，利用中心流形定理和規(guī)范型理論，討論了該模型產(chǎn)生Hopf分支的條件，假設(shè)輸出函數(shù)為雙曲正切函數(shù)，以μ作為分支參數(shù)計(jì)算其產(chǎn)生Hopf分支的直到三次項(xiàng)的約化規(guī)范型，并研究了Hopf分支周期解的穩(wěn)定性及分支方向；最后通過數(shù)值模擬仿真，對理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 Hopf分支存在性

定理1 如果(H2)a+b<-1,-1

i) 當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的.

ii) 當(dāng)τ=τj(j=0,1,…)時(shí)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支，其中：

證明i) 當(dāng)τ=0時(shí)，那么特征方程(2)的根分別為λ1=a+b-1<0和λ2=a-1<0，即平衡點(diǎn)(0,0,0,0)漸近穩(wěn)定.

所以，當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，Δ1=0的根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部.

綜上可得，當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，特征方程(2)的根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部，即系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的.

ii) 由Hopf分支產(chǎn)生的條件可知，當(dāng)τ=τj(j=0,1,2，…)時(shí)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支.

2 Hopf分支規(guī)范型

假設(shè)輸出函數(shù)為雙曲正切函數(shù)，將其作為神經(jīng)元的觸發(fā)非線性函數(shù).即:f(·)=tanh(·).

則系統(tǒng)(1)變?yōu)?

(3)

定理2 假設(shè)條件(H2)成立，當(dāng)τ=τ0時(shí)，以μ為分支參數(shù)，系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支的直到三次項(xiàng)的約化規(guī)范型為:

(4)

則系統(tǒng)(3)可寫為：

(5)

對于φ∈C,定義:

(6)

其中η是定義在[-1,0]上的有界變差函數(shù)矩陣，令η(θ)=τAδ(θ)+τBδ(θ+1)，δ(θ)是Dirac delta函數(shù)，則:

通過計(jì)算可得：

將相空間C分解為：C=P⊕Q，其中Q={φ∈C|(ψ,φ)=0,ψ∈P*}.在擴(kuò)充相空間BC中，系統(tǒng)(5)可以寫成抽象的常微分方程：

(7)

其中A是無窮小生成元A0的延拓[17].

定義投影映射π:BC→P，滿足：

π(φ+X0α)=Φ[(Ψ,φ)+Ψ(0)α].

(8)

則空間BC可分解為：BC=P⊕kerπ，于是系統(tǒng)(7)可寫成：

(9)

其中x∈C2，y∈Q1=Q∩C1?kerπ，C表示復(fù)數(shù)域.

令u=Φx+y代入系統(tǒng)(9)并展開可得：

(10)

其中：

(11)

其中：

由式(11)可知：

μx1e1，μx2e2

在中心流形中，方程(10)可寫為如下形式的規(guī)范型：

(12)

所以，系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支的直到三次項(xiàng)的約化規(guī)范型為式(4).

令x1=r(cosθ-isinθ)，x2=r(cosθ+isinθ)，并忽略高階項(xiàng)，則系統(tǒng)(4)可以寫成:

(13)

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，得到以下定理.

定理3 如果-并且μ足夠小，則:

(14)

是系統(tǒng)(13)的周期軌道.

定理4 對于系統(tǒng)(13)，

i) 當(dāng)μ<0時(shí)，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；

ii) 當(dāng)μ>0時(shí)，原點(diǎn)是不穩(wěn)定的；且此時(shí)產(chǎn)生漸近穩(wěn)定的周期解.

3 數(shù)值模擬

針對系統(tǒng)(3)產(chǎn)生Hopf分支的情形進(jìn)行數(shù)值模擬.取a=-0.5,b=-0.6時(shí)，條件(H1)，(H2)成立，系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處產(chǎn)生Hopf分支.計(jì)算得，ω0=0.458 3,τ0=5.917 8.

取μ=-1.417 8<0，則τ=τ0+μ=4.5時(shí)，由定理4可知，此時(shí)平衡點(diǎn)(0,0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的，如圖2.

取μ=0.082 2>0，則τ=τ0+μ=6，由定理4可知，此時(shí)平衡點(diǎn)(0,0,0,0)是不穩(wěn)定的，如圖3；并且此時(shí)會產(chǎn)生漸近穩(wěn)定的周期解，如圖4.

圖2 τ=4.5<τ0=5.178，平衡點(diǎn)(0,0,0,0)局部漸近穩(wěn)定Fig.2 The local asymptotic stability of equilibrium point(0,0,0,0)when τ=4.5<τ0=5.178

圖3 τ=6>τ0=5.9178，系統(tǒng)(3)出現(xiàn)周期解Fig.3 The periodic solution of system (3) when τ=6>τ0=5.917 8

圖4 系統(tǒng)(3)周期解的穩(wěn)定性Fig.4 Stability of periodic solution of system (3)

4 結(jié)語

本文研究了一類四維時(shí)滯前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(1)，對該模型產(chǎn)生Hopf分支的情形進(jìn)行討論，利用中心流形定理和規(guī)范型理論，以μ為分支參數(shù)計(jì)算相應(yīng)的規(guī)范型，得到了系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支周期解的條件，并給出了分支周期解穩(wěn)定性及分支方向的判別條件.最后，通過計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬仿真，對理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.