賀 曄

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

在理論生物學(xué)中，一個重要的基本問題是解釋生物斑圖形成的原理。1952年，Turing提出將生物表面所顯示的斑圖是如何產(chǎn)生的問題用一個反映擴散模型來解釋說明[1]。文獻[2]在一個開放的未攪拌的膠體反應(yīng)器中，首次從實驗上驗證了Turing的思想。Lengel和Epstein依據(jù)CIMA這個著名的化學(xué)實驗提出并建立了如下的Lengel-Epstein模型[3]：

(1)

其中Ω為n維歐氏空間的有界開集并且具有光滑的邊界?Ω，Δ為Laplace算子，u(x,t)和v(x,t)分別表示激活劑和抑制劑在時間t與空間位置x下的濃度，抑制劑和激活劑的兩種擴散系數(shù)之比用c>0表示，a和b表示有關(guān)供給濃度的系數(shù)，σ>1表示重新調(diào)節(jié)參數(shù)。

學(xué)者們對模型(1)做了廣泛研究，并且得出很多結(jié)論。當(dāng)沒有空間擴散系數(shù)影響時，系統(tǒng)(1)變?yōu)镺DE模型：

(2)

(3)

其中τ為時滯參數(shù)。Celik和Merdan通過對系統(tǒng)(3)正平衡點(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分支的分析，得出隨著時滯參數(shù)τ的增大，系統(tǒng)(3)正平衡點(u*,v*)的穩(wěn)定性逐漸消失，并在某個臨界值τ處出現(xiàn)Hopf分支的結(jié)論。假設(shè)只有在激活劑與抑制劑發(fā)生反應(yīng)導(dǎo)致激活劑濃度變化時存在時間滯后的影響,那么可以得到如下模型：

(4)

1 局部ODE系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分支

當(dāng)τ=0時，系統(tǒng)(4)所對應(yīng)的ODE系統(tǒng)為

(5)

系統(tǒng)(4)在(u*,v*)處的線性化系統(tǒng)為

(6)

線性系統(tǒng)(6)的特征方程為

λ2+pλ+q=0。

(7)

由q>0可知:(i)若p>0，則系統(tǒng)(4)的正平衡點(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的；(ii)若p<0，則系統(tǒng)(4)的正平衡點(u*，v*)是不穩(wěn)定的。

令

(8)

當(dāng)0<α<α0時，p>0；當(dāng)α>α0時，p<0。于是有如下結(jié)論：

定理1 若0<α<α0，系統(tǒng)(4)的正平衡點(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的；若α>α0，系統(tǒng)(4)的正平衡點(u*，v*)是不穩(wěn)定的。

2 τ>0時正平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支

系統(tǒng)(4)在(u*,v*)處的線性化系統(tǒng)為

(9)

線性系統(tǒng)(9)的特征方程為

λ2+pλ+q+4qe-λτ=0。

(10)

假設(shè)0<α<α0成立，設(shè)λ=±iω(ω>0)為特征方程的一對純虛根，則

-ω2+pωi+4q(cosωτ-isinωτ)+q=0。

(11)

分離方程(11)的實部和虛部可得

(12)

由方程組(12)可得

ω4+(p2-2q)ω2-15q2=0。

(13)

令

F(z)=z2+(p2-2q)z-15q2。

(14)

則二次函數(shù)F(z)的判別式為

Δ=(p2-2q)2+60q2。

容易看出Δ>0，則方程F(z)=0有兩異號實根

為了進一步討論τ的變化對系統(tǒng)(4)的正平衡點(u*，v*)穩(wěn)定性的影響，根據(jù)文獻[5]陳述下面的結(jié)論：

引理1 假設(shè)m、n∈Ν0，Pn(λ)和Qm(λ)分別為λ的n次和m次代數(shù)多項式。對任意的ω>0，定義函數(shù)H(ω)為

H(ω)=|Pn(iω)|2-|Qm(iω)|2。

如果當(dāng)τ=τ*>0時，超越方程

Pn(λ)+Qm(λ)e-λτ=0

(15)

存在一對共軛的純虛根±iω0(ω0>0)，則當(dāng)τ在τ*附近變化時，方程(10)有一對共軛的復(fù)根λ(τ)=α(τ)±iω(τ)且

(16)

證明方程(15)左右兩端同時對τ求導(dǎo)得

由上式可得

則

帶入τ=τ*、λ=iω0得，

由方程(15)可知

則

因此

(17)

由定義函數(shù)H(ω)知

從而可以得出

(18)

由式(17)和式(18)易知結(jié)論(16)是成立的，證畢。

對應(yīng)于方程(14)，引理1中的H(ω)=F(ω2)，于是

H′(ω)=2ωF′(ω2)。

從而可知假設(shè)τ=τ*時，特征方程(10)有一對共軛的純虛根±iω0(ω0>0)且λ(τ)=α(τ)±iω(τ)為方程(10)在τ=τ*附近變化時的一對共軛復(fù)根，則

其中F(z)由(14)定義。

(19)

由方程(19)得出相應(yīng)于ω+的τ的值為

(20)

這表明當(dāng)τ=τj(j∈Ν0)時，特征方程(10)有一對共軛的純虛根±iω+。由方程(13)知ω+=ω0是唯一存在的且F′(ω0)>0，則由引理1可知，特征方程(10)的共軛復(fù)根的實部α(τ)滿足條件

于是可得下面的結(jié)論:

(1)當(dāng)0<τ<τ0時，系統(tǒng)(4)的正平衡點(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的；

(2)當(dāng)τ>τ0時，系統(tǒng)(4)的正平衡點(u*，v*)是不穩(wěn)定的；

(3)當(dāng)τ=τ0時，系統(tǒng)(4)在正平衡點(u*，v*)處出現(xiàn)Hopf分支。

3 數(shù)值模擬

為驗證上述結(jié)論，利用Matlab對前文的理論分析進行數(shù)值模擬：

圖1 a=5、b=2、σ=1、τ=0時模擬圖 圖2 a=10、b=2、σ=1、τ=0時模擬圖

圖3 a=5、b=2、σ=1、τ=0.25時模擬圖 圖4 a=5、b=2、σ=1、τ=0.61時模擬圖

圖5 a=5、b=2、σ=1、τ=0.75時模擬圖 圖6 a=5、b=2、σ=1、τ=1時模擬圖

4 結(jié) 語

在Lengel-Epstein模型的基礎(chǔ)上引入時滯，考慮了化學(xué)反應(yīng)中反應(yīng)物自身分解所需時間對反應(yīng)物濃度變化產(chǎn)生影響的時間滯后問題，使模型更具有實際意義，并且運用Matlab工具更直觀地驗證了所得結(jié)論的正確性。本文構(gòu)建的模型及所得到的穩(wěn)定性結(jié)論對實際化學(xué)反應(yīng)中數(shù)據(jù)分析具有重大參考意義。