類比法在初中數(shù)學解題中的應(yīng)用

查書平

[摘 ?要] 初中階段的數(shù)學知識比小學更加復雜與深奧，所以很多學生表現(xiàn)出學習困難的問題. 基于此，文章立足于初中數(shù)學教學，分析了類比法的基本內(nèi)容，通過各類中考數(shù)學案例，研究了類比法在初中數(shù)學解題中的具體應(yīng)用形式.

[關(guān)鍵詞] 類比法;初中數(shù)學;解題

類比法可以說是一種應(yīng)用價值較高的邏輯方法，在數(shù)學教學中的應(yīng)用較為廣泛，一直都是教師主要的教學手段之一. 但是就目前初中數(shù)學教學情況而言，類比法的應(yīng)用通常集中于數(shù)學基礎(chǔ)知識教學，如各類數(shù)學概念的類比，在解題中的滲透并不常見，這對于提升學生解題效率、開拓學生思維而言，十分不利.

數(shù)和形的類比

在數(shù)學教學中，數(shù)和形之間的聯(lián)系十分緊密，很多問題都需要在數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)換中得到最終答案，并且很多教師與學生都將數(shù)和形的結(jié)合作為主要的教學方法以及解題方法. 而對于數(shù)學問題的解決而言，數(shù)和形的類比應(yīng)用就更加重要了.

例題1 求+的最小值.

此例題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合類比方法解決時可以降低運算難度，具體做法如下.

因為算式中的兩個數(shù)值均為根號形式，所以可以用線段圖形以及三角形的方法對算式進行表示，最終表示為圖1.

這樣，原來的已知條件以及問題就可以改變?yōu)椋阂阎狟D=8，點C在BD上，過點B在直線BD上方作BA⊥BD，且BA=1，過點D在直線BD下方作DE⊥BD，且DE=5，連接AC，CE. 設(shè)BC=x，則CD=8-x. 于是+的值就是AC+CE的值. 所以當A，C，E三點共線時，AC+CE的值最小，且最小值為AE的長.

講解完上述例題之后，教師可以給出相同類型的試題讓學生練習，以進行知識鞏固，如下面的練習題.

練習題 求+的最小值.

分析 在數(shù)形結(jié)合的類比教學中，原有的代數(shù)式是一個算式，而轉(zhuǎn)變成圖形之后，其實就是求兩條線段和的最小值，這樣，解題難度下降了很多，學生理解起來也更加容易. 之后計算+的最小值時，所有的學生都可以自行解決. 以后，再遇到相同類型的問題時，學生便可以從容應(yīng)對了.

類似圖形的類比

類似圖形的類比方法其實也可以稱之為類似知識點的類比. 通過類似知識點的綜合對比分析，學生可以在短時間內(nèi)找到問題的突破口，并形成相同類型問題的快速解題思維.

例題2 （1）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB邊上一動點，F(xiàn)在邊BC上，且∠DEF=90°. ①求證：△ADE∽△BEF;②已知AB=4，AE=x，BF=y，求y取得最大值時x的值.

（2）如圖3，△ABC是邊長為6的等邊三角形，D，E分別是BC，AC邊上的兩個動點，且∠ADE=60°. ①如果DC=x，AE=y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;②當y取得最小值時，請說出△AED的形狀.

分析 上述兩道小題雖然已知條件不同，圖形也存在一定的差異，但在問題求解思路上仍然存在相同之處. 例如，無論是正方形還是三角形，底邊都有一個動點，而與動點所構(gòu)成的三個角也都存在于底邊，這樣就為證明相似三角形提供了基礎(chǔ)條件. 證明相似之后，便可以應(yīng)用相似三角形邊與邊之間的關(guān)系求得最終答案.

從簡單到復雜的類比

例題3 （1）如圖4，△DOC與△OAB均是等邊三角形，且DO=OA，D，O，A三點共線，連接DB與AC交于點E，連接BC，求∠AEB的度數(shù).

（2）如圖5，△DOC與△OAB均是等邊三角形，且DO=OA，連接DB與AC交于點E，連接BC，求∠AEB的度數(shù).

例題4 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D為△ABC斜邊上的中點，E，F(xiàn)分別在直線AB和AC上，且BE=AF.

（1）若E，F(xiàn)分別在線段AB和AC上，如圖6，求證：△DEF為等腰直角三角形;

（2）若E為線段AB延長線上一點，F(xiàn)為線段CA延長線上一點，如圖7，求證：△DEF為等腰直角三角形.

分析 上述兩道例題一共四個小問，

通過分析不難發(fā)現(xiàn)，每道例題中的第一小問都較為簡單，且第一小問與第二小問所用的證明方法沒有太大的出入. 例如，在例題4中，雖然已知條件不同，但第一小問需要證明三角形全等，第二小問同樣需要證明三角形全等. 盡管圖形復雜了，但算法并沒有發(fā)生改變. 這便是類比教學方法應(yīng)用過程中，教師想要達到的教學成果. 其目的并非為了解題，而是幫助學生從不同的角度看待問題，且理解問題的真正內(nèi)涵，這樣，學生在計算過程中就可以節(jié)省更多的時間.

解題規(guī)律的類比

每一道習題都是為了考查相應(yīng)的知識點，所以教師應(yīng)該讓學生理解不同問題中所包含的相同性質(zhì)，這樣學生才能真正看懂、看透問題.

例題5 若（x+y）2+x-3=0，求xy的值.

例題6 若+m-2+（n-3）2=0，求pmn的值.

分析 對于例題5，無論是平方還是絕對值，都無法等于負數(shù)，所以只有當（x+y）2=0，x-3=0時，等式才成立. 這樣，x與y的值就可以確定了，xy的值也隨之確定. 例題6在例題5的基礎(chǔ)之上增加了一個新的式子，即，根據(jù)算術(shù)平方根的定義，可知的值不能為負數(shù)，再結(jié)合例題5的解題思路，便可以求出p，m，n的值，于是可求出pmn的值.

歸納為同一題型的類比

同一題型的類比分析可以說是教師最為常用的一種類比形式，簡單而言，出現(xiàn)的兩道題多數(shù)都是“換湯不換藥”.

例題7 如圖8，現(xiàn)有A，B兩個村莊，打算在河邊（直線a）修建一個水泵廠，問：水泵廠具體位置設(shè)置在哪里，才能使水泵廠距離兩個村莊的距離最短？

例題8 如圖9，在正方形ABCD中，AB=4，E是AB的中點，P是線段AC上一點，求△PBE周長的最小值.

分析 通過分析可以發(fā)現(xiàn)，兩個問題其實可以劃歸為一種問題——最短路徑問題. 在例題7中，最短路徑可以應(yīng)用對稱的方法確定點B關(guān)于直線a的對稱點B′;在例題8中，只不過將河換作直線AC，根據(jù)正方形的性質(zhì)，我們同樣可以在線段AD上找到點E的對稱點E′，這樣就可以確定點P的位置，從而求出△PBE的最小周長了.

使用類比要注意的問題

1. 對類比的結(jié)論能進行辯證處理

因為使用類比有“或然性”，屬于“合情推理”：或者正確，或者不正確，或者不完全正確，所以教學時應(yīng)明確告訴學生類比有可能失敗.

2. 類比可以從多方面進行

類比法的應(yīng)用并非固定幾種形式，日常教學中，教師不能僅僅局限于某一種方法或形式，可以多種類比，多方位、多角度，從條件、結(jié)論、圖形、方法、規(guī)律等方面進行類比.

3. 正確應(yīng)用類比法

教師在日常教學過程中，應(yīng)立足于教材以及各類習題，通過深度挖掘這些輔助教學資源，確定類比法得以正確應(yīng)用，不然將會適得其反.

結(jié)論

綜上所述，類比法的應(yīng)用可以進一步提高學生的解題效率，且可以讓學生將題目與知識聯(lián)系起來進行綜合考慮，既提高學生的知識記憶能力，又完成相似類型習題的訓練，這對于學生成績的提高十分重要. 因此，教師應(yīng)該整合教學內(nèi)容，做好類比教學設(shè)計，讓學生在學習過程中完成思維能力的培養(yǎng).