例析求向量c=xa+yb中系數(shù)x、y的范圍

(指導(dǎo)老師：段佳旺)

圖1

引例如圖1,在△ABC中,點(diǎn)P是 邊AC,BC的延長(zhǎng)線CD,CE所夾的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn),已知試求2x+3y的取值范圍。

一、對(duì)向量定理c=xa+yb 的基本認(rèn)識(shí)

圖2

例如：如圖2,平面內(nèi)兩條相交直線OA,OB將該平面分割成1、2、3、4四個(gè)部分,設(shè)且點(diǎn)P落在第3部分,則實(shí)數(shù)m,n的符號(hào)應(yīng)該是___。

圖3

分析：如圖3,過點(diǎn)P引OA,OB所在直線的平行線PB1,PA1分別交OB,OA所在直線于B1,A1兩點(diǎn),則由得m＞0,由得n＜0。

二、引例的一個(gè)錯(cuò)誤解法

圖4

基于對(duì)向量定理的基本認(rèn)識(shí),部分同學(xué)會(huì)按圖4作圖。由于點(diǎn)P在可行域內(nèi)的任意 性,得中的數(shù)x、y的范圍應(yīng)該是x≤0且y≥1,從而推導(dǎo)出2x+3y的取值范圍是R。

這個(gè)解法好像正確,其實(shí)只是注意了x、y的來源與幾何意義,而忽略了x、y的內(nèi)在關(guān)系,也就是x≤0 且y≥1 的范圍是沒有錯(cuò),只是大了一點(diǎn),不是一個(gè)精準(zhǔn)的范圍。

逆向思維：基向量為,且總是滿足x≤0,y≥1,試判斷點(diǎn)P所在的范圍。

圖5

圖5 中的陰影部分就是上面問題點(diǎn)P的區(qū)域(包括邊界),顯然覆蓋了圖4 中的陰影區(qū)域。說明不結(jié)合x、y之間的聯(lián)系得到的結(jié)論是不精準(zhǔn)的。

三、引例正確的解法

四、引例的一個(gè)極致解法

圖6

如圖6,在直角坐標(biāo)平面上的△ABC中是正交的單位向量,則問題的中有序數(shù)對(duì)(x,y)就是終點(diǎn)P的坐標(biāo)了。由圖可以很輕松地得出點(diǎn)P(x,y)滿足的約束條件是x≤0 且x+y≥1,目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y,z的取值范圍是[3,+∞)。