張玉平 劉雪松 李傳習(xí)

摘 要： 針對斜拉橋設(shè)計和監(jiān)控計算中合理成橋狀態(tài)和施工狀態(tài)索力的確定問題，提出了一種基于MOPSO算法的斜拉橋索力優(yōu)化方法。該方法在PSO算法的基礎(chǔ)上通過增加外部儲備集和優(yōu)化更新策略來適應(yīng)多目標(biāo)、多約束的索力優(yōu)化，較單目標(biāo)優(yōu)化方法僅有單一解的局限性，MOPSO算法考慮因素更全面，得到的Pareto最優(yōu)解集可供決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步篩選。采用Python編程語言，聯(lián)合有限元軟件編寫基于該方法的優(yōu)化程序，選取主塔、主梁的彎曲應(yīng)變能之和，主塔成橋后在恒載作用下的縱橋向位移平方和作為目標(biāo)函數(shù)，以施工過程及成橋后結(jié)構(gòu)處于安全狀態(tài)和索力總體分布均勻作為約束條件。工程算例優(yōu)化結(jié)果表明，該方法能夠快速搜尋到Pareto最優(yōu)解集，并從中篩選出最優(yōu)解，其結(jié)構(gòu)應(yīng)力處于安全范圍，主塔線形合理，索力總體分布均勻。該方法可應(yīng)用于斜拉橋成橋和施工階段索力的確定及梁拱組合體系橋梁吊桿索力的確定。

關(guān)鍵詞： 斜拉橋;索力優(yōu)化;粒子群優(yōu)化算法;多目標(biāo)優(yōu)化;有限元

中圖分類號：U448.27? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ?文章編號：2096-6717（2020）02-0107-08

Optimization of cable tension of cable-stayed bridges based on multi-objective particle swarm optimization algorithm

Zhang Yuping， Liu Xuesong， Li Chuanxi

（School of Civil Engineering， Changsha University of Science & Technology， Changsha 410114， P.R.China）

Abstract：? To solve the problem of determining reasonable completion state and construction state in cable-stayed bridge design and monitoring calculation， a cable force optimization method based on MOPSO algorithm is proposed.This method adapts to multi-objective and multi-constraint cable force optimization by adding external reserve set and optimizing update strategy based on PSO algorithm.Compared with the single objective optimization method which has the limitation of single solution， MOPSO algorithm considers more comprehensive factors.The Pareto optimal solution set obtained by MOPSO algorithm can be further screened by decision makers based on experience.Python programming language and finite element software are used to compile the optimization program based on this method.The sum of the bending strain energy of the main tower and the main beam， and the sum of squares of longitudinal displacement under dead load is taken as the objective function after the completion of the bridge.The constraints are that the structure is in a safe state during the construction process and after the completion of the bridge and the overall distribution of cable forces is uniform.The optimization results of engineering examples show that the proposed method can quickly find the Pareto optimal solution set and select the optimal solution.The stress of the structure is in the safe range， the main tower is reasonable in alignment， and the overall distribution of cable forces is uniform.The method can be applied to determine the cable force in completion and construction of cable-stayed bridge and the suspender force of girder and arch combination bridge.

Keywords： cable-stayed bridge; optimization of cable tensions; particle swarm optimization algorithm; multi-objective optimization; finite element

現(xiàn)代斜拉橋多為密索體系，屬于高次超靜定結(jié)構(gòu)，可以通過人為調(diào)整斜拉索各次張拉控制力，在一定范圍內(nèi)調(diào)整主梁、主塔等結(jié)構(gòu)的變形和受力狀態(tài)，因此，斜拉橋的設(shè)計自由度較大。如何通過優(yōu)化索力來確定合理成橋狀態(tài)與合理施工狀態(tài)是斜拉橋設(shè)計和監(jiān)控計算中需要解決的一個關(guān)鍵問題。

關(guān)于斜拉橋索力優(yōu)化方法，許多學(xué)者已有大量的研究，多種不同方法各有其優(yōu)點(diǎn)、不足和適用范圍[1-5]。按照優(yōu)化目標(biāo)數(shù)量可分為單目標(biāo)優(yōu)化方法和多目標(biāo)優(yōu)化方法兩大類。傳統(tǒng)的零位移法、彎曲能量最小法、用索量最小法等可歸為單目標(biāo)優(yōu)化方法，而影響矩陣法、遺傳算法（genetic algorithms， GA）、粒子群算法（particle swarm optimization， PSO）等可用于多目標(biāo)問題優(yōu)化。相對前者，多目標(biāo)優(yōu)化方法能夠更全面地考慮斜拉橋的受力狀態(tài)和線形等指標(biāo)，避免單目標(biāo)優(yōu)化方法的單一性。多目標(biāo)優(yōu)化方法中，影響矩陣法克服了單一目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的缺點(diǎn)，可以用較小的計算量得到較為理想的結(jié)果，然而，影響矩陣法只是表達(dá)了結(jié)構(gòu)力學(xué)體系的一種受力規(guī)律，它本身不會自行取得最優(yōu)解答[5]。而遺傳算法、粒子群算法等智能優(yōu)化算法則在這方面具有一定的優(yōu)勢。

遺傳算法和粒子群算法對目標(biāo)函數(shù)沒有可導(dǎo)性、連續(xù)性等要求，算法概念簡明，收斂速度快，魯棒性好，并且粒子群算法相對遺傳算法，不需要復(fù)雜的交叉、變異等操作，算法實(shí)現(xiàn)簡單，在許多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[6]。在斜拉橋索力優(yōu)化問題方面，也有一些學(xué)者運(yùn)用該類方法進(jìn)行了探索。劉益銘等[7]、朱敏等[8]、吳霄等[9]運(yùn)用遺傳算法，以主梁、主塔的最小彎曲能量為目標(biāo)函數(shù)對斜拉橋索力進(jìn)行優(yōu)化;李鴻波等[10]運(yùn)用量子粒子群算法，以矮塔斜拉橋恒載作用下的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)對斜拉橋索力進(jìn)行優(yōu)化。陳志軍等[11]、姜增國等[12]和Hassan等[13]分別運(yùn)用粒子群算法和遺傳算法，以主梁線形和主塔線形或塔梁應(yīng)變能為目標(biāo)，通過對兩個目標(biāo)函數(shù)加權(quán)求和處理，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化，其各分項(xiàng)系數(shù)比較敏感且需要一定的經(jīng)驗(yàn)確定。以上文獻(xiàn)研究內(nèi)容集中于單目標(biāo)優(yōu)化或者將多目標(biāo)轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化，都存在一次僅能得到一個數(shù)值解的問題，而決策者更希望能夠根據(jù)實(shí)際需要，在多個可行解中篩選得到最優(yōu)解;并且將多目標(biāo)轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)處理忽略了各目標(biāo)函數(shù)之間相互沖突的關(guān)系，不能算作真正的多目標(biāo)優(yōu)化。筆者將基于單目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化（multi-objective particle swarm optimization， MOPSO）算法[14]應(yīng)用于斜拉橋索力優(yōu)化，建立的優(yōu)化模型考慮多目標(biāo)函數(shù)多約束條件，能搜尋出Pareto最優(yōu)解集并從中進(jìn)一步篩選得到最優(yōu)解，實(shí)現(xiàn)斜拉橋索力的自動調(diào)優(yōu)，確定合理成橋狀態(tài)及合理施工狀態(tài)，并通過一座非對稱混合梁獨(dú)塔斜拉橋驗(yàn)證了該方法的可行性。

1 MOPSO算法原理

粒子群算法（PSO）由美國心理學(xué)家Kennedy和電氣工程師Eberhart在1995年共同提出，其思想來源于鳥類覓食等復(fù)雜群體行為。該優(yōu)化算法概念簡明，對目標(biāo)函數(shù)要求低，易于編程實(shí)現(xiàn)[15]。

PSO算法可描述為：在D維搜索空間內(nèi)有n個粒子，每個粒子可以看作是問題的一個解，將第i個粒子的位置用向量 x i=[xi1，xi2，…，xid]表示，飛行速度用向量 v i=[vi1，vi2，…，vid]表示，由所確定的目標(biāo)函數(shù)輸出該粒子的適應(yīng)度值，通過迭代優(yōu)化過程中適應(yīng)度值的相互比較，每個粒子能夠知道自己目前最好的位置 p best 1=[ p best i1， p best i2，…， p best id]以及群體搜索到的最好位置?g best =[ g best 1， g best 2，…， g best d]，各粒子根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)和種群內(nèi)其他粒子的經(jīng)驗(yàn)決定下一次移動的速度和位置，其速度和位置的更新公式為[15]

vkid=wvk-1id+c1r1（ p best k-1id-xk-1id）+c2r2（ g best k-1d-xk-1id） （1）

xkid=xk-1id+vk-1id （2）

vdmin≤vkid≤vdmax

xdmin≤xkid≤xdmax? （3）

式中：vkid為第k次迭代粒子i飛行速度矢量的第d維分量，vdmin和vdmax為其限值;

xkid為第k次迭代粒子i位置矢量的第d維分量，

vdmin和vdmax為其限值;

pbestk-1id為第k-1次迭代粒子i經(jīng)歷最好位置矢量的第d維分量;

gbestk-1d為第k-1次迭代種群所經(jīng)歷過最好位置矢量的第d維分量;w為慣性權(quán)重，非負(fù)數(shù)，調(diào)節(jié)對解空間的搜索范圍;c1和c2為加速度常數(shù)，調(diào)節(jié)其最大步長，取值范圍為[0，2];r1和r2為兩個介于（0，1）的隨機(jī)數(shù)，增加搜索隨機(jī)性。

MOPSO算法是在PSO算法的基礎(chǔ)上擴(kuò)展而來，原生支持多目標(biāo)優(yōu)化問題求解的算法。它具備PSO算法概念簡明、易收斂和易編程實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，而且對問題的連續(xù)性和可導(dǎo)性沒有要求，適用范圍廣，該算法被認(rèn)為是求解多目標(biāo)優(yōu)化問題最具潛力的方法之一[16]。MOPSO算法相較PSO算法通過增加外部儲備集保存算法迭代過程中出現(xiàn)的非劣解，采取適當(dāng)?shù)母虏呗愿旅恳淮蔚械膒best（個體引導(dǎo)者）、gbest（全局引導(dǎo)者）和外部儲備集來解決多目標(biāo)問題[17-18]，其優(yōu)化結(jié)果為一組最優(yōu)解集，而非單一解，算法工作流程如圖1所示[6]。

2 索力優(yōu)化模型

2.1 設(shè)計變量

現(xiàn)代斜拉橋多為密索體系，其索力可調(diào)的特點(diǎn)使得斜拉橋設(shè)計的自由度較大，對于已確定的斜拉橋結(jié)構(gòu)體系，需找到一組索力使得結(jié)構(gòu)達(dá)到最優(yōu)的受力狀態(tài)和線形[19]，因此，將索力作為調(diào)整的設(shè)計變量較合理，其向量形式為

X= [T1，T2，…，Tn]T （4）

式中：Ti為第i根斜拉索初始索力值;n為設(shè)計變量數(shù)，對于完全對稱的斜拉橋，設(shè)計變量可取斜拉索數(shù)量的一半，對于非對稱斜拉橋，設(shè)計變量取全部斜拉索數(shù)量。

2.2 目標(biāo)函數(shù)及約束條件

斜拉橋索力確定需要遵循以下原則：

1）結(jié)構(gòu)安全性原則。結(jié)構(gòu)安全性原則包含斜拉橋施工過程的安全性和成橋狀態(tài)下的安全性兩部分，各構(gòu)件在各工況下的應(yīng)力必須滿足規(guī)范要求且有一定的安全儲備。

2）“梁平塔直”原則?！傲浩剿薄睘樾崩瓨虺蓸虻木€形目標(biāo)，主梁的成橋線形一般可以通過在施工過程中設(shè)置合理的預(yù)抬量調(diào)整，但也不宜出現(xiàn)過大的波動;而主塔線形一般無法通過設(shè)置預(yù)偏調(diào)整，通常在施工過程中以張拉索力進(jìn)行控制，使其在成橋后達(dá)到“塔直”的目標(biāo)。

3）索力總體分布均勻原則。斜拉索索力分布一般由主塔向兩端（短索向長索方向）呈遞增趨勢，允許個別斜拉索索力小幅度跳躍，如主塔兩側(cè)第一對斜拉索索力和尾索索力。

綜上，分別選取主塔、主梁的彎曲應(yīng)變能之和，主塔恒載作用下，縱橋向位移平方和作為目標(biāo)函數(shù)。以主梁、主塔的應(yīng)力滿足規(guī)范允許值，斜拉索索力總體分布均勻且不超過規(guī)范要求的安全系數(shù)作為約束條件。

對于離散的桿系結(jié)構(gòu)，其彎曲應(yīng)變能[20]可表示為

U=∑ m i=1? li 4EiIi （M2Li+M2Ri） （5）

式中：m為結(jié)構(gòu)單元數(shù)量;li、Ei、Ii、MLi、MRi分別為單元長度、彈性模量、慣性矩及左右桿端彎矩值。

主塔的縱橋向位移平方和可表示為

D=∑ s i=1 δi2 （6）

式中：s為主塔控制節(jié)點(diǎn)數(shù);δi為主塔各控制點(diǎn)處的縱橋向位移值。

約束條件表示為

1）關(guān)心截面應(yīng)力：σjmax≥σj≥σjmin;

2）斜拉索索力：Tjmax≥Tj≥Tjmin;

3）斜拉索索力均勻度：? Tj+1-Tj Tj+1? ≤Δ。

式中：σjmax、σjmin分別為截面j應(yīng)力上下限，按規(guī)范取值;

Tjmax、Tjmin分別為第j根斜拉索索力上下限，在滿足規(guī)范要求容許拉力小于0.4Tpd（破斷索力）的前提下，考慮經(jīng)濟(jì)性和垂度效應(yīng)建議Tjmax取0.32Tpd、Tjmin取0.15Tpd;Δ為相鄰索力均勻度評價閥值。

2.3 數(shù)學(xué)模型

斜拉索索力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可表示為

minf（x）=[minU（x），minD（x）]

s.t.gi（x）≤0，i=1，2…，n? （7）

式中：f（x）為目標(biāo)函數(shù)，包含結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能U（x）以及主塔縱橋向位移平方和D（x）;g（x）為約束函數(shù);n為約束個數(shù)。

2.4 基于MOPSO算法的索力優(yōu)化

2.4.1 約束處理及更新策略

MOPSO算法迭代過程中的更新策略包含pbest更新（個體引導(dǎo)者更新）、gbest更新（全局引導(dǎo)者選擇）以及外部儲備集更新。筆者所考慮的索力優(yōu)化問題是一個多目標(biāo)多約束問題，在pbest更新策略上，采取約束占優(yōu)的選擇策略，具體按如下規(guī)則進(jìn)行：

1）若粒子本次位置 x ki與 p best k-1i 為可行解（滿足約束條件），則按Pareto占優(yōu)準(zhǔn)則：若?x ki為支配解，即fi（ x ki）≤fj（ p best k-1i）（j=1，…，n，n為目標(biāo)函數(shù)數(shù)量），則?p best ki=kki，反之若 x ki為受支配解，即fj（ x ki）≥fj（ p best k-1j）（j=1，…，n），則 p best ki= p best k-1i;若互相不支配，則隨機(jī)決定更新。

2）若粒子本次位置 x ki為可行解，而 p best k-1i為不可行解，則更新，反之，則不更新。

3）若 x ki與 p best k-1i均為不可行解，則按約束違反程度決定是否更新，具體規(guī)則為：若 x ki滿足的約束條件數(shù)多于 p best k-1i ，則更新，反之，則不更新;若相等，則按Pareto占優(yōu)準(zhǔn)則處理約束， x ki 約束占優(yōu)時更新，否則不更新。

MOPSO算法中，因外部儲備集中的非劣解較多，如何從中選擇gbest對算法的性能影響很大，為了維護(hù)粒子群的多樣性，根據(jù)自適應(yīng)網(wǎng)格法[21]計算外部儲備集中各粒子的擁擠度，隨機(jī)選擇擁擠度較小的粒子作為全局引導(dǎo)者。為提高粒子群的多樣性，同時讓算法能夠在一定的不可行域中搜索，提高算法的全局搜索能力，外部儲備集更新策略將約束條件作為額外的目標(biāo)函數(shù)考慮。具體按如下規(guī)則進(jìn)行3輪篩選：

1）將各粒子本次迭代所得 p best ki 與儲備集中的非劣解按Pareto占優(yōu)準(zhǔn)則比較，若 p best ki 為支配解或非劣解則添加到外部儲備集中。

2）更新后的外部儲備集中若存在受支配解，則將其剔除。

3）若外部儲備集粒子數(shù)量超出上限，則按自適應(yīng)網(wǎng)格法，將擁擠度較高的粒子隨機(jī)剔除。

2.4.2 擾動處理

針對MOPSO算法優(yōu)化過程中可能收斂到局部最優(yōu)解的問題，按如下規(guī)則進(jìn)行擾動，提高算法的全局搜索能力：

1）當(dāng)外部儲備集多次未更新時，即沒有新的非劣解出現(xiàn)，對群里內(nèi)粒子位置和速度重新進(jìn)行隨機(jī)生成。

2）在迭代過程中若某粒子移動到已經(jīng)搜索過的位置時，對該粒子的位置和速度微調(diào)，避免重復(fù)計算。

3）每間隔一定迭代次數(shù)，對群體內(nèi)隨機(jī)10%的粒子位置和速度進(jìn)行隨機(jī)生成。

2.4.3 索力優(yōu)化計算步驟

斜拉橋索力優(yōu)化流程圖如圖2所示，具體計算步驟如下：

1）根據(jù)斜拉橋結(jié)構(gòu)布置、截面尺寸及材料參數(shù)等建立考慮施工過程的全橋有限元模型，并確定設(shè)計變量數(shù)目;

2）設(shè)置MOPSO算法參數(shù)，包括加速度常數(shù)、慣性系數(shù)、種群規(guī)模、位置及速度限值、算法最大迭代次數(shù)等;

3）按恒載平衡法等方法確定一組初始索力，并根據(jù)這組索力初始化各粒子的位置和移動速度;

4）求解有限元模型，提取結(jié)構(gòu)關(guān)心截面的應(yīng)力、位移等計算結(jié)果;

5）根據(jù)確定的目標(biāo)函數(shù)及有限元模型計算結(jié)果計算各粒子的適應(yīng)度值，并初始化pbest、gbest、外部儲備集;

6）根據(jù)MOPSO算法中的速度、位置更新公式對粒子的位置和速度進(jìn)行更新，將更新后的粒子位置（索力）替換到有限元模型中;

7）重新求解有限元模型;

8）根據(jù)確定的目標(biāo)函數(shù)及有限元模型計算結(jié)果計算各粒子的適應(yīng)度值，據(jù)此更新pbest、gbest、外部儲備集;

9）若滿足停止迭代的條件則輸出Pareto最優(yōu)解集，并對其篩選得到最優(yōu)解;若不滿足停止迭代的條件則轉(zhuǎn)入步驟6。

3 算例

3.1 工程概述

廣東某不對稱獨(dú)塔雙索面混合梁斜拉橋，跨徑組合為66 m+69 m+260 m=395 m，邊中跨比0.52，采用塔墩梁固結(jié)，邊墩設(shè)縱向活動支座，橋面全寬40.5 m（雙向八車道），主塔塔身總高142 m。主梁采用鋼混結(jié)合，中跨247 m采用鋼箱梁，其他部分采用預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁，梁高3.5 m。全橋共40對拉索。全橋總體布置、拉索編號、主塔截面及主梁截面如圖3所示。

3.2 參數(shù)設(shè)置

該斜拉橋?yàn)椴粚ΨQ結(jié)構(gòu)，選取全橋共40對斜拉索作為設(shè)計變量， X =（T1，T2，…，T40）T。MOPSO算法主要參數(shù)設(shè)置見表1，其中，慣性權(quán)重系數(shù)、c1和c2加速度常數(shù)采用Vandenbergh等[22]的推薦值。考慮到目前普遍使用的計算機(jī)配置，種群規(guī)模n取14，兼顧計算效率和算法性能。速度vid取值介于[-400，400]，粒子位置xid限值在保證拉索安全系數(shù)的前提下，取初始索力上下浮動30%，即介于[0.7x0d，1.3x0d]。最大迭代次數(shù)設(shè)置為800次。

3.3 優(yōu)化結(jié)果與分析

如何控制施工過程中主梁、主塔應(yīng)力在安全范圍內(nèi)和成橋狀態(tài)下的主塔線形是施工監(jiān)控的兩個關(guān)鍵問題。運(yùn)用提出的斜拉索索力優(yōu)化方法，采用Python編程語言聯(lián)合有限元軟件編寫程序，對該橋的初始索力進(jìn)行優(yōu)化。表2為優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解集，由表2可以看出，集合中的解均為可行解。對Pareto最優(yōu)解集篩選，選擇第1組解作為最優(yōu)解。圖4為優(yōu)化后的初始索力，主跨斜拉索索力相對優(yōu)化前變化幅度不大，但邊跨大部分斜拉索索力相較優(yōu)化前有10%左右提高，這說明優(yōu)化前的邊跨索力值偏小。根據(jù)斜拉橋布置，圖4中B10斜拉附近設(shè)置有輔助墩，可以看出，此處索力值較相鄰拉索更小。其主梁、主塔彎矩與優(yōu)化前的對比分別如圖5、圖6、圖7所示。由圖5、圖6可知：相較優(yōu)化前，邊跨混凝土梁的彎矩變化不大，但鋼主梁部分的彎矩有明顯改善，其彎矩極值由7.63×104 kN·m減小至4.95×104 kN·m，并且各截面彎矩分布均勻。 由圖7可知，優(yōu)化后的主塔彎矩極值明顯降低，受力更合理，上塔柱最大彎矩由1.04×105 kN·m減小至7.11×104 kN·m，下塔柱彎矩極值由1.21×105 kN·m減小至5.77×104 kN·m。

3.4 與單目標(biāo)PSO算法優(yōu)化結(jié)果對比

將該算法中的目標(biāo)函數(shù)僅選取主梁、主塔彎曲應(yīng)變能之和，得到帶約束的單目標(biāo)PSO優(yōu)化算法結(jié)果。MOPSO算法優(yōu)化結(jié)果與之對比見表3。

由表3可知，雖然單目標(biāo)PSO優(yōu)化算法搜索到了更小的彎曲應(yīng)變能，但沒有照顧到主塔的成橋線形，其成橋塔偏值達(dá)到了53 mm，與MOPSO算法優(yōu)化結(jié)果差別明顯。由此說明了該方法相對單目標(biāo)優(yōu)化方法的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

基于MOPSO優(yōu)化算法，考慮多優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和多約束條件，提出一種斜拉橋索力優(yōu)化方法，確定了斜拉橋合理施工狀態(tài)及合理成橋狀態(tài)。以一座非對稱混合梁獨(dú)塔斜拉橋?yàn)槔M(jìn)行試算，得到如下結(jié)論：

1）MOPSO算法基于隨機(jī)搜尋思想，對目標(biāo)函數(shù)沒有連續(xù)性、可導(dǎo)性等要求，在PSO算法的基礎(chǔ)上，通過增加外部儲備集保存迭代過程中出現(xiàn)的非劣解，采取適當(dāng)?shù)母虏呗愿旅看蔚械膫€體引導(dǎo)者、全局引導(dǎo)者以及外部儲備集來解決多目標(biāo)索力優(yōu)化問題。

2）在以結(jié)構(gòu)塔梁彎曲應(yīng)變能和主塔成橋線形為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，以施工過程及成橋后結(jié)構(gòu)處于安全狀態(tài)和索力總體分布均勻作為約束條件的索力優(yōu)化問題中，MOPSO算法搜尋得到的Pareto最優(yōu)解集可供決策者進(jìn)一步篩選，較僅考慮塔梁彎曲應(yīng)變能的單目標(biāo)PSO優(yōu)化算法所得到的單一解更全面合理。

3）除了適用于斜拉橋成橋狀態(tài)索力的確定外，該方法也適用于斜拉橋設(shè)計計算中可能出現(xiàn)的多次調(diào)索索力優(yōu)化問題和梁拱組合體系吊桿的張拉力確定問題。

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