三議三磨：實(shí)現(xiàn)運(yùn)算教學(xué)算理與算法的無縫銜接

【摘要】本文以《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)（首位能整除）》的三次磨課議課為例，通過結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)算理算法，促進(jìn)學(xué)生筆算模型建構(gòu)，溝通算理與算法之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生既掌握運(yùn)算技能又發(fā)展思維能力。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算教學(xué) 算理 算法 磨課 議課

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）03A-0111-02

理解算理、掌握算法一貫以來都是運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)。算理是算法的本源，算法是算理的體現(xiàn)，教師在教學(xué)過程中也時刻關(guān)注著如何更好地溝通算理與算法之間的聯(lián)系，讓學(xué)生既掌握運(yùn)算技能又發(fā)展思維能力。但往往事與愿違，一節(jié)課下來，總有這樣那樣的典型性錯誤和非典型性錯誤出現(xiàn)，是教師教學(xué)的失誤？是學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法上的缺失？本文以《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)（首位能整除）》一課的三次磨課議課為例，談?wù)勅绾螌?shí)現(xiàn)在運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的無縫銜接。

一、一議一磨：重視算理理解，忽視算理算法的溝通

在第一次討論中，團(tuán)隊(duì)成員確定了“相關(guān)口算復(fù)習(xí)—探索兩位數(shù)除以一位數(shù)的算理算法—遷移三位數(shù)除以一位數(shù)的算法—總結(jié)算法”這樣的教學(xué)流程。

其中“探索兩位數(shù)除以一位數(shù)的算理算法”這一環(huán)節(jié)最為重要，例題通過“把46個羽毛球，平均分給兩個班，每班分得多少個？”這樣的情境，讓學(xué)生在分羽毛球的過程中理解兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位能整除）的算理，即先用40÷2=20，再用6÷2=3，最后20+3=23。對應(yīng)算理的三部曲揭示豎式計(jì)算的算法，先用兩位數(shù)中十位上的數(shù)除以除數(shù)得商十位上的結(jié)果，再用兩位數(shù)個位上的數(shù)除以除數(shù)得商個位上的結(jié)果，最后將商的十位與個位合起來就是完整的商。在這一過程中，“怎樣讓學(xué)生對算理有深刻的認(rèn)知”與“結(jié)合算理形成豎式計(jì)算的一般方法”成為討論的重點(diǎn)，最終確立了讓學(xué)生動手操作，通過擺小棒分、看圖分這樣的實(shí)際操作活動理解算理，掌握算法。教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.情境導(dǎo)入

教師出示情境圖，學(xué)生根據(jù)問題列式46÷2。

2.明晰算理

師：46÷2，商是幾？

師：還沒有答案的同學(xué)可以用小棒擺一擺，看看結(jié)果是多少;已經(jīng)有答案的同學(xué)也可以用小棒擺一擺，驗(yàn)證一下答案是否正確。

學(xué)生擺小棒，一人板演分一分。

師：第一步4個十怎么分，分了幾個十根，有沒有分完？第二步6個一怎么分，分了幾根，有沒有分完？

生1：先分整捆，分掉了40根，沒有剩余，再分單根，分掉了6根，沒有剩余，合起來每班分到23根。

師：還有不一樣的想法嗎？

生2：我是看著圖分的，每班先分得2筒，是20個，再分得3個，合起來是23個。

生3：40÷2=20，6÷2=3，20+3=23。

3.探索筆算算法

師：按我們得出的計(jì)算順序，除法可以用豎式來計(jì)算，也就是筆算。按剛才我們的計(jì)算順序，豎式上先算什么？

生1：先算4除以2。

師：2寫在哪一位？為什么？

生2：4在十位上，表示4個十，4個十除以2得2個十，2寫在十位上。

師：十位上分掉了多少？有沒有分完？怎樣計(jì)算？

生3：十位上分掉4個十，沒有剩余。

師：十位算完了，接下來算什么？

生4：6個一除以2得3個一。

師：個位上的6除以2，商3寫在哪一位？為什么？

生5：3表示3個一，寫在個位。

師：個位上分掉了多少？有沒有分完？

生6：個位上分掉了6個一，沒有剩余。

師：十位上的計(jì)算對應(yīng)分小棒、分羽毛球的哪一步？個位上的呢？

（學(xué)生交流，并把豎式計(jì)算過程在自備本上寫一寫）

4.算法遷移

師：兩位數(shù)除以一位數(shù)我們學(xué)會了，那么三位數(shù)除以一位數(shù)會嗎？試試看？

（學(xué)生嘗試計(jì)算后交流）

小結(jié)：三位數(shù)除以一位數(shù)，先用百位上的數(shù)除以一位數(shù)，商寫在百位，再移下十位上的數(shù)，用十位上的數(shù)除以一位數(shù)，商寫在十位，最后移下個位上的數(shù)，再用個位上的數(shù)除以一位數(shù)，商寫在個位上。

二、二議二磨：重視算理算法的結(jié)合

第二次討論，結(jié)合第一次試教的課堂觀察，團(tuán)隊(duì)成員發(fā)現(xiàn)雖然結(jié)合動手操作，學(xué)生理解了46÷2的算理，但在筆算教學(xué)中，缺乏算理算法的對比，并沒有溝通好算理與算法之間的聯(lián)系，部分學(xué)生只是被動地接受豎式計(jì)算的程序，沒有深入思考為什么要列豎式計(jì)算的本質(zhì)，導(dǎo)致筆算算法與算理脫節(jié)。同時這也是學(xué)生第一次接觸被除數(shù)是兩位數(shù)的除法筆算，對豎式計(jì)算的步驟和格式?jīng)]有深入理解，只停留在接受層面。因此，在教學(xué)過程中，筆算的每一個步驟都需要講解，由此帶來教師講得太細(xì)反而使學(xué)生對筆算的步驟沒有理解的缺陷。因此在第三環(huán)節(jié)的算法遷移環(huán)節(jié)，部分學(xué)生沒有掌握筆算的步驟，練習(xí)時也只是模仿例題的計(jì)算程序，導(dǎo)致計(jì)算速度和正確率不高，并出現(xiàn)了大量的格式錯誤。

針對第一次試教的情況，筆者確定了在算理交流環(huán)節(jié)，將不同的算理適度提煉總結(jié)：不管是用小棒分，還是看圖想或者看算式想，都是先把40除以2，再把6除以2，最后將這兩個得數(shù)合起來是23。

在探索筆算環(huán)節(jié)，使用多媒體課件出示豎式的十位，遷移表內(nèi)除法筆算的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算，再使用多媒體出示豎式的個位進(jìn)行筆算。這樣將豎式計(jì)算與算理的三個步驟對應(yīng)，以此加深學(xué)生的理解。

第二次試教，通過三種算理的對比總結(jié)，結(jié)合板書呈現(xiàn)，大部分學(xué)生能根據(jù)算理理解筆算的程序，知道列豎式計(jì)算分成三步，第一步計(jì)算被除數(shù)的十位除以除數(shù)，第二步計(jì)算被除數(shù)的個位除以除數(shù)，第三步將前兩步的結(jié)果合起來得到商。但在課堂記錄和后測中筆者發(fā)現(xiàn)，整個教學(xué)過程中，筆算的過程仍顯得繁雜，后測數(shù)據(jù)顯示較第一次試教略有提升，但還有部分學(xué)生的算法有誤。主要原因：雖然算理和算法得到溝通，但教學(xué)過程中學(xué)生缺乏整體思考，不利于學(xué)生總結(jié)算法。

三、三議三磨：整體把握算理，建構(gòu)算法模型

針對兩次試教都不能完成教學(xué)任務(wù)，三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算遷移情況不理想的情況，團(tuán)隊(duì)成員建議，將這部分內(nèi)容劃分為兩個課時，第一課時教學(xué)“兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”，在學(xué)生扎實(shí)掌握兩位數(shù)除以一位數(shù)的豎式計(jì)算程序的情況下再教學(xué)第二課時“三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”。

第二次試教雖然學(xué)生計(jì)算的速度和正確率都有所提升，但不論是算理的呈現(xiàn)還是豎式計(jì)算的步驟都過程瑣碎，不利于學(xué)生對筆算程序的整體認(rèn)知。因此，在算理與算法的教學(xué)環(huán)節(jié)要重視整體的建構(gòu)。

首先在明晰算理環(huán)節(jié)，將學(xué)生的三種資源對比歸納為三句話：先用4個十除以2得個十，分掉了4個十，再用6個一除以2得3個一，分掉了6，2個十和3個一合起來是23。其次在探索筆算方法環(huán)節(jié)，先引導(dǎo)學(xué)生思考：按第一環(huán)節(jié)的計(jì)算順序，可以分幾步列豎式計(jì)算？學(xué)生交流達(dá)成共識：分兩步，第一步算4個十除以2得個十，第二步算6個一除以2得3個一。筆算后引導(dǎo)學(xué)生整體回顧反思，筆算46÷2，先算什么，再算什么，讓學(xué)生整體認(rèn)知筆算的程序。

四、測試分析

每次試教后，均對試教班級進(jìn)行了相同內(nèi)容的課后測試，下圖為三次后測的結(jié)果統(tǒng)計(jì)。

需要說明的是，后測題中的筆算題結(jié)構(gòu)與例題一致，算理題是例題的變式，檢測了學(xué)生能否順利將新知正遷移，解決同類問題。三次教學(xué)中，被測試的三個班級無論是平時課堂的反映還是學(xué)期的測試成績，學(xué)業(yè)水平不分伯仲，三次后測的數(shù)據(jù)足以說明不同的教學(xué)策略給學(xué)生帶來不同的遷移能力的提升。

第三次試教的結(jié)果是最理想的，分析原因主要有以下兩點(diǎn)：

（一）有舍有得，突出本質(zhì)，解決核心問題

結(jié)合前兩次新授內(nèi)容過多，三位數(shù)除以一位數(shù)學(xué)生掌握不扎實(shí)的情況，舍去部分內(nèi)容，基礎(chǔ)知識得到扎實(shí)建構(gòu)。學(xué)生在筆算兩位數(shù)除以一位數(shù)的算法還沒有完全理解和掌握的情況下，就學(xué)習(xí)筆算三位數(shù)除以一位數(shù)是非常困難的，同時在算法的遷移上多一個步驟也增加了一個難度，舍去筆算三位數(shù)除以一位數(shù)的內(nèi)容，學(xué)生就多了對比、練習(xí)、總結(jié)的時間，及時的練習(xí)鞏固使得學(xué)生對筆算兩位數(shù)除以一位數(shù)的程序和算理有了更加深刻的理解。

同時舍去瑣碎問題，使得關(guān)鍵問題得到充分理解。在列豎式計(jì)算的過程中，“前兩步分了多少，還剩下多少”這些學(xué)生在學(xué)習(xí)筆算表內(nèi)除法時就有了相關(guān)經(jīng)驗(yàn)的問題簡單回顧，將注意力始終集中在“第一步計(jì)算什么”“第二步計(jì)算什么”“第三步怎樣做”這三個問題上，便于學(xué)生聚焦這節(jié)課的核心內(nèi)容。

（二）整體把握，突出結(jié)構(gòu)，算理算法結(jié)合更緊密

在算理與算法的教學(xué)環(huán)節(jié)更重視整體的建構(gòu)，對筆算的程序有整體的認(rèn)知，使算理和算法都形成統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生理解算理、形成算法。第三次試教，無論是哪種算理，都?xì)w納于“4個十除以2得2個十”“6個一除以2得3個一”“2個十和3個一合起來是23”這三句話。算理的三個步驟與算法的三個步驟一一對應(yīng)，也是這三句話，即第一步算十位、第二步算個位、得數(shù)就是十位和個位的結(jié)合。三個步驟的呈現(xiàn)，統(tǒng)一的敘述使得學(xué)生更能從整體上把握列豎式計(jì)算的程序，板塊化呈現(xiàn)更便于學(xué)生突破這節(jié)課的學(xué)習(xí)難度，在認(rèn)知上更結(jié)構(gòu)化，有利于豎式計(jì)算模型的建構(gòu)。而筆算前算法步驟的預(yù)計(jì)，筆算中三個步驟的概括，筆算后算法的總結(jié)，也讓學(xué)生對算法的理解更清晰。

運(yùn)算教學(xué)看似簡單，實(shí)則繁雜，每一個計(jì)算程序的來龍去脈都有理有據(jù)，稍有不慎學(xué)生就會產(chǎn)生認(rèn)知上的偏差，只有將算理與算法有效結(jié)合，并以學(xué)生更易接受的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知方式呈現(xiàn)，才能真正達(dá)到理解算理、掌握算法的教學(xué)目的，提高學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。

作者簡介：任曉霞（1983— ），女，江蘇常州人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

（責(zé)編 林 劍）