微積分教學(xué)過程中易錯(cuò)點(diǎn)解析

摘?要：極限和導(dǎo)數(shù)是微積分課程中的兩大類重要知識點(diǎn)，在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和一些考試中經(jīng)常用到，其中有一些知識點(diǎn)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中如果不注意，就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，本文主要?dú)w納在極限和導(dǎo)數(shù)的解題過程中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，并結(jié)合例題進(jìn)行解析。

關(guān)鍵詞：微積分;易錯(cuò)點(diǎn);解析

微積分是經(jīng)管類大一新生的一門必修課，上學(xué)期主要學(xué)習(xí)了極限和導(dǎo)數(shù)兩大類知識點(diǎn)。極限的計(jì)算中又包括很多類型的函數(shù)極限的計(jì)算，針對不同類型的函數(shù)極限，分別用到很多不同的方法，如對于連續(xù)函數(shù)，可以用直接代入法;對于分式的分母極限為0，分子極限不為0的函數(shù)極限，結(jié)果為;分式的分子與分母極限都為0時(shí)，可以用消零因子法、有理化法和變量代換法;分式的分子與分母極限都為，則要用“抓大頭”法求極限。在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中，一些復(fù)雜的函數(shù)的極限要特別注意，比如求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。以上這些知識點(diǎn)，其中有一部分在做題過程中很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，本文給出幾種易錯(cuò)點(diǎn)的解析。

一、亂用“抓大頭”法求極限

對于lim多項(xiàng)式多項(xiàng)式為型未定式的極限，除了可以用洛必達(dá)法則，還可以用“抓大頭”法，即分子分母同時(shí)除以最高次數(shù)項(xiàng)。但是有一部分同學(xué)，看見多項(xiàng)式多項(xiàng)式這一類型的函數(shù)極限，不進(jìn)行分析，就直接用“抓大頭”法，這樣有可能就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

二、亂用等價(jià)無窮小量代換求極限

在求極限的計(jì)算中，如果有無窮小量，而且無窮小量的運(yùn)算中只有乘除運(yùn)算沒有加減項(xiàng)運(yùn)算，我們就可以用等價(jià)無窮小量代換來求極限，但是用的過程中一定要注意幾點(diǎn)：首先必須是無窮小量才能進(jìn)行代換，其次等價(jià)無窮小量代換只能用于乘除運(yùn)算，不能亂用公式。

三、判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性

在判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)時(shí)，有些同學(xué)會(huì)對兩個(gè)函數(shù)分別直接求導(dǎo)，計(jì)算函數(shù)值來判斷左右導(dǎo)數(shù)是否相等，這樣做是有問題的，因?yàn)榍疤釛l件是判斷在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)，那就有可能是不可導(dǎo)的，因此就不能直接用求導(dǎo)公式來計(jì)算導(dǎo)數(shù)，而應(yīng)該用左右導(dǎo)數(shù)的定義來計(jì)算。

四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)分解不徹底

大家都很熟悉復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，簡單來說就是外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要找對內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)，分別求導(dǎo)再相乘就可以了。這里易錯(cuò)的地方主要在兩方面：外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)找不對，分解不徹底。

例如（sin22x）′，首先要找到外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)，外函數(shù)為y=u2，內(nèi)函數(shù)為u=sin2x，而內(nèi)函數(shù)又是復(fù)合函數(shù)，再分解為u=sinv，v=2x，這時(shí)就分解徹底了。

五、隱函數(shù)求導(dǎo)不對內(nèi)函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)是所有函數(shù)求導(dǎo)中最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的，其實(shí)經(jīng)過總結(jié)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，大部分出錯(cuò)的地方，錯(cuò)就錯(cuò)在沒有把關(guān)于y的函數(shù)當(dāng)成關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)來看待，在隱函數(shù)的求導(dǎo)中，關(guān)于y的函數(shù)就好比是早餐吃的包子，包子餡是隱含在包子皮里面的，函數(shù)y=y（x）是隱含在復(fù)合函數(shù)中的，因此求導(dǎo)時(shí)除了對外函數(shù)求導(dǎo)，還要對內(nèi)函數(shù)y求導(dǎo)。

這里用了無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量這個(gè)結(jié)論。

以上就是極限和導(dǎo)數(shù)在解題過程中的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)解析，教師在教學(xué)過程中，除了要給學(xué)生講清楚重點(diǎn)和難點(diǎn)之外，還要指明易錯(cuò)點(diǎn)，這樣學(xué)生在做題過程中才能有效的避免出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙樹源.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）——微積分（上冊）[M].第四版.北京：中國人民大學(xué)出版社，2016，6.

[2]黃磊.極限運(yùn)算中常用方法易錯(cuò)點(diǎn)解析[J].重慶電力高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2016（21）：14-16.

[3]李尤發(fā).《微積分》知識點(diǎn)中一些常見難點(diǎn)之剖析和解法[J].考試周刊，2016（36）：47-48.

作者簡介：白明月（1987-），女，河南開封人，碩士研究生，助教，教師，主要從事數(shù)學(xué)教育方面的研究。