王磊，陳玉婷，徐燕燕，3，葉爽，黃偉光，3

（1 中國(guó)科學(xué)院上海高等研究院，上海201210； 2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049； 3 上海科技大學(xué)物質(zhì)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海201210）

引 言

當(dāng)今世界的能源與環(huán)境問題日益嚴(yán)重，節(jié)能減排已經(jīng)成為社會(huì)可持續(xù)發(fā)展的重要議題。換熱網(wǎng)絡(luò)（heat exchanger network,HEN）通過合理分配工藝物流的能量達(dá)到提高能源利用效率的目的，在高能耗的石油、化工、冶金等過程工業(yè)的節(jié)能環(huán)節(jié)中扮演著重要的角色，優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)的性能對(duì)節(jié)約能源與保護(hù)環(huán)境具有重要意義[1-2]。在1965 年，Hwa[3]于美國(guó)化學(xué)工程協(xié)會(huì)上首次提出了換熱網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)化問題之后，經(jīng)過五十余年的發(fā)展，目前關(guān)于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型的研究方法主要分為兩種，熱力學(xué)方法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法[4]。1971 年,Hohmann[5]第一次介紹了基于熱力學(xué)原理可以得到給定換熱網(wǎng)絡(luò)的最小公用工程量。在1983 年，Linnhoff 等[6]以熱力學(xué)第一定律為基礎(chǔ)提出了夾點(diǎn)設(shè)計(jì)方法（pinch technology），將 最 大 能 量 回 收（maximum energy recovery, MER）作為目標(biāo)來設(shè)計(jì)換熱網(wǎng)絡(luò)，Asante等[7]將該夾點(diǎn)理論拓展應(yīng)用于現(xiàn)有過程系統(tǒng)的節(jié)能改造項(xiàng)目中，取得良好節(jié)能效果。與此同時(shí)，為了使換熱網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化更接近實(shí)際工程，研究者們也開始考慮投資費(fèi)用，Yee 等[8-9]基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法建立了分流分級(jí)的換熱網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)模型，該模型使用最低年均總成本（total annual cost,TAC）為優(yōu)化目標(biāo)來設(shè)計(jì)換熱網(wǎng)絡(luò)，受到學(xué)者們的廣泛認(rèn)同[10-11]。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化的理論愈發(fā)受到重視，國(guó)內(nèi)外學(xué)者不僅以包括換熱器數(shù)目、換熱面積、公用工程量在內(nèi)的換熱網(wǎng)絡(luò)多種經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)為目標(biāo)，還以包括溫室氣體排放量在內(nèi)的環(huán)境影響度、柔性與可操作性、財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)管理等為目標(biāo)[1,12-15]，建立了眾多不同的多目標(biāo)優(yōu)化模型。Jin 等[1]通過優(yōu)化最小傳熱溫差與燃料種類，將環(huán)境影響度與經(jīng)濟(jì)性兩個(gè)目標(biāo)按照一定的權(quán)重系數(shù)進(jìn)行同時(shí)優(yōu)化，達(dá)到節(jié)能減排的目的；Pav?o等[14]采用一種元啟發(fā)搜索算法對(duì)包括費(fèi)用和CO2排放量的多目標(biāo)模型進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果顯示，不僅環(huán)境影響系數(shù)更低，而且費(fèi)用也具有更大的競(jìng)爭(zhēng)力；Kang 等[15]將熱泵系統(tǒng)與換熱網(wǎng)絡(luò)耦合，提出一種多目標(biāo)分步改造策略，將本來需要公用工程冷卻的部分能量作為熱泵的熱源，以獲得經(jīng)濟(jì)性最優(yōu)的CO2減排方案。實(shí)際上，換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題在結(jié)構(gòu)上可以分為兩部分：冷熱流股之間進(jìn)行換熱的內(nèi)部換熱部分和需要與公用工程換熱的剩余流股部分，換熱網(wǎng)絡(luò)最低費(fèi)用的核心是優(yōu)化內(nèi)部換熱部分的換熱器分配方案，而影響換熱網(wǎng)絡(luò)的環(huán)境影響度、耦合熱功系統(tǒng)能量來源等問題的因素是剩余流股部分的能量品質(zhì)，這兩個(gè)部分互相影響，降低內(nèi)部換熱部分的不可逆損失會(huì)提高外部剩余流股部分的能量品質(zhì)，因此解決換熱網(wǎng)絡(luò)綜合優(yōu)化問題就要從不同的角度更合理全面地權(quán)衡這內(nèi)外兩部分。

大多數(shù)文獻(xiàn)中的換熱網(wǎng)絡(luò)年均總成本其本質(zhì)仍然是以熱力學(xué)第一定律為理論基礎(chǔ)計(jì)算能耗費(fèi)用，只考慮了網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部能量回收的數(shù)量大小，忽略了回收能量的品質(zhì)差別以及換熱網(wǎng)絡(luò)的環(huán)境影響度及耦合系統(tǒng)能量來源等問題[16]。在換熱網(wǎng)絡(luò)能量“量”的回收過程中，不可逆損失導(dǎo)致了回收能量品質(zhì)的下降，這種品質(zhì)的變化可基于熱力學(xué)第二定律用分析法、熵產(chǎn)法來評(píng)價(jià)，Hamsani 等[17]將分析方法與夾點(diǎn)法結(jié)合，來優(yōu)化流股換熱過程中的傳熱溫差，進(jìn)而降低潛在的做功損失；Cheng 等[18]提出了基于熵產(chǎn)最小理論的傳熱熵阻，通過對(duì)簡(jiǎn)單雙流股換熱器和換熱網(wǎng)絡(luò)的案例分析，驗(yàn)證了更小的傳熱熵阻能夠一直表示更好的傳熱性能。過增元等[19-20]提出一個(gè)用來描述物體傳遞熱量能力的物理量——“”，它可用來分析流體熱量的傳遞效率[21-23]，能夠更直接地反映換熱網(wǎng)絡(luò)能量品質(zhì)的回收情況。在優(yōu)化設(shè)計(jì)單個(gè)換熱器時(shí)，柳雄斌等[24]通過比較熵產(chǎn)極值準(zhǔn)則和耗散極值準(zhǔn)則的差別，得出參與熱功轉(zhuǎn)換的換熱器取熵產(chǎn)最小優(yōu)化準(zhǔn)則較好，而對(duì)僅進(jìn)行熱量傳遞的換熱器取耗散最小優(yōu)化準(zhǔn)則較好的結(jié)論。Zhang 等[25]以空調(diào)系統(tǒng)分析為例，通過(1-T0/T)-Q 和T-Q 圖對(duì)比分析和的區(qū)別，能夠在T-Q 圖中通過面積直接體現(xiàn)不可逆損失，而不能。但是鮮有文獻(xiàn)結(jié)合耗散理論指導(dǎo)如何利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)，相對(duì)于熵S=Q/T 和Ex=Q(1-T0/T)用Q 與1/T 的表達(dá)方程，G=QT/2 用Q 與T 表達(dá)第二定律，它的一階微分方程dG =是齊次線性的，便于算法求解優(yōu)化問題 的Hessian 矩 陣，而卻是非齊次非線性的。通過與單個(gè)換熱過程的類比，針對(duì)換熱網(wǎng)絡(luò)也可利用耗散理論來指導(dǎo)換熱網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化——代表不可逆損失的耗散越小，效率越高，換熱網(wǎng)絡(luò)能量回收的品質(zhì)就越高。然而提高效率勢(shì)必會(huì)增大換熱器的面積，造成投資費(fèi)用過高，因此，僅以效率為目標(biāo)設(shè)計(jì)換熱網(wǎng)絡(luò)會(huì)偏離實(shí)際工程。

綜上所述，本文首先進(jìn)行換熱網(wǎng)絡(luò)綜合的問題描述，再針對(duì)換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中不僅要考慮回收能量的“量”，還要考慮能量回收過程中“質(zhì)”的耗散問題，建立綜合能量回收數(shù)量、品質(zhì)并同時(shí)考慮換熱網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)性的MOMINLP 模型，再采用分步優(yōu)化方法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)單目標(biāo)問題：先解得最低TAC，通過松弛系數(shù)ε 將費(fèi)用控制在可以接受的范圍內(nèi)，以此求解最大剩余流股流(surplus entransy, SE)表示的換熱網(wǎng)絡(luò)最高效率(maximum entransy efficiency,MEE)結(jié)果，最終可以得到滿足最大能量回收量并且在成本可控前提下具有最高效率的換熱網(wǎng)絡(luò)布置方案。最后通過多目標(biāo)約束優(yōu)化方法對(duì)經(jīng)典的10SP1 算例進(jìn)行計(jì)算求解，得到綜合經(jīng)濟(jì)性與效率的換熱網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)綜合設(shè)計(jì)方案。

1 換熱網(wǎng)絡(luò)的熱力學(xué)分析

1.1 換熱網(wǎng)絡(luò)的問題描述

如圖1所示，換熱網(wǎng)絡(luò)問題一般可被描述為：給定H 股熱流體I ={i|1,…,H}，它們需要從各自的進(jìn)口溫度Th,i,in被冷卻至各自的目標(biāo)出口溫度Th,i,out；給定C 股冷流體J ={j|1,…,C}，它們需要從各自的進(jìn)口溫度Tc,j,in被加熱至各自的目標(biāo)出口溫度Tc,j,out。同時(shí)，每股流體的熱容流率CPh,i和CPc,j也是已知的。冷流體和熱流體之間可以通過投資換熱器單元HE進(jìn)行換熱，從而互相回收冷、熱流體之間的能量，并分別增高或降低冷、熱流體的溫度使它們可以盡量達(dá)到各自的目標(biāo)出口溫度。最后沒有達(dá)到出口目標(biāo)溫度的流股，則需要引入額外投資的熱公用工程HUj和冷公用工程CUi分別對(duì)其進(jìn)行加熱或冷卻至目標(biāo)出口溫度。

1.2 換熱網(wǎng)絡(luò)中的能量回收量分析

圖1 換熱網(wǎng)絡(luò)問題示意圖Fig.1 Schematic diagram of HEN problem

圖2 換熱網(wǎng)絡(luò)總組合曲線Fig.2 HEN composite curves

在圖2 所示的T-Q 圖中，縱軸T 代表溫度，即熱勢(shì)，橫軸Q表示換熱量。在T-Q圖中，所有熱流體可以組合成熱組合曲線，總熱值為Qh，如圖2中紅色曲線所示；所有冷流體可以組合成冷組合曲線，總熱值為Qc，如圖2中藍(lán)色曲線所示，其中虛線部分代表可能的任意曲線[6]。在T-Q 圖中，將換熱網(wǎng)絡(luò)整個(gè)換熱過程分成三個(gè)部分：內(nèi)部熱量回收Qex段，剩余熱流股Qcu段，剩余冷流股Qhu段。而換熱網(wǎng)絡(luò)所含有的總熱量值是一定的，它是冷熱流股所含熱量值的總和，表示為

在圖2 中，夾點(diǎn)（pinch）是熱組合曲線與冷組合曲線重合部分溫差最小的位置，此處的溫差為換熱網(wǎng)絡(luò)夾點(diǎn)溫差ΔTpinch，也是夾點(diǎn)處某換熱器的換熱溫差。熱組合曲線與冷組合曲線的重合部分投影到Q 軸上為換熱網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部熱回收量Qex，由于Q 為過程量，組合曲線可以通過沿著Q 軸平移縮小ΔTpinch，增大內(nèi)部熱回收量Qex。然而考慮到換熱器的面積不能無限大，換熱器兩側(cè)的熱流體與冷流體間存在大于0的最小傳熱溫差ΔTmin。因此當(dāng)ΔTpinch= ΔTmin時(shí)組合曲線不能繼續(xù)平移，此時(shí)換熱網(wǎng)絡(luò)的Qex達(dá)到MER[6]。左下方熱流體多出的線段投影到橫軸Q 上為額外需要的冷公用工程Qcu，右上方冷流體多出的線段投影到橫軸Q 上為額外需要的熱公用工程Qhu，因此求出換熱網(wǎng)絡(luò)的MER，即可得到最小公用工程用量。

1.3 換熱網(wǎng)絡(luò)中的不可逆損失分析

過增元等[19]提出的描述物體傳遞熱量能力的物理量——，即物體具有的能量品位，定義為

對(duì)于壓力和容積不變的換熱網(wǎng)絡(luò)，換熱流體的比定容熱容cv與比定壓熱容cp基本相等，因此換熱流體的流可表示為

換熱網(wǎng)絡(luò)由多個(gè)換熱器組成，每個(gè)換熱器的不可逆換熱過程中都存在溫差使得流體的部分在換熱過程中被耗散，與熱量值對(duì)應(yīng)地，換熱網(wǎng)絡(luò)不可逆損失也分為內(nèi)部換熱過程的流耗散，剩余熱流股和冷流股的流這三個(gè)部分。這三部分流的總量是由進(jìn)入換熱網(wǎng)絡(luò)的總流和流出換熱網(wǎng)絡(luò)的總流決定的

Chen 等[31]引入T-q 圖從傳熱過程不可逆性的角度直觀分析傳熱過程的性能，并指出圖中冷熱流體換熱曲線圍成的面積代表流耗散，即換熱過程中的不可逆損失，如圖2 中Th,inTh,r,outTc,inTc,r,out和圖3 中Th,inTh,r,outTc,inTc,r,out所圍成陰影部分的面積，表示為

圖3 改造后的換熱網(wǎng)絡(luò)組合曲線Fig.3 HEN retrofit composite curves

用Th,r,out、Tc,r,out分別表示熱、冷流體從內(nèi)部換熱過程出口時(shí)剩余流股的初始溫度，則換熱網(wǎng)絡(luò)剩余流股的總流（SE）為

如圖3 所示在內(nèi)部換熱量Qex不變的條件下，通過分流調(diào)整圖2 中流股的流量，減小換熱網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部流耗散G˙diss[22-23]，以提升換熱網(wǎng)絡(luò)的效率η，因此，剩余流股總流SE 也就增大。而增大SE 會(huì)使得熱剩余流股的初始溫度Th*,r,out相 對(duì) 于 圖2 升 高ΔTh,Rt，冷剩余流股的初始溫度Tc*,r,out相對(duì)于圖2 降低ΔTc,Rt，熱、冷剩余流股的傳熱能力都增強(qiáng)了，并且根據(jù)式（6）可得到此時(shí)的SE 增大了

2 換熱網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)

結(jié)合第1節(jié)中對(duì)換熱網(wǎng)絡(luò)的熱力學(xué)分析與實(shí)際工程應(yīng)用需求，優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)需要考慮的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則有：①最少換熱器數(shù)目；②最小換熱器面積；③最小公用工程量；④最高效率。其中，對(duì)①②③三個(gè)準(zhǔn)則的優(yōu)化方法是，根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)分別對(duì)其賦以一定的價(jià)格權(quán)重系數(shù)，將其線性整合成為一個(gè)年均總成本函數(shù)TAC[9]，但是評(píng)判能量品質(zhì)回收情況的效率在物理意義上并不能直接按照價(jià)格分配權(quán)重系數(shù)。

換熱網(wǎng)絡(luò)的超結(jié)構(gòu)模型假設(shè)有K 級(jí)，每級(jí)內(nèi)的熱流股最多C股支流，冷流股最多H 股支流，一般取K=max{H,C}，如圖4 所示該超結(jié)構(gòu)模型能使換熱網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部冷熱流股之間盡可能“充分”換熱。假設(shè)換熱流體流動(dòng)為一維定常，與環(huán)境沒有熱量交換，忽略流體動(dòng)能和勢(shì)能的變化。根據(jù)上述設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式概括為

式中，f1= costUTS為換熱器固定投資費(fèi)用；f2=costHES為換熱器面積費(fèi)用；f3= costHUS為熱公用工程費(fèi)用；f4= costCUS為冷公用工程費(fèi)用；f5= MEE 為換熱網(wǎng)絡(luò)的最高效率。w1、w2、w3和w4分別是f1、f2、f3和f4的價(jià)格權(quán)重系數(shù)。

圖4 換熱網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)模型Fig.4 HEN superstructure model

通過夾點(diǎn)分析得到最大能量回收量MER 的過程稱為第零次優(yōu)化計(jì)算

式中，zijk是0-1變量，表示第i股熱流體和第j股冷流體在第k 級(jí)是否存在換熱，Qijk表示第i 股熱流體和第j股冷流體在第k級(jí)的換熱量，下文中除特別說明外，對(duì)于所有的i,j,k都有i ∈I,j ∈J,k ∈K。

第一次優(yōu)化計(jì)算的目標(biāo)函數(shù)為最小年均總成本TAC

換熱器固定投資費(fèi)用為

式中，β1為換熱器固定投資費(fèi)用系數(shù)，zci表示第i股熱流體末端是否需要冷卻，zhj表示第j股冷流體末端是否需要加熱。

換熱器面積費(fèi)用為

其中，

Areaijk表示在第k 級(jí)中第i 股熱流體和第j 股冷流體之間換熱器的面積；MTD 為一個(gè)換熱器兩側(cè)的平均溫差，主要有兩種計(jì)算方式[32-33]：假定冷熱流體溫度線性變化的算數(shù)平均溫差A(yù)MTD，在整個(gè)換熱器面積上取積分平均值的對(duì)數(shù)平均溫差LMTD

ΔTmaxijk和ΔTminijk分別代表一個(gè)換熱器兩端的傳熱溫差，β2表示換熱器面積操作費(fèi)用，α 表示換熱器面積指數(shù)系數(shù)，λ 表示換熱器總傳熱系數(shù)。多數(shù)學(xué)者認(rèn)為采用LMTD 更接近換熱器實(shí)際物理模型[8,11]，但是這給求解算法帶來一定難度，楊世銘等[32]指出LMTD 總是略小于AMTD，當(dāng)≤1.7 時(shí)差別小于2.3%。實(shí)際上，考慮所建立的換熱網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)不變，采用線性的AMTD 相對(duì)于復(fù)雜非線性的LMTD更便于求解計(jì)算。

公用工程費(fèi)用為

式中，β3、β4分別為冷、熱公用工程的操作費(fèi)用系數(shù)；Qcu,i表示第i 股熱流體需要的冷公用工程量；Qhu,j表示第j股冷流體需要的熱公用工程量。

2.2 約束條件

⑴每個(gè)流股分流時(shí)的質(zhì)量平衡

式中，CPh,ijk和CPc,ijk分別表示第i股熱流體和第j 股冷流體在第k 級(jí)換熱時(shí)熱、冷支流股的熱容流率；CPh,i,in和CPc,j,in分別表示熱、冷流股的入口熱容流率。

⑵每個(gè)換熱器兩側(cè)的能量平衡

該模型考慮等溫混合條件，Th,ik和Tc,jk分別表示第i股熱流體和第j股冷流體在第k級(jí)的溫度。

⑶每條流股上的總熱平衡

式中，Th,i,in表示第i 股熱流體的入口溫度，Tc,j,out表示第j股冷流體的出口溫度。

⑷每條流股的入口溫度

式中，Th,i1表示第i 股熱流體在第1 級(jí)的溫度，Tc,j(K+1)表示第j股冷流體在第K+1級(jí)的溫度。

⑸換熱器的最小傳熱溫差約束

式中，ΔTmin表示一個(gè)換熱器的最小傳熱溫差；Γ 表示溫差的上限；Tcu,in表示冷公用工程的入口溫度;Thu,in表示熱公用工程的入口溫度。

⑹每條流股的溫度邏輯約束

⑺冷、熱公用工程負(fù)荷

⑻換熱量邊界邏輯約束

式中，Φ表示換熱量的上限。

3 求解算法

本文是以特定的靜態(tài)工藝流股需求數(shù)據(jù)為條件，設(shè)定了三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)[式(9)～式(16)]：一是換熱網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部最大能量回收量（MER）；二是同時(shí)考慮換熱器固定投資費(fèi)用、換熱器面積操作費(fèi)用和公用工程操作費(fèi)用的最小年均總成本（TAC）；三是換熱網(wǎng)絡(luò)的最高效率（MEE），這樣建立的換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)混合整數(shù)非線性規(guī)劃(MOMINLP)模型，目的是求出兼顧能量利用數(shù)量與品質(zhì)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

首先，在給定的物流數(shù)據(jù)條件下，必然存在MER，這也是換熱網(wǎng)絡(luò)綜合優(yōu)化的最初動(dòng)機(jī)，因此關(guān)于能量回收量的松弛系數(shù)ε1固定為1以確保能量回收保持最大量。然后以最小TAC 為單一目標(biāo)求解換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型，再給該TAC 值賦以多點(diǎn)的松弛系數(shù)ε2求解相應(yīng)的MEE，通過此約束算法最終得到換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto 前沿，以剩余流股流SE 等效代表效率MEE 為例，通過判斷SE 是否還繼續(xù)增長(zhǎng)作為終止計(jì)算條件，如果SE達(dá)到最大值SEmax則不再進(jìn)行無收益的增大TAC 計(jì)算，算法流程如圖5 所示。如圖6 所示，假如模型的完整解空間為Ω，ε 約束法依次以ε1-MER 和ε2-TAC 為約束邊界，使得求模型最優(yōu)解過程的搜索空間大幅縮小，相應(yīng)的計(jì)算時(shí)間也將縮短。另外，在多目標(biāo)約束優(yōu)化算法計(jì)算換熱網(wǎng)絡(luò)MOMINLP 問題時(shí)拆分了多個(gè)MINLP 問題，而對(duì)于單個(gè)MINLP 問題的求解算法已有眾多成熟的研究成果[16,34-35]，本文的搜索算法采用基于多面體分支切割算法的BARON軟件[36]，它可以完整地覆蓋整個(gè)搜索區(qū)域，對(duì)MINLP 問題適用性較好，可以精確求解本文多目標(biāo)優(yōu)化模型的子問題。

圖5 換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)約束優(yōu)化方法Fig.5 Multi-objective constrained algorithm in HEN

圖6 ε約束法縮小搜索區(qū)域Fig.6 ε-Constrained algorithm narrowing search area

4 案例計(jì)算

采用本文介紹的多目標(biāo)ε 約束算法應(yīng)用于10SP1 算例進(jìn)行驗(yàn)證。10SP1 算例的流體參數(shù)數(shù)據(jù)最早來源于Pho 等[37]，該算例是換熱網(wǎng)絡(luò)綜合優(yōu)化問題的經(jīng)典問題之一，被國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者們認(rèn)為是換熱網(wǎng)絡(luò)綜合優(yōu)化問題中最難解決的問題之一，可以作為換熱網(wǎng)絡(luò)綜合優(yōu)化方法的試金石[38]。但是其原始數(shù)據(jù)中的物理單位都是英制單位，為了便于計(jì)算，本文將其轉(zhuǎn)化成國(guó)際單位制的數(shù)據(jù)，如表1 所示，過程流體由5 股熱流體和5 股冷流體組成，冷熱公用工程分別為冷卻水和蒸汽。其中，換熱器面積的費(fèi)用系數(shù)β2= 145.63 USD·m-2·a-1，指數(shù)系數(shù)α=0.6，熱公用工程操作費(fèi)用系數(shù)β3= 37.643 USD·kW-1·a-1，冷 公 用 工 程 操 作 費(fèi) 用 系 數(shù) β4=18.123 USD·kW-1·a-1，換熱器和冷卻器的傳熱系數(shù)k1= k3= 0.852 kW·m-2·K-1，加 熱 器 傳 熱 系 數(shù)k2=1.136 kW·m-2·K-1，換熱器最小傳熱溫差ΔTmin設(shè)為10 K。

在滿足MER 條件下得到最小TAC，考慮實(shí)際換熱網(wǎng)絡(luò)工程中投資方對(duì)費(fèi)用的敏感度，取松弛系數(shù)ε2為1.01～1.1 的10 個(gè)等差值，投資費(fèi)用大于1.1 倍TAC 的設(shè)計(jì)方案則不予考慮，再通過計(jì)算獲得不同ε2值對(duì)應(yīng)的費(fèi)用約束并以MEE 為目標(biāo)，得到多目標(biāo)優(yōu)化的最終設(shè)計(jì)方案。通過與最小TAC 方案做比較得到剩余流股流增長(zhǎng)率與費(fèi)用增長(zhǎng)率的關(guān)系，不同ε2值時(shí)的SE、η 與對(duì)應(yīng)TAC 的雙目標(biāo)Pareto 前沿如圖7 所示。由圖7 中可以看出，求得TAC 最小值從而建立成本約束后，隨著松弛系數(shù)的增加，該約束條件逐漸放寬從積極約束變成非積極約束，效率先是大幅增加而后趨于定值，而此時(shí)最小年均總成本則隨著松弛系數(shù)的增加仍然在穩(wěn)定增加。當(dāng)ε2為1.05 時(shí)效率的增長(zhǎng)率相比于年均總成本增幅最大(圖8)，達(dá)到費(fèi)效比最小的狀態(tài)，即以5%的費(fèi)用增幅換取9.48%的效率提升，故取在該點(diǎn)處的MEE 為換熱網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)效率，并取對(duì)應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案作為整個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化方法的最終最優(yōu)結(jié)果，如圖9 所示。通過與圖10 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，可以直觀地看到圖9 中流股之間換熱的匹配性更高，換熱器的平均換熱溫差就更小，不可逆損失也就越小，因此效率MEE 更高，另外，也可以發(fā)現(xiàn)圖9 中的剩余流股熱量主要集中在溫度較高的熱流股H4 上，對(duì)應(yīng)于圖11(c)剩余流股部分的溫度更高。

表1 10SP1問題的流股數(shù)據(jù)Table 1 10SP1 problem data

圖7 SE與TAC的Pareto前沿Fig.7 Pareto frontier between TAC and SE

圖8 不同ε2值下的增幅對(duì)比Fig.8 Comparison of increase in different ε2 values

將通過本文算法得到的結(jié)果與參考文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表2 所示。首先采用AMTD 計(jì)算 的 網(wǎng) 絡(luò) 結(jié) 構(gòu) 用LMTD 換 算 為TAC*AMTD，它 與TACAMTD差別在0.1%～2.6%之間，驗(yàn)證了前文提出的換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題中可以采用AMTD 代替LMTD 應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)模型。從表中還可以看出，在以TAC 為單目標(biāo)計(jì)算時(shí)，方法2 不但能夠得到相對(duì)于其他方法的最優(yōu)解，相對(duì)于方法1 還大幅縮短了搜索時(shí)間，最后本文多目標(biāo)約束方法的計(jì)算時(shí)間僅為方法1 的1.8%；本文多目標(biāo)約束優(yōu)化方法在可接受的TAC 范圍內(nèi)，得到了最高的效率η=0.772。

夾點(diǎn)理論中的組合曲線是由多個(gè)流股的熱負(fù)荷或熱容流率加在一起產(chǎn)生的，在一定溫度區(qū)間內(nèi)同一條組合曲線對(duì)應(yīng)著大量不同的流股組合情況。在相同的換熱量時(shí)，不同的換熱網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方案都是如圖3所示在一定溫度范圍內(nèi)由總的組合曲線拆分成內(nèi)部換熱流股和外部剩余流股的結(jié)果，拆分的方式主要是通過改變熱、冷流股的熱容流率進(jìn)而影響換熱網(wǎng)絡(luò)的能量品質(zhì)損失與經(jīng)濟(jì)性，即在經(jīng)濟(jì)性允許的范圍內(nèi)，盡量減小內(nèi)部換熱過程的流耗散，增大剩余流股的流。圖11(a)是10SP1案例按照夾點(diǎn)方法得到的組合曲線，根據(jù)在一定溫度區(qū)間內(nèi)的組合曲線可由不同流股的分曲線組合而成的概念，結(jié)合圖3 改造的換熱網(wǎng)絡(luò)組合曲線，可以分別對(duì)經(jīng)濟(jì)性目標(biāo)方法的結(jié)果（圖10）和多目標(biāo)方法的結(jié)果（圖9）作出相應(yīng)的組合曲線，如圖11(b)、(c)所示。在該10SP1 案例中冷流股的能量可以全部被熱流股回收利用，只有熱流股有剩余部分，拆分的只有熱流股曲線，在其他案例中同理也可以根據(jù)需要對(duì)冷流股曲線進(jìn)行拆分。在圖11(c)的組合曲線中是多目標(biāo)優(yōu)化方法找到的綜合經(jīng)濟(jì)性、能量數(shù)量與品質(zhì)的最優(yōu)流股曲線組合，內(nèi)部換熱部分的熱、冷流股組合曲線所圍區(qū)域DFGID 的面積相對(duì)于單目標(biāo)方法更小，即流耗散更小，并且此方法得到的剩余熱流股部分的溫度TA要高于另外兩種方法的溫度TA和TB，更高的溫度也意味著更大的節(jié)能潛力。

圖9 MER和TAC松弛度1.05條件下以MEE為目標(biāo)得到的設(shè)計(jì)方案Fig.9 Result based on MEE target constrained in MER and TAC

圖10 MER條件下最小TAC為目標(biāo)得到的設(shè)計(jì)方案Fig.10 Result based on TAC target constrained in MER

表2 幾種方法的結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of results among several methods

5 結(jié) 論

本文針對(duì)換熱網(wǎng)絡(luò)綜合中不僅要追求能量數(shù)量的回收效率，還要考慮能量品質(zhì)的回收效率問題，基于不可逆?zhèn)鳠徇^程中的理論，定義了剩余流股流表示的換熱網(wǎng)絡(luò)效率，建立了一個(gè)綜合能量、費(fèi)用和效率的多目標(biāo)混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型。利用ε 約束法與BARON 軟件結(jié)合的多目標(biāo)約束優(yōu)化算法，求解得到換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto 前沿。另外還具體分析了不同的建模方式對(duì)變量數(shù)目、模型特性的影響，在建立換熱網(wǎng)絡(luò)模型時(shí)優(yōu)先選擇變量數(shù)目少、線性方程的模型表達(dá)式。

通過對(duì)經(jīng)典10SP1 案例的計(jì)算研究表明，本文多目標(biāo)約束優(yōu)化方法得到的結(jié)果滿足最小公用工程量1878.96 kW，在年度投資費(fèi)用松弛系數(shù)為1.05時(shí)，達(dá)到費(fèi)效比最小的狀態(tài)，能夠以5%的費(fèi)用增幅換取9.48%的效率提升，此為10SP1 案例多目標(biāo)優(yōu) 化 的 最 優(yōu) 解，此 時(shí)TAC 為42157.9 USD，η 為0.772，SE 為740800 kW·K，剩余流股部分有更大的節(jié)能潛力。而且多目標(biāo)約束算法使本案例的求解時(shí)間僅為普通單目標(biāo)求解時(shí)間的1.8%，說明多目標(biāo)約束優(yōu)化算法不但可以使約束條件從能量、費(fèi)用上直觀可控可調(diào)，而且計(jì)算量小，求解速度快。最后通過T-Q 圖中的換熱網(wǎng)絡(luò)組合曲線對(duì)比不同優(yōu)化方案的流耗散，說明先將換熱網(wǎng)絡(luò)劃分為內(nèi)部換熱部分與剩余流股部分，再根據(jù)經(jīng)濟(jì)性與效率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，對(duì)換熱網(wǎng)絡(luò)工程具有重要意義。

圖11 不同方法得到的組合曲線Fig.11 Retrofit composite curves from different results

符 號(hào) 說 明

Area——換熱器面積，m2

CP——熱容流率，kW·K-1

cost——費(fèi)用，USD

MER——最大能量回收量，kW

MTD——平均溫差，K

Q——換熱量，kW

T——溫度，K

ΔTmin——最小傳熱溫差，K

┲——求解問題的規(guī)模函數(shù)

TAC——年均總成本，USD

z——換熱器是否存在的0-1變量

zc——冷卻器是否存在的0-1變量

zh——換熱器是否存在的0-1變量

α——換熱器面積指數(shù)系數(shù)

β——費(fèi)用系數(shù)

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λ——換熱器傳熱系數(shù)，kW·m-2·K-1

Φ——換熱量的上限，kW

下角標(biāo)

c——冷流股

cu——冷公用工程

diss——耗散

h——熱流股

hu——熱公用工程

i——熱流股編號(hào)

in——入口

j——冷流股編號(hào)

k——分級(jí)編號(hào)

n——變量數(shù)目

out——出口