素養(yǎng)導(dǎo)向下一道中考試題的解法探究

朱紹永

[摘 ?要] 中考試題是命題組成員集體智慧的結(jié)晶，既要考慮到對數(shù)學(xué)人才的選拔，也要考慮到讓絕大多數(shù)學(xué)生能順利通過畢業(yè)考試，所以每道試題都是精心打造的，值得一線教師深入研究、審視和評價，一題多解就是在實現(xiàn)從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變的一個方面的體現(xiàn). 文章基于2019年安徽中考數(shù)學(xué)第20題第（1）問為例，在對全等三角形每種解法進(jìn)行探索的基礎(chǔ)上，就如何培養(yǎng)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生多角度思維做一些理性的思考.

[關(guān)鍵詞] 三線八角;建模;全等三角形;核心素養(yǎng)

試題及出處

（2019年安徽中考第20題）如圖1，點E在平行四邊形ABCD內(nèi)部，AF∥BE，DF∥CE.

（1）求證：△BCE≌△ADF.

（2）設(shè)平行四邊形ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，求的值.

試題評價

本題圖形簡潔，背景熟悉，設(shè)計巧妙，難易適中，面向全體學(xué)生，屬于中檔題.

所含基本知識點：三角形內(nèi)角和定理的推論，平行線的性質(zhì)，三線八角，全等三角形ASA或AAS定理，平行四邊形的性質(zhì).

所含思維方法：建模，轉(zhuǎn)化.

總體解題思路：由平行四邊形ABCD一組對邊AD與BC相等，再通過ASA或AAS來證明兩個三角形全等.

試題解法探究

（略去標(biāo)準(zhǔn)答案之外的解法，僅對第（1）問解法做探討）

四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD =BC，以下各種證法都用到此結(jié)論，不再一一證明.

方法一：延長BE交AD于點G，如圖2.

因為AD∥BC，所以∠GBC =∠AGB，因為AF∥BG，所以∠FAD =∠AGB，所以∠FAG =∠GBC，同理可得∠FDA =∠ECB. 又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題的思路來源于一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角必然相等或互補(bǔ).

由于∠FAD與∠EBC沒有截線，所以必須通過第三個角作為“紅媒”牽線搭橋，這樣延長BE與AD相交這種輔助線的作法也就自然而然地形成了.

方法二：連接FE并延長交AD于點G，交BC于點H，如圖3.

因為AF∥BE，所以∠AFG =∠BEH，因為AD∥BC，所以∠AGE =∠EHC，所以∠AGE -∠AFG =∠EHC -∠BEH，即∠FAD =∠EBC. 同理可得∠FDA =∠ECB，又AD=BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法思路源于FA∥EB，AD∥BC，能否通過平移的方法來比較兩角的大小，于是想到作射線FH，利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的推論來證明.

方法三：延長BA，如圖4.

因為AD∥BC，所以∠GAD =∠ABC，因為AF∥BE，所以∠GAF =∠ABE，所以∠GAD -∠GAF =∠ABC -∠ABE，即∠FAD =∠EBC. 同理可得∠FDA =∠ECB，又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法思路源于∠FDA =∠EBC，缺少截線證明同位角相等，于是作射線BA，構(gòu)造出三線八角，利用同位角相等及等式性質(zhì)證明之.

方法四：如圖1，因為AF∥BE，所以∠FAB +∠ABE =180°，因為AD∥BC，所以∠DAB +∠ABC =180°，所以∠FAB +∠ABE =∠DAB +∠ABC，所以∠FAB -∠DAB =∠ABC -∠ABE，即∠FAD =∠EBC. 同理可證∠FDA =∠ECB，又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法思路源于不少同學(xué)一遇到作輔助線就有恐懼感，盡管是一些常規(guī)的輔助線，鑒于此，思考能否不通過作輔助線證明∠FAD =∠EBC呢？所以利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)證之.

方法五：過點E作直線GH∥BC，交AB于點G，交CD于點H，則AD∥GH，如圖5.

因為AF∥BE，所以∠FAE =∠AEB，因為AD∥GH，所以∠DAE =∠AEG，所以∠FAE -∠DAE =∠AEB -∠AEG，即∠FAD =∠BEG. 因為GH∥BC，所以∠EBC =∠BEG，所以∠FAD =∠EBC，同理可證∠FDA =∠ECB，又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法思路源于構(gòu)造一組平行線，通過內(nèi)錯角相等、等量代換來證明∠FAD =∠EBC.

方法六：延長BE交AD于點G，交DF于點H，如圖6.

因為CE∥DF，所以∠BEC =∠EHD. 因為BE∥AF，所以∠AFD =∠EHD. 所以∠BEC =∠AFD. 因為AD∥BC，所以∠EBC =∠AGB. 因為AF∥BE，所以∠FAD =∠AGB. 所以∠EBC =∠FAD. 又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本題證法源于AF∥BE，CE∥DF，能否通過一條截線引用平行線性質(zhì)證明兩個角相等來個一箭雙雕呢？之后通過AAS證之.

教學(xué)導(dǎo)向

1. 注重模型的講解

每一個數(shù)學(xué)知識和方法的教學(xué)都可以是一種基本的“數(shù)學(xué)模型”的教學(xué)，但在具體教學(xué)中教師還需要加強(qiáng)學(xué)生對“析?！蹦芰Φ呐囵B(yǎng).

本題中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)就是一種“模型”套用的成功案例，但是圖中沒有明顯的截線，那么可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線來“牽線搭橋”，起著“紅媒月老”成人之美的作用. 否則，機(jī)械地“套?！睍斐蓪W(xué)生強(qiáng)記硬背，食而不化，造成思維僵化就得不償失了. 在本題中除第四種解法沒有添加輔助線外，其余各種解法的前提都是構(gòu)造第二個模型“三線八角”，將∠FAD與∠EBC聯(lián)系起來.

2. 加強(qiáng)建模訓(xùn)練 ，培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型的能力

建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)解決實際問題的前提，建立數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵一步.解應(yīng)用題，特別是解綜合性較強(qiáng)的應(yīng)用題的過程，實際上就是構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型的過程.在教學(xué)中，我們可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選編一些學(xué)生熟知的問題對學(xué)生進(jìn)行建模訓(xùn)練，也可結(jié)合學(xué)生熟悉的生活、生產(chǎn)、科技和當(dāng)前商品經(jīng)濟(jì)中的一些實際問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、 分析、抽象、概括為數(shù)學(xué)模型來培養(yǎng)學(xué)生的建模能力. 并盡可能地創(chuàng)造條件，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實際問題. 在教學(xué)中可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，組織學(xué)生參加社會實踐活動，為學(xué)生營造運(yùn)用數(shù)學(xué)的環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生親手操作，如測量、市場調(diào)查和分析、企業(yè)成本和利潤的核算、春運(yùn)客流量統(tǒng)計購票問題等，把學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)結(jié)合起來，使學(xué)生在實踐中體驗用數(shù)學(xué)的快樂，學(xué)會用數(shù)學(xué)解決問題. 所以，在以后的教學(xué)中，要以基礎(chǔ)知識和基本方法為重點，以理解為核心，以知識生長為目的，使學(xué)生思維得到發(fā)展，智慧得以生成，綜合素質(zhì)得以提升，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以培養(yǎng).

3. 注重數(shù)學(xué)思想，凸顯核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最核心的內(nèi)容，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最有生命力的存在，是當(dāng)我們把其他數(shù)學(xué)知識或方法遺忘之后還依然保留的數(shù)學(xué)思維方式. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，需要教師在教學(xué)中不斷滲透，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，將其深入到學(xué)生的靈魂深處，這樣才能讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)，從而提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本題的第（1）問，在多種解法的前提下，不外乎三線八角、一題多解、多解歸一. 所以，我們作為一線教師在平時的教學(xué)中就要養(yǎng)成研究中考試題、學(xué)教解題的習(xí)慣，要讓學(xué)生明白為什么這樣去思考，在做這道題時怎樣想的，有沒有走岔了、想歪了，在“走投無路”的情況下是否知道改變思路.

中考結(jié)束后就有學(xué)生問：能否連接EF，證四邊形ABEF為平行四邊形？當(dāng)然證不出來，好在他及時改變思維方法用全等證明. 這就不僅僅是要求畢業(yè)班教師要注重從不同方向培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，每個年級的教師在平時的教學(xué)時都要做到這一點. 就好比有人總抱怨小學(xué)教不好怪學(xué)前班老師，初中教不好責(zé)怪小學(xué)底子沒打好，高中老師抱怨初中老師沒有輸送好生源. 其實，若每個階段在教學(xué)數(shù)學(xué)知識的同時，側(cè)重對學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，何愁沒有好生源，何愁學(xué)生的素養(yǎng)得不到提高？