華洪濤 陸博? 古華光

1) (河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 新鄉(xiāng) 453003)

2) (同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院, 上海 200092)

興奮和抑制性作用分別會(huì)增強(qiáng)和壓制神經(jīng)電活動(dòng), 這是神經(jīng)調(diào)控的通常觀念, 在神經(jīng)信息處理中起重要作用.本文選取了放電簇和閾下振蕩相交替、放電簇谷值小于閾下振蕩谷值的Homoclinic/ Homoclinic型簇放電, 研究發(fā)現(xiàn)時(shí)滯和強(qiáng)度合適的興奮性自突觸電流作用在放電簇的谷值附近時(shí), 能引起簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低,并進(jìn)而導(dǎo)致平均放電頻率降低, 這是不同于通常觀念的新現(xiàn)象.進(jìn)一步, 用快慢變量分離獲得的分岔和相軌跡, 揭示了閾下振蕩和放電簇分別對(duì)應(yīng)快子系統(tǒng)的閾下和閾上極限環(huán), 興奮性自突觸電流引起閾上極限環(huán)向閾下極限環(huán)的轉(zhuǎn)遷導(dǎo)致放電提前結(jié)束是頻率降低原因.并與近期在Fold/Homoclinic簇放電報(bào)道的興奮性自突觸誘發(fā)的簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低但放電頻率增加的現(xiàn)象和機(jī)制進(jìn)行了比較.研究結(jié)果豐富了神經(jīng)電活動(dòng)的反?，F(xiàn)象并揭示了背后的非線性機(jī)制, 給出了調(diào)控簇放電的新手段, 揭示了興奮性自突觸的潛在功能.

1 引 言

動(dòng)物及人的基本生理功能是受神經(jīng)系統(tǒng)調(diào)控的, 而神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)功能與結(jié)構(gòu)的基本單位.神經(jīng)元的電活動(dòng)與神經(jīng)元之間突觸的化學(xué)活動(dòng)參與神經(jīng)系統(tǒng)信息處理與信息加工[1?4].神經(jīng)元電活動(dòng)包括靜息(resting state)、閾下振蕩(subthreshold oscillation)、峰放電 (spiking)模式和簇放電(bursting)模式[5?7].放電模式及不同模式間的轉(zhuǎn)遷能夠通過(guò)理論模型進(jìn)行數(shù)值模擬和分岔理論進(jìn)行解釋[8?16].一方面, 非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展促進(jìn)了神經(jīng)科學(xué)的研究, 另一方面, 神經(jīng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)復(fù)雜以及反常的非線性現(xiàn)象也促進(jìn)了非線性動(dòng)力學(xué)理論的完善.比如, 一般概念下, 通常用抑制性作用或者負(fù)向激勵(lì)來(lái)降低神經(jīng)元電活動(dòng)(如平均放電頻率降低或放電變?yōu)殪o息等), 用興奮性或者正向作用來(lái)提高神經(jīng)元電活動(dòng)(如平均放電頻率增加或靜息變?yōu)榉烹姷?.但是, 在單一神經(jīng)元中, 有研究發(fā)現(xiàn)了與這些常規(guī)概念不同的非線性現(xiàn)象, 比如, 抑制性作用或激勵(lì)能導(dǎo)致放電頻率不是降低而是增加或簇放電模式的簇(burst)內(nèi)峰(spike)個(gè)數(shù)不是降低而是增加[17?20], 興奮性作用能導(dǎo)致簇內(nèi)峰個(gè)數(shù)減少[21], 而且能夠用分岔給出合理解釋.此外, 在網(wǎng)絡(luò)層次, 通常情況下, 抑制性耦合會(huì)引起反相同步, 而一些學(xué)者則發(fā)現(xiàn)抑制性耦合也能誘導(dǎo)同相同步[22?25], 并在龍蝦口胃神經(jīng)節(jié)的幽門網(wǎng)絡(luò)的實(shí)驗(yàn)中得以證實(shí)[22], 這與通常的觀點(diǎn)也是相反的.最近, 在理論模型發(fā)現(xiàn), 興奮性耦合網(wǎng)絡(luò)可以引起同步的放電變?yōu)殪o息[26], 這也不同于興奮性作用引起放電增強(qiáng)的通常觀念.

興奮性或抑制性自突觸的自反饋調(diào)控是引起與常規(guī)概念不同現(xiàn)象的重要途徑之一[18,20,21,27,28].自突觸是指通過(guò)一定的回路連接到自身胞體的突觸結(jié)構(gòu), 這一結(jié)構(gòu)在大腦皮質(zhì)和皮層、視覺(jué)皮層、小腦、紋狀體和海馬等區(qū)域廣泛存在[29?41].自突觸的功能實(shí)現(xiàn)是有時(shí)滯的, 不同的時(shí)滯使得自突觸電流脈沖作用在神經(jīng)電活動(dòng)的不同相位調(diào)控放電節(jié)律.自突觸在調(diào)節(jié)單神經(jīng)元的放電節(jié)律和網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜時(shí)空行為方面起到了廣泛的作用[42?55], 如放電精確性[34]、持續(xù)性放電[35]、放電頻率、同步和波等.其中, 大多數(shù)研究關(guān)注了自突觸符合通常概念的行為, 如實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的抑制性自突觸壓制放電[35]和興奮性自突觸促進(jìn)放電[40]等.但是, 近期的研究還發(fā)現(xiàn)抑制性自突觸能引起不同于通常概念的反?，F(xiàn)象, 包括引起靜息變?yōu)榉烹奫41]、簇內(nèi)峰放電個(gè)數(shù)增加[19,25,51]、擴(kuò)大而不是縮小放電參數(shù)區(qū)間[20,52]和增強(qiáng)而不是壓制信息傳遞[53]等.例如, 在神經(jīng)電生理實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的抑制性自反饋誘發(fā)靜息變?yōu)榉烹奫41].然而, 相比于抑制性自突觸, 興奮性自突觸誘發(fā)的不同于通?，F(xiàn)象的反?，F(xiàn)象還相對(duì)較少[21,54].對(duì)于靠近Hopf分岔的峰放電, 時(shí)滯較短的興奮性自突觸會(huì)引起放電頻率降低, 并能利用II型相位響應(yīng)曲線進(jìn)行理論解釋[54].而對(duì)于簇放電, 時(shí)滯合適的興奮性自突觸能夠引起簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)的減少[21].因此, 探尋興奮性作用能夠降低簇放電的平均放電頻率的條件和機(jī)制, 是拓展非線性動(dòng)力學(xué)內(nèi)涵的重要科學(xué)問(wèn)題, 也是神經(jīng)動(dòng)力學(xué)中調(diào)控神經(jīng)電活動(dòng)和神經(jīng)信息的重要手段.

簇放電模式是神經(jīng)系統(tǒng)最常見(jiàn)的放電模式之一, 被認(rèn)為在信息處理中有重要作用[3].簇放電產(chǎn)生于由快、慢變量構(gòu)成的多時(shí)間尺度系統(tǒng)[5?7].簇放電模式的行為是連續(xù)快速(多個(gè))放電峰構(gòu)成的簇和休止期(quiescent state)或閾下振蕩的交替,利用快慢變量分離(fast-slow variable dissection)方法獲得分岔可以區(qū)分簇放電的不同類型和解釋簇放電的生成和轉(zhuǎn)遷機(jī)制.一般而言, 快子系統(tǒng)產(chǎn)生靜息或小幅極限環(huán)與大幅極限環(huán)的共存行為; 靜息對(duì)應(yīng)休止期或小幅極限環(huán)對(duì)應(yīng)閾下振蕩, 而大幅極限環(huán)對(duì)應(yīng)放電.放電簇與休止期或閾下振蕩的轉(zhuǎn)遷對(duì)應(yīng)于兩個(gè)分岔, 靜息或小幅極限環(huán)的分岔和大幅極限環(huán)的分岔.因此, 該兩個(gè)分岔可以解釋命名簇放電模式的類型和揭示自發(fā)簇放電和興奮或抑制作用下的簇放電的動(dòng)力學(xué)行為[7,21].例如, 可以用于解釋抑制性自突觸誘發(fā)簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)增加[18,51]和興奮性自突觸誘發(fā)簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低[21].例如,文獻(xiàn)[21]研究的是Fold/Homoclinic簇放電模式,其行為是簇和休止期的交替.抑制性自突觸能夠誘發(fā)Fold/Homoclinic簇放電模式的簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低, 但是不能誘發(fā)平均放電頻率降低.因此, 本文將選取一個(gè)新的簇放電模式, 繼續(xù)探討興奮性自突觸對(duì)平均放電頻率的調(diào)控作用.

本文將選取文獻(xiàn) [7]中改進(jìn)FHN模型模擬的Homoclinic/Homoclinic型簇放電模式, 與文獻(xiàn)[21]的Fold/Homoclinic簇放電有以下是三個(gè)不同: 一是該簇放電是放電簇和閾下振蕩的交替, 閾下振蕩代替了休止期; 二是放電簇的谷值低于閾下振蕩的谷值, 而Fold/Homoclinic簇是休止期的膜電位低于放電簇的膜電位; 三是兩類簇的快子系統(tǒng)的分岔不同.對(duì)Homoclinic/Homoclinic簇放電施加興奮性作用后的研究結(jié)果如下: 1) 強(qiáng)度適當(dāng)?shù)呐d奮性常值脈沖電流作用到放電簇的谷值附近, 能使放電行為躍遷到閾下振蕩, 提前結(jié)束放電進(jìn)而減少放電次數(shù); 與文獻(xiàn)[21]的簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低是刺激誘發(fā)的從休止期到放電的轉(zhuǎn)遷不同; 2)適當(dāng)時(shí)滯和強(qiáng)度的興奮性自突觸的突觸電流作用到放電簇的谷值附近, 能減少簇內(nèi)放電次數(shù), 并且引起平均放電頻率的顯著降低; 3) 其他時(shí)滯或強(qiáng)度的興奮性自突觸引起放電頻率增加; 4) 通過(guò)快慢變量分離獲得的分岔結(jié)合相軌線的變化, 解釋了上述符合常規(guī)概念和反常規(guī)概念的現(xiàn)象, 并與文獻(xiàn)中的Fold/Homoclinic簇的結(jié)果進(jìn)行了比較.本文的研究結(jié)果給出了新的反常規(guī)現(xiàn)象的示例, 特別是拓展了興奮性作用引起放電頻率降低的現(xiàn)象和機(jī)制, 提供了調(diào)控神經(jīng)元平均放電頻率的新途徑, 豐富了非線性動(dòng)力學(xué)內(nèi)涵, 更為全面和深入地認(rèn)識(shí)了興奮性作用對(duì)神經(jīng)電活動(dòng)的影響.

2 模型和方法

2.1 改進(jìn)的FitzHugh-Nagumo模型

由 FitzHugh[56]和Nagumo等[57]提出的二維FitzHugh-Nagumo (FHN)模型雖然形式簡(jiǎn)潔, 但能揭示神經(jīng)元活動(dòng)的本質(zhì), 被廣泛研究[58?64].但是, 二維FHN模型只能描述峰放電, 不能描述簇放電.有研究者在二維FHN模型中引入慢變量u的調(diào)節(jié), 形成改進(jìn)FHN模型[7], 能夠描述簇放電.改進(jìn)的FHN模型的方程式如下:

式中V是電壓變量, 用于模仿神經(jīng)元的膜電位;w是恢復(fù)變量, 模仿向外電流的激活; u為慢調(diào)控變量.其中為 S 型函數(shù), 這樣系統(tǒng)會(huì)存在大的鞍同宿軌分岔[7].參數(shù)值為 e = 1, μ = –0.01, b = 1.3, c = –0.32, d =0.05.模型是無(wú)量綱的.

2.2 外界脈沖電流激勵(lì)下的改進(jìn)FHN模型

在方程(1)中引入外界脈沖電流I(t)=A×I?t+?T(t), 方程 (2)和 (3)不變, 得到具有脈沖激勵(lì)的改進(jìn)FHN模型, 其第一個(gè)方程如下:

其中 A, Dt, DT 為常數(shù), 振幅 A 表示脈沖強(qiáng)度,DT表示脈沖作用時(shí)間寬度, Dt為脈沖發(fā)放時(shí)刻,下標(biāo) Dt + DT 表示時(shí)間區(qū)間 [ ? t,?t+ ?T].當(dāng)t屬于 [ ? t,?t+ ?T]時(shí), IDt + DT(t) = 1, 當(dāng) t不屬于 [ ? t,?t+ ?T]時(shí) , I?t+?T(t)=0.A<0 表 示 抑制性脈沖, A > 0 表示興奮性脈沖.

2.3 具有自突觸的改進(jìn)FHN模型

在方程(1)中引入自突觸介導(dǎo)電流Iaut(t)[18,21],方程(2)和(3)保持不變, 得到具有自突觸的改進(jìn)FHN模型, 其第一個(gè)方程如下:

式 中 , Iaut(t)= ?g[V(t)?Vsyn]Γ [V(t? τ)], 其 中 ,Γ [V(t? τ)]=1/{1+exp[?λ(V(t? τ)? θs)]}, g 為自突觸的電導(dǎo), Vsyn為自突觸的反轉(zhuǎn)電位, t為突觸電流和膜電位之間的時(shí)間延遲, qs為自突觸的閾值電位, 當(dāng) V(t – t) > qs時(shí) G [V(t – t)]≈ 1, 即得到不為零的自突觸電流 Iaut(t), 當(dāng) V(t – t)

興奮性自突觸 Iaut(t)的參數(shù)如下: l = 30,Vsyn= 1.5, qs= 1.22.參數(shù) t 和 g 為調(diào)控參數(shù).

2.4 快慢變量分離的流程

快慢變量分離方法是研究簇的不同類型的常用方法[7,18,21], 也被擴(kuò)展地用于揭示興奮性或抑制性作用下放電軌跡變化的動(dòng)力學(xué)[18,21].本文也用該方法研究改進(jìn)FHN模型, 一是展示簇放電類型,二是興奮性作用下放電模式和軌跡變化的動(dòng)力學(xué).快慢變量分離的步驟主要有兩步:

一是確定快子系統(tǒng)并計(jì)算其分岔, 這是快慢變量分離的關(guān)鍵.

由于|μ| = 0.01 ? 1, 變量 u 為慢變量, 方程 (3)為慢子系統(tǒng), 方程(1)和(2)組成快子系統(tǒng):

此時(shí), u是快子系統(tǒng)的分岔參數(shù).對(duì)快子系統(tǒng)進(jìn)行平衡點(diǎn)和極限環(huán)的分岔計(jì)算或分析.為與快子系統(tǒng)區(qū)別, 方程 (1)—(3)稱為全系統(tǒng); 方程 (2), (3), (4)構(gòu)成有脈沖激勵(lì)的全系統(tǒng), 方程 (2), (3), (5)構(gòu)成有自突觸的全系統(tǒng).

二是求出全系統(tǒng)的簇放電軌跡, 基于快子系統(tǒng)的分岔認(rèn)識(shí)簇放電的動(dòng)力學(xué).對(duì)于改進(jìn)的無(wú)自突觸的FHN模型, 將快子系統(tǒng)的分岔和簇放電軌跡共同畫在一個(gè)相圖內(nèi), 識(shí)別簇放電的類型.對(duì)于有自突觸的改進(jìn)FHN模型, 將快子系統(tǒng)的分岔和自突觸電流作用后的簇放電的軌跡畫在同一幅圖中, 來(lái)認(rèn)識(shí)簇放電軌跡的運(yùn)行與分岔的關(guān)系, 進(jìn)一步認(rèn)識(shí)興奮性作用影響放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.

2.5 計(jì)算方法

在本文關(guān)注的參數(shù)范圍內(nèi), 全系統(tǒng)的模型增量部分在考慮的閉域內(nèi)一致連續(xù)且可微, 滿足Lipschitz條件, 所以滿足四階Runge-Kutta單步定步長(zhǎng)算法的收斂性、穩(wěn)定性條件.在本文關(guān)注的范圍, V 的區(qū)間為 [–2, 1.6], w 的區(qū)間為 [–1.4, 1.8],利用數(shù)值分析的計(jì)算結(jié)果可知: 積分步長(zhǎng)滿足h <0.4368時(shí), 四階Runge-Kutta方法是絕對(duì)穩(wěn)定的.通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)積分誤差進(jìn)行估計(jì), 驗(yàn)證了四階Runge-Kutta法在計(jì)算過(guò)程中不會(huì)發(fā)生降階, 截?cái)嗾`差為O(h5).因此, 本文采取四階Runge-Kutta單步定步長(zhǎng)算法[65]求解模型, 步長(zhǎng)為0.05.我們也比較了其他步長(zhǎng), 如 1/32, 1/64, 1/128 和 1/256,結(jié)果差別很小, 對(duì)于本文關(guān)注的放電頻率的增加和降低及放電模式的結(jié)果沒(méi)有影響.拋掉的暫態(tài)時(shí)長(zhǎng)為2000, 其后計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為5000的穩(wěn)態(tài)放電行為用于計(jì)算平均放電頻率.

平均放電頻率定義為一個(gè)周期內(nèi)峰個(gè)數(shù)除以一個(gè)周期持續(xù)時(shí)長(zhǎng).應(yīng)用MATLAB軟件數(shù)值計(jì)算和作圖.

2.6 分岔計(jì)算或分析

對(duì)于強(qiáng)非線性的神經(jīng)元電活動(dòng)模型, 利用XPPAut和Matcont軟件[66]計(jì)算分岔是目前通用的手段.因此, 為了與眾多研究一致, 本文采用Matcont軟件, 采用 ODE45 積分方法, 計(jì)算時(shí)絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差均小于 10?9, 以保證計(jì)算誤差.此外, 我們也利用Hopf分岔定理計(jì)算了快子系統(tǒng)的超臨界Hopf分岔(平衡點(diǎn)的雅克比矩陣的特征值出現(xiàn)純虛根和第一李雅普諾夫系數(shù)為負(fù)值), 結(jié)果與軟件計(jì)算結(jié)果一致.

3 仿真結(jié)果

3.1 簇放電:閾下振蕩和簇內(nèi)放電的交替

改進(jìn)FHN模型全系統(tǒng)表現(xiàn)出周期8簇放電模式, 該簇放電行為的一個(gè)典型特征是閾下振蕩和簇內(nèi)的8個(gè)峰(spike)交替, 示意圖可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]的圖88.

相比文獻(xiàn)[7], 本文給出了該簇放電的更多特征, 如圖1(a)所示.周期(從開(kāi)始到圖中空心小圈)約為 141.15, 平均放電頻率為 f0= 0.0567.閾下振蕩(t < 60)的最大值小于0, 表現(xiàn)為7次振蕩.簇內(nèi)的 8 個(gè)峰 (60 < t < 140)的最大值大于 1, 為閾上放電模式.閾下振蕩的第1—7個(gè)谷分別出現(xiàn)在 t = 9.45, 16, 22.7, 29.75, 37.3, 45.8 和 56.9, 持續(xù)時(shí)間(第1—7個(gè)谷)約為47.5; 閾上放電的第1—8 個(gè)谷值分別出現(xiàn)在 t = 69.7, 78.35, 87.15,96.2, 105.55, 115.25, 125.5 和 136.65, 周期 8 簇的持續(xù)時(shí)間(第1—8個(gè)峰)約為67.該周期8簇放電的另一個(gè)典型特征就是放電峰峰間谷值的膜電位比閾下振蕩的膜電位要低.

3.2 簇放電的復(fù)雜動(dòng)力學(xué):兩個(gè)極限環(huán)的交替

文獻(xiàn)[7]的圖88給出了周期8簇放電在三維空間的快慢變量分離的示意圖, 將周期8簇識(shí)別為Homoclinic/Homoclinic型簇放電.我們進(jìn)一步展示了該簇放電的快慢變量分離的具體結(jié)果和特征, 如圖1(b)和圖1(c)所示.

首先, 將慢變量u作為分岔參數(shù), 研究快子系統(tǒng)(6)和(7)的分岔.在圖1(b)中, 快子系統(tǒng)的平衡點(diǎn)曲線呈“S”形.L1和L2為兩個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn),H1和H2分別是位于平衡點(diǎn)曲線下支和上支的兩個(gè)超臨界Hopf分岔點(diǎn).圖中黑色實(shí)線表示穩(wěn)定平衡點(diǎn), 黑色點(diǎn)劃線表示穩(wěn)定焦點(diǎn), 藍(lán)色短劃線表示不穩(wěn)定焦點(diǎn), 藍(lán)色點(diǎn)線為鞍點(diǎn).其中下支從左到右依次為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)、穩(wěn)定焦點(diǎn)、H1、不穩(wěn)定焦點(diǎn)、L1;中支為鞍點(diǎn), 不穩(wěn)定; 上支從左到右依次為L(zhǎng)2、不穩(wěn)定焦點(diǎn)、H2、穩(wěn)定焦點(diǎn).

其次, 研究快子系統(tǒng)的極限環(huán)及分岔, 結(jié)果如圖1(b)所示.平衡點(diǎn)上支的超臨界 Hopf分岔H2分岔出穩(wěn)定的大幅值極限環(huán), 本文稱為閾上極限環(huán), 其最大值 Vmax2(最小值 Vmin2) 對(duì)應(yīng)上 (下)紅實(shí)線.平衡點(diǎn)下支的超臨界Hopf分岔H1分岔出另一下小幅值穩(wěn)定極限環(huán), 本文稱為閾下極限環(huán), 其最大值 Vmax1(最小值 Vmin1)對(duì)應(yīng)上 (下)洋紅實(shí)線.閾上極限環(huán)的最小值Vmin2低于閾下極限環(huán)的最小值Vmin1.閾上、閾下極限環(huán)分別經(jīng)過(guò)位于 u1= –0.7600221 和 u2= –0.959267 的鞍-同宿軌 (saddle-homoclinic, SH)分岔點(diǎn) SH1和 SH2消失.當(dāng) u1< u < u2時(shí), 快子系統(tǒng)出現(xiàn)閾上和閾下極限環(huán)的共存.

再次, 將全系統(tǒng)產(chǎn)生的簇放電的相軌線疊加到快子系統(tǒng)的分岔圖中, 利用快子系統(tǒng)的分岔來(lái)認(rèn)識(shí)簇放電的復(fù)雜動(dòng)力學(xué), 如圖1(c)和圖1(d), 圖1(d)為圖1(c)的放大圖.可以發(fā)現(xiàn)周期8簇放電的相軌跡與快子系統(tǒng)的分岔具有密切關(guān)系.簇放電模式的7個(gè)閾下振蕩位于快子系統(tǒng)的分岔曲線下支的穩(wěn)定極限環(huán)(洋紅色實(shí)線)上; 隨著t的增加, u跟著增加, 閾下振蕩向不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)靠近, 最終經(jīng)由鞍-同宿軌分岔SH1, 閾下振蕩結(jié)束并轉(zhuǎn)遷到閾上穩(wěn)定極限環(huán) (紅色); 此后, 隨著 t的增加, u 逐漸減小, 依次呈現(xiàn)出簇內(nèi)的8個(gè)峰, 最終經(jīng)由鞍-同宿軌分岔SH2峰放電結(jié)束, 并轉(zhuǎn)遷到閾下振蕩, 開(kāi)始下一個(gè)周期的活動(dòng).因此, 從閾下振蕩到簇內(nèi)8個(gè)峰放電的轉(zhuǎn)遷對(duì)應(yīng)鞍-同宿軌分岔SH1, 簇內(nèi)8個(gè)峰放電到閾下振蕩的轉(zhuǎn)遷均分別對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)鞍-同宿軌分岔SH2, 因此, 此簇放電模式為經(jīng)由Homoclinic/Homoclinic滯后環(huán)的Homoclinic/Homoclinic型簇放電, 其動(dòng)力學(xué)行為在閾上和閾下極限環(huán)之間的轉(zhuǎn)遷.

圖1 改進(jìn) FHN 模型簇放電模式及其快慢變量分離 (a) 周期 8 簇 (圓圈對(duì)應(yīng) V = –0.3396, t = 141.15); (b) 快子系統(tǒng)的分岔,其中黑色實(shí)線、黑色虛線、藍(lán)色點(diǎn)線和藍(lán)色虛線分別表示穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)、穩(wěn)定焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)和不穩(wěn)定焦點(diǎn); L1和L2為兩個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn)、H1和H2為兩個(gè)Hopf分岔點(diǎn); 從H1開(kāi)始的上下兩個(gè)洋紅色實(shí)線分別表示閾下穩(wěn)定極限環(huán)的最大值與最小值, SH1為鞍同宿軌分岔點(diǎn), 對(duì)應(yīng)u1 = –0.760022; 從H2開(kāi)始的上、下兩個(gè)紅色實(shí)線分別表示閾上穩(wěn)定極限環(huán)的最大值與最小值, SH2為鞍同宿軌分岔點(diǎn), 對(duì)應(yīng) u2 = –0.959267; (c) 圖 (b) 與周期 8 簇放電軌線 (藍(lán)色實(shí)線) 的疊加; (d) 圖 (c)的局部放大Fig.1.Bursting pattern and fast/slow variable dissection of the modified FHN model.(a) Period-8 bursting pattern (the position of the hollow circle corresponds to V = –0.3396 and t = 141.15).(b) The bifurcations of the fast subsystem.The black solid line, black dashed line, blue dotted line, and blue dashed line represent the stable node, the stable focus, the saddle, and the unstable focus.There are two fold bifurcation points of equilibrium point L1 and L2 and two Hopf bifurcation points H1 and H2.The maximum(minimum) value of the subthreshold stable limit cycle is represented by the upper (lower) magenta solid line, and the homoclinic bifurcation point SH1 corresponds to u1 = –0.760022.The maximum (minimum) value of the suprathreshold stable limit cycle corresponds to upper (lower) solid red line, and the homoclinic bifurcation point SH2 corresponds to u2 = –0.959267.(c) The trajectory of period-8 bursting (solid blue line) and panel (b) plotted in one figure.(d) The partial enlargement of panel (c).

最后, 研究快子系統(tǒng)和全系統(tǒng)在相平面(w, V)的動(dòng)力學(xué)行為.當(dāng) u1< u < u2時(shí), 快子系統(tǒng)出現(xiàn)雙穩(wěn)極限環(huán).u = –0.8513 的行為如圖2(a)所示:紅色和洋紅色粗虛線分別為閾上和閾下穩(wěn)定極限環(huán), 藍(lán)色點(diǎn)線和虛線分別為的零值線, 兩條零值線的3個(gè)交點(diǎn)為平衡點(diǎn), 中間的為鞍點(diǎn)、兩邊的兩個(gè)為不穩(wěn)定焦點(diǎn).兩個(gè)極限環(huán)在V取極小值附近彼此接近.圖2(b)為圖2(a)與全系統(tǒng)的周期8簇放電的軌線在相平面(w, V)的投影(藍(lán)色實(shí)線)的疊加.如圖2(b)所示, 閾上放電的軌線的投影在閾上極限環(huán)(紅色虛線)附近, 閾下振蕩的軌線的投影在閾下極限環(huán)(洋紅色虛線)附近, 也展示了周期8簇放電是在閾上和閾下極限環(huán)間的轉(zhuǎn)遷.

3.3 興奮性作用引起簇內(nèi)放電峰個(gè)數(shù)降低的推測(cè)

圖2 改進(jìn) FHN 模型的快子系統(tǒng)和全系統(tǒng)在相平面 (w, V)的動(dòng)力學(xué)行為 (a) u = –0.8513時(shí)快子系統(tǒng)的閾上極限環(huán) (紅色虛線)和閾下極限環(huán)(洋紅色虛線), 箭頭表示軌線運(yùn)行方向, 的零值線(藍(lán)色點(diǎn)線)和的零值線(藍(lán)色虛線), “□”表示不穩(wěn)定焦點(diǎn), “○”表示鞍點(diǎn); (b)全系統(tǒng)周期8簇放電的軌線在相平面(w, V)的投影(藍(lán)色實(shí)線, 箭頭為運(yùn)行方向)與圖(a)中閾上(紅色虛線)和閾下極限環(huán)(洋紅色虛線)的疊加Fig.2.Dynamical behavior of fast subsystem and whole system in plane (w, V) of the modified FHN model: (a) The suprathreshold stable limit cycle (red dashed line), the subthreshold stable limit cycle (magenta dashed line), the direction of the trajectory(arrow), and the nullcline of (blue dotted line) and (blue dashed line) of the fast subsystem corresponds to u = –0.8513; “□”represents the unstable focus, and “○” represents the saddle; (b) the projection (solid blue line) of period-8 bursting of the whole system onto the phase plane (w, V), and suprathreshold stable limit cycle (red dashed line) and the subthreshold stable limit cycle(magenta dashed line) in panel (a) plotted in one figure.

根據(jù)圖1和圖2可以進(jìn)行以下推測(cè): 在周期8簇放電的峰峰之間的谷值上, 也就是膜電位的極小值附近, 對(duì)應(yīng)快子系統(tǒng)的閾上極限環(huán)的最小值附近, 給予強(qiáng)度合適的興奮性刺激, 膜電位V會(huì)抬升, 有可能引起系統(tǒng)行為轉(zhuǎn)遷到閾下振蕩, 也就是閾下極限環(huán)附近, 因此, 系統(tǒng)原先的簇放電結(jié)束、使得簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)少于8個(gè), 產(chǎn)生新的放電節(jié)律.

3.4 興奮性常值脈沖刺激引起簇內(nèi)放電峰個(gè)數(shù)降低

上述推測(cè)可以通過(guò)施加常值脈沖AI?t+?T(t)進(jìn)行驗(yàn)證.其中 A = 0.08, DT = 1, 當(dāng)延遲 Dt取合適值且振幅A大于閾值時(shí), 將會(huì)使系統(tǒng)從閾上極限環(huán)躍遷到閾下極限環(huán), 從而開(kāi)始閾下振蕩, 簇內(nèi)的8個(gè)峰放電提前結(jié)束, 形成的簇內(nèi)少于8個(gè)峰的放電.如果A小于閾值則不會(huì)出現(xiàn)狀態(tài)躍遷, 延續(xù)放電模式.

圖3左列的圖3(a1)—(g1)分別為常值脈沖作用在第1—7個(gè)放電谷值附近的情形, 圖中藍(lán)色虛線為原系統(tǒng)周期8簇放電, 綠色實(shí)線為常值脈沖,黑色實(shí)線為常值脈沖作用下的放電.“●”標(biāo)記脈沖作用時(shí)刻, “?”表示脈沖作用前的放電峰的峰值且方向向右.從圖3左列的圖3(a1)—(g1), 系統(tǒng)躍遷到閾下極限環(huán), 分別經(jīng)過(guò) 2, 3, 4, 4, 5, 6 和 7 個(gè)閾下振蕩或再經(jīng)歷9個(gè)峰的簇然, 后恢復(fù)到周期8簇放電, “■”代表恢復(fù)簇放電的第1個(gè)峰值; 可以發(fā)現(xiàn), 在興奮性脈沖作用下, 簇內(nèi)放電提前結(jié)束, 產(chǎn)生包含1—7個(gè)峰的簇放電.圖3右列的圖3(a2)—(g2)中實(shí)線對(duì)應(yīng)左圖的“?”到“■”段在相平面(w, V)上的軌線, 同時(shí)“?”也表示軌線沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)行, 虛線為快子系統(tǒng)在 u = –0.8513 時(shí)兩穩(wěn)定極限環(huán), 紅(洋紅)色虛線表示閾上(下)極限環(huán).可以發(fā)現(xiàn), 興奮性脈沖作用(相位●)下, 放電峰結(jié)束, 系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷為閾下振蕩(相位◆), 然后再恢復(fù)到簇放電(相位■).

3.5 興奮性自突觸引起簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)和放電頻率降低

自突觸電流Iaut(t)=?g[V(t)?Vsyn]Γ[V(t?τ)],表現(xiàn)出脈沖特征.脈沖的強(qiáng)度主要由自突觸電導(dǎo)g確定, 脈沖的作用相位主要由時(shí)滯t決定.自突觸中參數(shù)t和g取值合適時(shí), 興奮性自突觸作用下的改進(jìn)FHN模型可以呈現(xiàn)多種放電模式, 甚至其平均放電頻率會(huì)小于無(wú)自突觸時(shí)的平均放電頻率f0.

3.5.1 自突觸電流作用在第1個(gè)放電峰后的谷值附近 (t = 3.75)

如圖4 所示, 當(dāng) g = 0.02, t = 3.75 時(shí), 自突觸電流作用在第1個(gè)放電峰后的谷值附近, 誘導(dǎo)出1個(gè)峰放電和2個(gè)閾下振蕩交替的新放電模式,簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低, 平均放電頻率 f = 0.0367, 低于無(wú)自突觸時(shí)的平均放電頻率 f0= 0.0567.

圖3 興奮性脈沖(綠色實(shí)線)作用在周期8簇放電(藍(lán)色點(diǎn)線)的簇內(nèi)第1—7個(gè)谷值附近, 使系統(tǒng)躍遷到閾下極限環(huán)(洋紅色虛線) 提前結(jié)束放電 (黑色實(shí)線), 然后分別經(jīng)過(guò) 2, 3, 4, 4, 5, 6 和 7 個(gè)閾下振蕩后先是經(jīng)過(guò) 9 個(gè)放電峰, 然后恢復(fù)到周期 8 簇放電(a1), (a2) Dt = 69.7, 作用在第 1 谷值附近; (b1), (b2) Dt = 78.35, 作用在第 2 谷值附近; (c1), (c2) Dt = 87.15, 作用在第 3 谷值附近; (d1), (d2) Dt = 96.2, 作用在第 4 谷值附近; (e1), (e2) Dt = 105.55, 作用在第 5 谷值附近; (f1), (f2) Dt = 115.25, 作用在第 6 谷值附近; (g1), (g2) Dt = 125.5, 作用在第 7 谷值附近; 左列, 放電; 右列, 對(duì)應(yīng)左列圖中“?”到“■”之間部分在相平面 (w, V) 的軌跡(黑實(shí)線)和快子系統(tǒng)的閾上(紅虛線)和閾下(洋紅虛線)極限環(huán)的軌跡圖(u = –0.8513); “?”表示脈沖作用前放電峰的峰值的位置和軌線的順時(shí)針運(yùn)行方向, “●”表示脈沖作用相位, “■”表示恢復(fù)簇放電后的第1個(gè)峰值Fig.3.Transition from suprathreshold stable limit cycle (dashed red line) to subthreshold stable limit cycle (dashed magenta line)to terminate the firing (solid black line) in advance induced by excitatory impulse (solid green line) applied at suitable phase near the 1st to 8th trough within burst of the period-8 bursting (dotted blue line), and recover to period-8 bursting after 2, 3, 4, 4, 5,6 and 7 subthreshold oscillations and one period-9 bursting.(a1), (a2) Dt = 69.7, application phase near the 1st trough; (b1), (b2)Dt = 78.35, application phase near the 2nd trough; (c1), (c2) Dt = 87.15, application phase near the 3rd trough; (d1), (d2) Dt =96.2, application phase near the 4th trough; (e1), (e2) Dt = 105.55, application phase near the 5th trough; (f1), (f2) Dt = 115.25, application phase near the 6th trough; (g1), (g2) Dt = 125.5, application phase near the 7th trough.Left column: bursting; Right column: The projections (black solid line) in the phase plane (w, V) corresponding to the part between “?” and “■” of the corresponding left figure, and the suprathreshold stable limit cycle (red dashed line) and the subthreshold stable limit cycle (magenta dashed line) corresponding to u = –0.8513 plotted in one figure; “?” represents the peak of the spike within burst before the pulse stimulation and clockwise direction of the trajectory, “●” represents the application phase of the pulse, and “■” represents the first peak after the recovery of bursting.

圖4(a)中藍(lán)色虛線為原周期8簇放電模式,自突觸電流(上方黑色實(shí)線)作用下的新放電模式時(shí)間歷程如圖中下方黑色實(shí)線; 其中“?”表示脈沖作用前的放電峰和軌線運(yùn)行方向, “●”標(biāo)記脈沖作用時(shí)刻, “◆”表示新放電節(jié)律的第1個(gè)閾下振蕩的峰值, “■”代表經(jīng)過(guò)2個(gè)閾下振蕩后恢復(fù)放電的峰.第1個(gè)放電峰產(chǎn)生后, 會(huì)誘發(fā)自突觸電流脈沖, 經(jīng)過(guò)延時(shí)t = 3.75作用到第1個(gè)放電峰后的谷值附近, 導(dǎo)致原先應(yīng)該產(chǎn)生的第2個(gè)放電峰消失, 變?yōu)殚撓抡袷? 然后自突觸電流變?yōu)榻咏?, 系統(tǒng)經(jīng)過(guò)兩次閾下振蕩后再次放電, 進(jìn)入下一個(gè)簇周期.

圖4(b)為放電的?到■段在相平面(w, V)中的投影, 從一個(gè)放電峰的峰值處?出發(fā), 沿靠近紅線的閾上極限環(huán)附近的黑線逆時(shí)針運(yùn)行到●, 在自突觸電流脈沖作用下, 原先應(yīng)該沿紅線的運(yùn)行軌道轉(zhuǎn)變?yōu)檠睾诰€的運(yùn)行軌道, 經(jīng)歷靠近洋紅色閾下極限環(huán)附近的兩次閾下振蕩, 恢復(fù)到放電的峰值處■.紅色和洋紅色的虛線圈分別對(duì)應(yīng)閾上和閾下極限環(huán) (u = –0.8513).新放電節(jié)律的軌線是在閾下振蕩和放電之間的轉(zhuǎn)換.

圖4 具有興奮性自突觸的改進(jìn) FHN模型在 g = 0.02和t = 3.75時(shí)的新放電模式及其快慢變量分離 (a) 周期8簇(藍(lán)色點(diǎn)線)在興奮性自突觸電流(上黑色實(shí)線)作用下誘導(dǎo)出新的放電模式(下黑色實(shí)線); (b)自突觸的作用下新模式(?到■時(shí)段)在相平面(w, V )的投影, 軌線在相位●從閾上極限環(huán)(紅色虛線)躍遷到閾下極限環(huán)(洋紅色虛線); (c) 新放電模式(?到■時(shí)段) 在相平面 (u, V )的投影; (d) 圖 (c)與快子系統(tǒng)分岔圖1(b)的疊加Fig.4.A novel bursting pattern and the corresponding fast/slow variable dissection of the modified-FHN model with excitatory autapse when g = 0.02 and t = 3.75: (a) The new bursting pattern (lower solid black line) induced by excitatory autaptic current(upper solid black line) acted on the period-8 bursting (dotted blue line); (b) projection of the new pattern (from ? to ■ in panel(a)) on phase plane (w, V ); at the phase ●, the trajectory of the new pattern (from ? to ■ in panel (a)) jumps into the subthreshold stable limit cycle (dashed magenta line) from suprathreshold stable limit cycle (dashed red line); (c) the projection of the trajectory of the novel bursting pattern (from ? to in panel (a)) on the plane (u, V ); (d) the panel (c) and the bifurcation of the fast subsystem Fig.1(b) plotted in one figure.

新放電節(jié)律在閾下振蕩和放電之間的轉(zhuǎn)換還可以從圖4(c)和圖4(d)中看出.新放電節(jié)律?到■的時(shí)段在 (u, V)平面的相圖如圖4(c)所示, 而該相軌線與快子系統(tǒng)的分岔的位置關(guān)系如圖4(d)所示.可以明確看出, 從?(對(duì)應(yīng)圖4(a)中的?, 但表示方向向左)到●, 系統(tǒng)從放電變?yōu)殚撓抡袷?經(jīng)歷兩次閾下振蕩恢復(fù)到放電峰值■.

3.5.2 自突觸電流作用在第2個(gè)放電峰后的谷值附近 (t = 12.6)

當(dāng) g = 0.02, t = 12.6 時(shí), 如圖5 所示, 自突觸電流作用在第2個(gè)放電后的谷值附近, 會(huì)誘導(dǎo)出較為復(fù)雜的新放電模式, 其1個(gè)周期的行為依次包括2個(gè)峰放電、1個(gè)閾下振蕩、2個(gè)峰放電和5個(gè)閾下振蕩.新放電模式的簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低, 平均放電頻率為 f = 0.049, 低于無(wú)自突觸時(shí)的平均放電頻率 f0= 0.0567.

如圖5(a)所示, 藍(lán)色虛線為原周期8簇放電模式, 上方黑色實(shí)線為自突觸電流, 下方黑色實(shí)線為新放電模式時(shí)間歷程.符號(hào)“?”, “●”, “◆”和“■”分別表示脈沖作用前的放電峰(運(yùn)行方向), 第1個(gè)脈沖作用時(shí)刻, 新放電節(jié)律的第1個(gè)閾下振蕩的峰值和經(jīng)過(guò)1個(gè)閾下振蕩后放電的峰值, 與圖4中的意義相同.第1個(gè)放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖經(jīng)過(guò)延時(shí)t = 12.6后, 作用到第2個(gè)放電峰后的谷值附近, 引起原先應(yīng)該產(chǎn)生的第3個(gè)放電峰消失, 變?yōu)殚撓抡袷? 而后, 第 2個(gè)放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖作用到閾下振蕩第1個(gè)谷值后的上升段, 導(dǎo)致原先應(yīng)該產(chǎn)生的第2個(gè)閾下振蕩消失, 變?yōu)殚撋戏烹? 形成新的放電峰; 第1個(gè)新放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖作用到第2個(gè)新放電峰后的谷值附近, 導(dǎo)致系統(tǒng)變?yōu)殚撓抡袷? 而后第2個(gè)新放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖作用到閾下振蕩第2個(gè)谷值附近, 沒(méi)能產(chǎn)生新的放電峰; 然后自突觸電流變?yōu)榻咏?, 系統(tǒng)經(jīng)過(guò)5次閾下振蕩后再次放電, 進(jìn)入下一個(gè)簇周期.

圖5 具有興奮性自突觸的改進(jìn) FHN模型在 g = 0.02和t = 12.6時(shí)的新放電模式及其快慢變量分離 (a) 周期8簇(藍(lán)色點(diǎn)線)在興奮性自突觸(上黑色實(shí)線)作用下誘導(dǎo)出新的放電模式(下黑色實(shí)線); (b) 自突觸的作用下新模式(?到■時(shí)段)在相平面(w, V )的投影, 軌線在相位●從閾上極限環(huán)(紅色虛線)躍遷到閾下極限環(huán)(洋紅色虛線); (c) 新放電模式(?到■時(shí)段) 在相平面(u, V )的投影; (d) 圖 (c)與快子系統(tǒng)分岔圖1(b)的疊加Fig.5.A new bursting pattern and the corresponding fast/slow variable dissection of the modified-FHN model with excitatory autapse when g = 0.02 and t = 12.6: (a) The new bursting pattern (lower solid black line) induced by excitatory autaptic current(upper solid black line) acted on the period-8 bursting (dotted blue line); (b) projection of the trajectory of the new pattern (from? to ■ in panel (a)) on phase plane (w, V ); at the phase ●, the trajectory of the new pattern (from ? to ■ panel (a)) jumps into the subthreshold stable limit cycle (dashed magenta line) from suprathreshold stable limit cycle (dashed red line); (c) the projection of the trajectory of the novel bursting pattern (from ? to ■ in panel (a)) is plotted on the plane (u, V ); (d) the panel (c) and the bifurcation of the fast subsystem Fig.1(b) plotted in one figure.

新放電模式的?到■段在相平面(w, V)中的投影如圖5(b)所示.從?所示的放電峰出發(fā), 沿與紅線 (快子系統(tǒng)的閾上極限環(huán) (u = –0.8513), 對(duì)應(yīng)放電)特別近的黑線逆時(shí)針運(yùn)行到●, 在自突觸電流脈沖作用下, 原先應(yīng)該沿紅線的運(yùn)行軌道轉(zhuǎn)變?yōu)檠睾诰€的運(yùn)行軌道, 經(jīng)歷1次閾下振蕩, 恢復(fù)到放電的峰值處■.閾下振蕩對(duì)應(yīng)快子系統(tǒng)的閾下極限環(huán)(洋紅色的虛線圈).新放電節(jié)律的軌線是在閾下振蕩和放電之間的轉(zhuǎn)換, 也可以看作閾下極限環(huán)和閾上極限環(huán)的轉(zhuǎn)換, 只是轉(zhuǎn)換的相位和規(guī)律與原先周期8和圖4所示的新節(jié)律有不同.

圖5(c)和圖5(d)給出了新放電節(jié)律的軌線在(u, V )平面的投影, 也能展示其在閾下振蕩和放電之間的轉(zhuǎn)換.新放電節(jié)律從?到■的時(shí)段的相軌線如圖5(c)所示, 而該相軌線與快子系統(tǒng)的分岔的位置關(guān)系如圖5(d)所示, 從?(對(duì)應(yīng)圖5(a)中的?, 但表示方向向左)到●, 系統(tǒng)從放電變?yōu)殚撓抡袷? 也對(duì)應(yīng)從閾上極限環(huán)到閾下極限環(huán)的轉(zhuǎn)換, 換經(jīng)歷1次閾下振蕩恢復(fù)到放電峰值■.

3.5.3 自突觸電流作用在第3個(gè)放電峰后的谷值附近 (t = 20.65)

參數(shù) g 不變, 當(dāng) t = 20.65 時(shí), 自突觸電流作用在第3個(gè)峰后的谷值附近, 如圖6所示, 誘導(dǎo)出更為復(fù)雜的新放電模式, 在1個(gè)周期內(nèi)依次出現(xiàn)3個(gè)峰放電、2個(gè)閾下振蕩、3個(gè)峰放電和7個(gè)閾下振蕩, 簇內(nèi)總放電個(gè)數(shù)降低, 平均放電頻率 f =0.055, 低于固有平均放電頻率 f0= 0.0567.具體如圖6所示.

圖6 具有興奮性自突觸的改進(jìn) FHN 模型在 g = 0.02 和 t = 20.65 時(shí)的新放電模式及其快慢變量分離 (a) 周期 8 簇 (藍(lán)色點(diǎn)線)在興奮性自突觸(上黑色實(shí)線)作用下誘導(dǎo)出新的放電模式(下黑色實(shí)線); (b) 自突觸的作用下新模式(?到■時(shí)段)在相平面(w, V )的投影, 軌線在相位●從閾上極限環(huán)(紅色虛線)躍遷到閾下極限環(huán)(洋紅色虛線); (c) 新放電模式(?到■時(shí)段) 在相平面(u, V )的投影; (d) 圖 (c)與快子系統(tǒng)分岔圖1(b)的疊加Fig.6.A new bursting pattern and the corresponding fast/slow variable dissection of the modified-FHN model with excitatory autapse when g = 0.02 and t = 20.65: (a) The new bursting pattern (lower solid black line) is induced by excitatory autaptic current (upper solid black line) acted on the period-8 bursting (dotted blue line); (b) projection of the trajectory of the new pattern(from ? to ■ in panel (a)) on phase plane (w, V ); at the phase ●, the trajectory of the new pattern (from ? to ■ in panel (a))jumps into the subthreshold stable limit cycle (dashed magenta line) from suprathreshold stable limit cycle (dashed red line);(c) the projection of the trajectory of the novel bursting pattern (from ? to ■ in panel (a)) is plotted on the plane (u, V ); (d) the panel (c) and the bifurcation of the fast subsystem Fig.1(b) and plotted in one figure.

圖6中依舊沿用圖4的符號(hào)標(biāo)記, 符號(hào)“?”(“?”), “●”, “◆”和“■”分別表示脈沖作用前的放電峰和運(yùn)行方向, 第1個(gè)脈沖作用時(shí)刻(相位),新放電節(jié)律的第1個(gè)閾下振蕩的峰值和經(jīng)過(guò)2個(gè)閾下振蕩后放電的峰值.

圖6(a)中, 原周期8簇放電(藍(lán)色虛線)在自突觸電流(上方黑色實(shí)線)作用下的新放電模式時(shí)間歷程為圖中下方黑色實(shí)線.原第1個(gè)放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖經(jīng)過(guò)延時(shí)(t = 20.65)作用到第3個(gè)放電峰后的谷值附近, 導(dǎo)致原先應(yīng)該產(chǎn)生的第4個(gè)放電峰消失, 變?yōu)殚撓抡袷? 原第2個(gè)放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖作用到新閾下振蕩的第2個(gè)峰附近, 導(dǎo)致原先應(yīng)該產(chǎn)生的第3個(gè)閾下振蕩消失, 變?yōu)殚撋戏烹? 產(chǎn)生新的放電峰; 原第 3個(gè)放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖作用到第1個(gè)新放電谷后的上升段, 促進(jìn)峰的形成, 進(jìn)而形成第2和第3個(gè)新放電峰; 第1個(gè)新的放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖作用到第3個(gè)新放電峰后的谷值附近, 導(dǎo)致系統(tǒng)變?yōu)殚撓抡袷? 而后第2和第3個(gè)新放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖作用到新閾下振蕩的谷值附近, 沒(méi)能產(chǎn)生新的放電峰; 然后自突觸電流變?yōu)榻咏?, 系統(tǒng)經(jīng)過(guò)7次閾下振蕩后再次放電, 進(jìn)入下一個(gè)簇周期.

從相平面角度, 把放電的?到■段投影在相平面 (w, V )中, 如圖6(b), 軌線從一個(gè)放電峰的峰值?出發(fā), 沿黑線和紅線順時(shí)針運(yùn)行到●, 在自突觸電流脈沖作用下, 原本應(yīng)沿紅線的運(yùn)行軌道轉(zhuǎn)變?yōu)檠睾诰€的運(yùn)行軌道, 經(jīng)歷2次閾下振蕩, 恢復(fù)到放電的峰值■.紅色和洋紅色的虛線圈分別對(duì)應(yīng)閾上和閾下極限環(huán) (u = –0.8513), 也分別對(duì)應(yīng)放電和閾下振蕩.新放電節(jié)律的軌線是在閾下振蕩和放電之間的轉(zhuǎn)換.

圖7 具有興奮性自突觸的改進(jìn) FHN模型在 g = 0.02和t = 70.6時(shí)的新放電模式及其快慢變量分離 (a) 周期8簇(藍(lán)色點(diǎn)線)在興奮性自突觸(上黑色實(shí)線)作用下誘導(dǎo)出新的放電模式(下黑色實(shí)線); (b) 自突觸的作用下新模式(圖(a)中?到■時(shí)段)在相平面(w, V)的投影; 第1個(gè)興奮脈沖作用在相位●1, 在放電峰上沒(méi)有引起放電峰大的變化; 第2個(gè)興奮脈沖作用在相位●2, 使本來(lái)應(yīng)該產(chǎn)生的閾下振蕩變成閾上放電; (c) 新放電模式在相平面(u, V)的投影; (d) 圖(c)和原放電軌線(藍(lán)虛線)及快子系統(tǒng)分岔圖1(b)的疊加Fig.7.A new bursting pattern and the corresponding fast/slow variable dissection of the modified-FHN model with excitatory autapse when g = 0.02 and t = 70.6: (a) The new bursting pattern (lower solid black line) induced by excitatory autaptic current(upper solid black line) acted on the period-8 bursting (dotted blue line); (b) the projection of the trajectory of the new pattern(from ? to ■ in panel (a)) on phase plane (w, V) under the action of autapse; The nearly unchanged spike induced by the 1st excitatory autaptic current pulse acting on phase ●1 within the spike; The expected subthreshold oscillation changes to suprathreshold firing induced by the 2nd excitatory autaptic current pulse acting on phase ●2; (c) the projection of the trajectory of the novel bursting pattern is plotted on the plane (u, V); (d) the panel (c), original period-8 bursting (blue dotted line), and bifurcations of the fast subsystem Fig.1(b) plotted in one figure.

與前面類似, 新放電節(jié)律在閾下振蕩和放電之間的轉(zhuǎn)換還可以從相平面(u, V )中得出, 新放電節(jié)律?到■時(shí)段在(u, V )平面的投影如圖6(c)所示, 而該相軌線的投影與快子系統(tǒng)的分岔的位置關(guān)系如圖6(d)所示.可以明確看出, 從?(對(duì)應(yīng)圖6(a)中的?, 但表示逆時(shí)針)經(jīng)歷●到◆, 系統(tǒng)從放電變?yōu)殚撓抡袷? 經(jīng)歷2次閾下振蕩恢復(fù)到放電峰值■.

圖4—圖6中, “●”用來(lái)標(biāo)記第1個(gè)自突觸脈沖作用相位, 圖4(b)和圖4(d)、圖5(b)和圖5(d)、圖6(b)和圖6(d)分別從解在兩個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)遷和快慢變量分離的方法揭示確定系統(tǒng)在自突觸的作用下提前結(jié)束放電, 導(dǎo)致平均放電頻率降低的內(nèi)在動(dòng)力學(xué)機(jī)制.

3.6 興奮性自突觸增強(qiáng)放電頻率

與常規(guī)概念相符, 在t的大多數(shù)取值中興奮性自突觸并不能降低平均放電頻率, 如圖7所示.例如, 保持 g 不變, t = 70.6, 自突觸作用在第 8 個(gè)放電后的谷值附近, 誘導(dǎo)出12個(gè)峰放電和8個(gè)閾下振蕩交替的新放電模式, 簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)增加, 平均放電頻率為 f = 0.0643, 大于固有平均放電頻率f0= 0.0567.

圖7(a)中藍(lán)色虛線為原周期8簇放電模式,自突觸電流(上方黑色實(shí)線)作用下的新放電模式時(shí)間歷程如圖中下方黑色實(shí)線; 沿用之前的符號(hào):“?”表示脈沖作用前的放電峰的峰值和運(yùn)行方向,“■”代表經(jīng)過(guò)第2個(gè)自突觸脈沖作用后的放電峰的峰值.原第1個(gè)放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖,峰值大小約為 0.0209, 經(jīng)過(guò)延時(shí) t = 70.6 作用到第8個(gè)放電峰后的下降段, 大小小于閾值 (0.7), 幾乎沒(méi)有改變膜電位V的走勢(shì); 而后第2個(gè)放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖作用到第8個(gè)放電峰后的上升段, 導(dǎo)致原先應(yīng)該產(chǎn)生的第1個(gè)閾下振蕩消失, 變?yōu)殚撋戏烹? 形成放電峰; 而后第3到第 5個(gè)放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖分別作用在第9到第11個(gè)放電峰后的上升段, 導(dǎo)致應(yīng)該產(chǎn)生的閾下振蕩消失, 變?yōu)殚撋戏烹? 形成放電峰; 第 5個(gè)以后的放電峰誘發(fā)的自突觸電流脈沖大小小于閾值, 沒(méi)能誘發(fā)新的放電峰, 轉(zhuǎn)為閾下振蕩; 然后自突觸電流變?yōu)榻咏?, 系統(tǒng)經(jīng)過(guò)8次閾下振蕩后再次放電, 進(jìn)入下一個(gè)簇周期.

為了進(jìn)一步說(shuō)明自突觸促進(jìn)放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制, 如圖7(b)所示, 將時(shí)間歷程的?到■段投影到相平面 (w, V )中.軌線從一個(gè)放電峰的峰值?處出發(fā), 沿黑線和紅線順時(shí)針運(yùn)行到●1, 在第1個(gè)自突觸電流脈沖作用下, 沒(méi)能改變軌線的運(yùn)行趨勢(shì), 繼續(xù)沿黑線和紅線順時(shí)針運(yùn)行; 當(dāng)運(yùn)行到●2,在第2個(gè)自突觸電流脈沖作用下, 使得原先應(yīng)該從沿紅線的運(yùn)行軌道躍遷到洋紅色線的運(yùn)行軌道, 進(jìn)入閾下振蕩, 轉(zhuǎn)變?yōu)檠睾诰€的運(yùn)行軌道, 恢復(fù)到放電的峰值處■.紅色和洋紅色的虛線圈分別對(duì)應(yīng)閾上和閾下極限環(huán) (u = –0.8513), 也分別對(duì)應(yīng)放電和閾下振蕩.自突觸電流脈沖增加了新放電節(jié)律的放電峰數(shù).

自突觸促進(jìn)放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制還可以從圖7(c)和圖7(d)得出.新放電節(jié)律周期解在 (u, V )平面的投影如圖7(c)所示, 而該相軌線與原放電軌線和快子系統(tǒng)的分岔的位置關(guān)系如圖7(d)所示, 可以明確看出, 新放電節(jié)律(黑實(shí)線)比原放電(藍(lán)虛線)多出4個(gè)峰.在自突觸作用下閾上振蕩跨過(guò)直線u = –1并繼續(xù)向左延續(xù), 最終多出4個(gè)閾上峰.而閾下振蕩變化不大, 僅多出1個(gè)峰, 進(jìn)而總的放電頻率增加.

3.7 平均放電頻率隨耦合強(qiáng)度或延遲參數(shù)的變化規(guī)律

自突觸作用下的改進(jìn)FHN模型, g和t變化時(shí)放電頻率也變化.圖8為平均放電頻率隨g和t的變化規(guī)律.

圖8(a)中固定g研究平均放電頻率隨t的變化, 水平直線對(duì)應(yīng) g = 0, 也就是周期 8 簇放電的固有放電頻率f0= 0.0567, 藍(lán)色點(diǎn)線和綠色星線分別對(duì)應(yīng) g = 0.02 和 g = 0.07 的平均放電頻率.結(jié)果說(shuō)明, 當(dāng)耦合強(qiáng)度g固定時(shí), 隨著t的增加,平均放電頻率呈現(xiàn)出先快速增加再緩慢下降、再上升再降低且變化幅度逐漸減小的振蕩模式, 最終趨于大于固有放電頻率f0的某個(gè)值.自突觸的電導(dǎo)越大, 放電頻率也越大.當(dāng) g = 0.02 時(shí), 在 t = 3,12和20.6附近3處出現(xiàn)了放電頻率小于f0的反常現(xiàn)象; 其他t值下放電頻率大于f0, 符合常規(guī)概念.當(dāng) g = 0.07 時(shí), 在 t = 3 附近放電頻率小于 f0; 其他t值下放電頻率大于f0, 符合常規(guī)概念.

圖8 平均放電頻率隨不同參數(shù)增長(zhǎng)的變化 (a) 固定 g 時(shí)隨 t 增長(zhǎng), 其中 g = 0 (黑色實(shí)線), g = 0.02 (藍(lán)色點(diǎn)線) 和 g = 0.07(綠色星線); (b) 固定 t 時(shí)隨 g 的增長(zhǎng), 其中 t = 3 (藍(lán)色實(shí)線), t = 4 (綠色點(diǎn)線)和 t = 5 (紅色點(diǎn)虛線); 黑色實(shí)線對(duì)應(yīng)平均放電頻率 f0 = 0.0567Fig.8.Changes of the average firing frequency with increasing different parameter values: (a) With increasing t values when g is fixed at g = 0 (solid black line), g = 0.02 (dotted blue line), g = 0.07 (asterisk green line); (b) with increasing g when t is fixed at t = 3 (solid blue line), t = 4 (dotted green line), and t = 5 (dash-dot red line); the solid black line represents f0 = 0.0567.

圖9 興奮性自突觸作用下的改進(jìn)FHN模型的放電頻率在平面(t, g)上的分布 (a) 平均放電頻率分布, 彩色代表頻率高低;(b) 平均放電頻率與 f0 = 0.0567 的差的分布, 其中黑色區(qū)域, 頻率低于內(nèi)在頻率 f0 = 0.0567, 白色區(qū)域, 頻率高于內(nèi)在頻率 f0 =0.0567; 綠色、洋紅色和藍(lán)色實(shí)心圓點(diǎn)對(duì)應(yīng)圖4 (t = 3.75, g = 0.02)、圖5 (t = 12.6, g = 0.02)和圖6 (t = 20.65, g = 0.02), 紅色實(shí)心圓點(diǎn)對(duì)應(yīng)圖7 (t = 70.6, g = 0.02)Fig.9.Distribution of the average firing frequency on the (t, g)-plane of the modified-FHN model with excitatory autapse.(a) The average firing frequency.Color scale represents the value of firing frequency.(b) The difference between the average firing frequency and f0 = 0.0567.Black area: average frequency is lower than f0 = 0.0567; white area: average frequency is higher than f0 =0.0567.The green, magenta, and blue solid cycles correspond to Fig.4 (t = 3.75, g = 0.02), Fig.5 (t = 12.6, g = 0.02), and Fig.6(t = 20.65, g = 0.02), and the red solid cycle corresponds to Fig.7 (t = 70.6, g = 0.02).

圖8(b)中固定t研究平均放電頻率隨g的變化, 水平直線對(duì)應(yīng)固有放電頻率 f0= 0.0567, 藍(lán)色實(shí)線、綠色點(diǎn)線、紅色點(diǎn)虛線分別對(duì)應(yīng) t = 3, t =4 和 t = 5.當(dāng) t = 3 和 4 時(shí), 平均放電頻率在 g 相對(duì)較小時(shí)會(huì)小于f0; g較大時(shí)放電頻率會(huì)大于f0,屬于符合常規(guī)概念的現(xiàn)象.當(dāng) t = 5 時(shí), 放電頻率大于f0.結(jié)果提示, 時(shí)滯較小且自突觸強(qiáng)度較小時(shí)容易出現(xiàn)興奮性自突觸引起放電頻率降低的反?，F(xiàn)象.

為了全面揭示放電頻率對(duì)控制參數(shù)g和t的關(guān)系, 研究了平均放電頻率在雙參數(shù)平面(t, g)的分布圖, 如圖9所示.

圖9(a)為平均放電頻率在雙參數(shù)平面(t, g)的分布, 彩色表示頻率高低.為了更清晰地表述平均放電頻率小于f0的條件, 圖9(b)中平均放電頻率小于f0的用黑色表示, 大于f0的用白色表示.結(jié)果表明: 在五個(gè)區(qū)域出現(xiàn)了平均放電頻率小于f0的反?，F(xiàn)象, 分別對(duì)應(yīng)于 t = 3, 12, 20.6, 31.5和 40.75 附近.其中圖4 (t = 3.75, g = 0.02)、圖5(t = 12.6, g = 0.02) 和圖6 (t = 20.65, g = 0.02)所示的放電頻率降低的情況的參數(shù)位置如圖9(b)中的綠色、洋紅色和藍(lán)色實(shí)心圓點(diǎn)所示, 對(duì)應(yīng)于前三個(gè)區(qū)域, 也就是興奮性自突觸電流脈沖作用于簇內(nèi)的第 1, 2 和 3 個(gè)谷值附近.隨著 t 的增加, 五個(gè)區(qū)域的g的參數(shù)值降低且范圍變窄, t的參數(shù)范圍略有變窄.第4 (5)個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)興奮性自突觸電流脈沖作用于簇內(nèi)的第4 (5)個(gè)谷值.頻率降低的反?，F(xiàn)象發(fā)生在自突觸脈沖電流作用在簇內(nèi)第1—5個(gè)谷值時(shí), 進(jìn)一步驗(yàn)證了在膜電位V的谷值附近添加合適的興奮性激勵(lì)能實(shí)現(xiàn)閾上極限環(huán)到閾下極限環(huán)的躍遷且降低放電頻率的猜想.除了這五個(gè)區(qū)域, 其他區(qū)域的放電頻率高于f0, 符合常規(guī)概念.例如, 圖7 (t = 70.6, g = 0.02) 放電頻率增加的情況對(duì)應(yīng)圖9(b)中的紅色實(shí)心圓點(diǎn).

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)興奮性自突觸對(duì)改進(jìn)FHN模型的Homoclinic/Homoclinic簇放電動(dòng)力學(xué)行為[7]的影響的研究, 得到結(jié)論和創(chuàng)新如下:

1) 適當(dāng)?shù)呐d奮性常值脈沖能使系統(tǒng)的簇放電行為從閾上極限環(huán)躍遷到閾下極限環(huán), 提前結(jié)束放電, 降低簇內(nèi)放電個(gè)數(shù), 屬于不同于常規(guī)認(rèn)識(shí)的新現(xiàn)象.合適相位對(duì)應(yīng)于放電簇的谷值附近;

2) 適當(dāng)時(shí)滯和強(qiáng)度的興奮性自突觸不僅能引起簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低, 而且能降低平均放電頻率,比文獻(xiàn)[21]中只是降低簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)的結(jié)果更為復(fù)雜, 也提供了興奮性作用引起放電活動(dòng)降低這一反?，F(xiàn)象的新示例;

3) 給出了不同于常規(guī)現(xiàn)象的產(chǎn)生參數(shù)范圍和條件, 在自突觸時(shí)滯和強(qiáng)度的參數(shù)平面, 自突觸時(shí)滯和電導(dǎo)都相對(duì)較小且自突觸電流作用在簇內(nèi)的第 1, 2, 3, 4 和 5 個(gè)膜電位谷值時(shí).其余參數(shù)范圍下, 興奮性自突觸引起放電頻率增加, 符合常規(guī)概念.

4) 反?，F(xiàn)象出現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)機(jī)制可以從快慢變量分離、分岔分析以及閾上極限環(huán)和閾下極限環(huán)間的轉(zhuǎn)遷獲得.通過(guò)快慢變量分離, 確定本文研究的簇放電模式屬于Homoclinic/Homoclinic型, 與文獻(xiàn)[21]研究的Fold/Homoclinic簇不同.本研究中的簇放電模式是放電簇(對(duì)應(yīng)閾上極限環(huán))與閾下振蕩(對(duì)應(yīng)閾下極限環(huán))的交替, 放電簇內(nèi)的極小值(即閾上極限環(huán)極小值)小于閾下振蕩的極小值(即閾下極限環(huán)的極小值).因此, 在放電簇內(nèi)的谷值(極小值)附近, 合適的興奮性作用能引起從放電(閾上極限環(huán))到閾下振蕩(閾下極限環(huán))的轉(zhuǎn)變, 導(dǎo)致放電提前結(jié)束, 簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低, 同時(shí),閾下振蕩的持續(xù)期變短.但是, 放電個(gè)數(shù)降低是主要的, 因此, 引起了平均放電頻率的降低.興奮性作用包括興奮性電流脈沖刺激和興奮性自突觸電流脈沖.而文獻(xiàn)[21]研究的Fold/Homoclinic簇,是放電簇(對(duì)應(yīng)閾上極限環(huán))和休止期(對(duì)應(yīng)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn))的交替, 休止期的膜電位遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于簇內(nèi)膜電的谷值; 強(qiáng)度適合的興奮性自突觸電流作用在休止期上, 引起休止期提前結(jié)束變?yōu)榉烹? 同時(shí), 休止期的變窄使得放電參數(shù)區(qū)間也變窄因而引起了放電個(gè)數(shù)的降低.但是, 休止期的降低更為主要, 因此, 平均放電頻率沒(méi)有降低反而增加.兩類簇放電模式的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的不同是興奮性自突觸引起放電頻率變化不同的原因.

興奮性作用使得系統(tǒng)平均放電頻率明顯降低的現(xiàn)象及其動(dòng)力學(xué)機(jī)制的發(fā)現(xiàn), 在神經(jīng)元電活動(dòng)和非線性動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域有著重要意義.

進(jìn)一步拓展了人們對(duì)常規(guī)概念和現(xiàn)象不同的現(xiàn)象的認(rèn)識(shí).因?yàn)槠骄烹婎l率降低不僅表明系統(tǒng)放電次數(shù)降低, 而且表明其放電持續(xù)時(shí)間在整個(gè)周期內(nèi)占比降低.目前為止人們主要關(guān)注抑制性作用導(dǎo)致的反常規(guī)現(xiàn)象, 例如, 抑制性作用能引簇內(nèi)峰個(gè)數(shù)增加和放電頻率增加、放電參數(shù)區(qū)間增大[16?20,41,51,52]、網(wǎng)絡(luò)的同相同步[23?25]等, 對(duì)興奮性作用研究偏少, 且主要發(fā)現(xiàn)了靠近Hopf分岔的峰放電頻率增加[54]和興奮性作用使得簇內(nèi)放電次數(shù)降低但平均放電頻率不降[21].而本研究揭示了興奮性作用不僅能夠降低簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)還能夠明顯降低平均放電頻率, 進(jìn)一步擴(kuò)展了興奮性作用和非線性動(dòng)力學(xué)的內(nèi)涵.

本文的結(jié)果提供了興奮性自突觸的潛在功能和調(diào)控神經(jīng)元放電頻率的新手段.一般而言, 興奮性自突觸增強(qiáng)電活動(dòng).本文研究結(jié)果提示合適的參數(shù)下興奮性自突觸能夠引起電活動(dòng)的降低, 這就提示了興奮性自突觸具有降低電活動(dòng)的新的潛在功能.目前, 常規(guī)操作中人們主要通過(guò)抑制性作用降低神經(jīng)元的平均放電頻率, 而本文結(jié)果說(shuō)明在合適強(qiáng)度的脈沖和自突觸作用在合適的相位也能夠有效地降低神經(jīng)元的放電頻率.

對(duì)比本文的Homoclinic/Homocinic簇放電與文獻(xiàn)[21]的Fold/Homoclinic簇放電的結(jié)果和機(jī)制, 可以發(fā)現(xiàn), 相同之處在于興奮性作用誘發(fā)簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)降低, 但是, 更多的是不同, 包括本文是平均放電頻率的降低而文獻(xiàn)[21]是簇內(nèi)放電個(gè)數(shù)的減少, 本文的轉(zhuǎn)遷(分岔)機(jī)制是興奮性自突觸流引起放電(閾上極限環(huán))轉(zhuǎn)遷到閾下振蕩(閾下極限環(huán)), 而文獻(xiàn)[21]是休止期(穩(wěn)定結(jié)點(diǎn))轉(zhuǎn)遷到放電 (閾上極限環(huán)), 如表1 所列.此外, 文獻(xiàn) [7]揭示了很多類簇放電模式, 遠(yuǎn)不止本文提及的兩類簇放電模式, 而簇放電又被認(rèn)為在信息處理中有重要作用[3], 今后應(yīng)進(jìn)一步研究興奮性自突觸對(duì)其他類簇放電模式的影響.

表1 本文與文獻(xiàn)[21]的主要的差別(興奮性自突觸)Table 1.Main differences between this paper and Ref.[21](excitatory autapse).