陳書(shū)坤

(山東青年政治學(xué)院 信息工程學(xué)院，濟(jì)南 250103)

關(guān)于函數(shù)極限的求解方法，在高等數(shù)學(xué)教材中主要介紹了極限的四則運(yùn)算、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小代換、洛必達(dá)法則，等等。為了豐富求函數(shù)的極限方法，現(xiàn)總結(jié)介紹幾種高等數(shù)學(xué)教材中不常用的函數(shù)極限求解方法。

1 利用微分中值定理求極限

在利用微分中值定理時(shí)需要構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，而函數(shù)可以通過(guò)觀(guān)察極限的結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行合理構(gòu)造。

其中ξ∈(1-4x2,1-x2)。當(dāng)x→0時(shí)，ξ=1

(說(shuō)明：本題也可用洛必達(dá)法則或泰勒展開(kāi)公式求解。)

2 利用泰勒展開(kāi)公式求極限

在求解函數(shù)極限時(shí)有時(shí)需要用到泰勒展開(kāi)公式，尤其是一些初等函數(shù)的麥克勞林公式，如ex、sinx、cosx、ln(1+x)、(1+x)α等。在使用泰勒公式時(shí)，至于需要將所展函數(shù)展開(kāi)到第幾項(xiàng)還需要根據(jù)具體情況進(jìn)行相應(yīng)處理。例如，若求解的是分式函數(shù)的極限，則需要根據(jù)分子、分母的冪次來(lái)決定，原則是展開(kāi)后(去掉高階無(wú)窮小)使得分子、分母的最高次冪相等。

所以原式

(說(shuō)明：本題也可用洛必達(dá)法則求解，但由于本題分子中含有根號(hào)，求導(dǎo)時(shí)會(huì)變得較為繁瑣，而使用泰勒展開(kāi)公式會(huì)更簡(jiǎn)便。)

3 利用積分中值定理求極限

利用積分中值定理可以求某些含有定積分表達(dá)式的函數(shù)極限。

解：由于f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則由積分中值定理可知：

則有：

(說(shuō)明：本題從結(jié)構(gòu)上來(lái)看可以使用洛必達(dá)法則求解，但在求解時(shí)遇到了不符合洛必達(dá)法則條件的情況，因此不能使用洛必達(dá)法則。)

4 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

當(dāng)在函數(shù)極限出現(xiàn)有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的相關(guān)條件時(shí)，可以考慮根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義表達(dá)式進(jìn)行求解。

解：由題知

(說(shuō)明：本題也可以利用洛必達(dá)法則和拉格朗日中值定理求解。)

5 利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求極限

當(dāng)所求函數(shù)極限中出現(xiàn)諸如ex、sinx、cosx、ln(1+x)等類(lèi)似形式的函數(shù)時(shí)，可以考慮將其展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。該方法可以將復(fù)雜函數(shù)表示為簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)，從而便于求出函數(shù)極限。

(說(shuō)明：該題也可以通過(guò)換元將其變?yōu)榉质胶瘮?shù)，然后使用洛必達(dá)法則求解。)

6 利用函數(shù)與極限的關(guān)系求極限

有些函數(shù)的求極限問(wèn)題可以根據(jù)函數(shù)與極限的關(guān)系進(jìn)行求解：若limf(x)=A，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=A+α(x)，α(x)→0

于是f(x)=sin2x·[e(5+α(x))·(3x-1)-1]

而e(5+α(x))·(3x-1)-1～(5+α(x))·(3x-1)(x→0)

則有：

(說(shuō)明：本題也可以直接根據(jù)四則運(yùn)算法則及等價(jià)無(wú)窮小代換求解。)