基于刺激反應(yīng)車(chē)輛跟馳模型的交通流穩(wěn)定性分析

岳永恒 肖凌云 吳凱麗 張繼鶴 陳旭亮

摘 要：車(chē)輛相互跟馳的交通流波動(dòng)特性不僅容易引發(fā)交通事故，也是導(dǎo)致道路通行效率降低或交通擁堵的重要原因之一。因此，本文以車(chē)輛跟馳模型為切入點(diǎn)，建立刺激反應(yīng)車(chē)輛跟馳模型的控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并進(jìn)行拉普拉斯變換，發(fā)現(xiàn)控制系統(tǒng)特征方程為具有駕駛員敏感性參數(shù)依賴(lài)的超越方程，應(yīng)用零點(diǎn)定理確定控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征方程根分布狀態(tài)，進(jìn)而獲得駕駛員敏感性參數(shù)的取值范圍。數(shù)值仿真結(jié)果表明：本文所求的駕駛員敏感性參數(shù)取值范圍，在微觀層面上保證了車(chē)輛跟馳系統(tǒng)的穩(wěn)定性，宏觀上保證了交通流運(yùn)行的平穩(wěn)性及快速性，客觀上降低了交通流的波動(dòng)性，提高了道路通行效率。

關(guān)鍵詞：刺激反應(yīng)車(chē)輛跟馳模型;敏感性參數(shù)，特征方程，交通流;穩(wěn)定性

Abstract：The traffic flow fluctuation caused by vehicles following each other is not only easy to cause traffic accidents， but also one of the important reasons for the reduction of road traffic efficiency or traffic congestion. Therefore， in this paper， the transfer function of the control system of the vehicle-following model with stimulus-response is established， and then Laplace transform of the transfer function is applied. It is found that the characteristic equation of the control system is a transcendental equation with driver sensitive parameter dependence. The root distribution state of the characteristic equation is estimated to ensure the stability of the control system by using the zero point theorem， and then the range of the driver sensitivity parameters is obtained. The results of numerical simulation show that the range of driver sensitivity parameters obtained in this paper can not only guarantee the stability of vehicle-following system on the micro level， but also the stability and rapidity of traffic flow on the macro level， and reduces the traffic flow fluctuation objectively， and improves the traffic efficiency.

Keywords：Vehicle-following model with stimulus-response; sensitivity parameter; characteristic equation; traffic flow; stability

0 引言

隨著我國(guó)汽車(chē)保有量的持續(xù)增加，交通事故及交通擁堵現(xiàn)象已經(jīng)成為亟待解決的社會(huì)問(wèn)題。眾所周知，交通流的波動(dòng)特性是導(dǎo)致交通擁堵主要原因之一。根據(jù)交通流理論可知：微觀上車(chē)輛相互跟馳和相互影響積累效應(yīng)體現(xiàn)為道路交通流的宏觀特性。因此，為降低道路交通流的波動(dòng)特性，提高通行效率和解決交通擁堵問(wèn)題，以微觀層面上研究車(chē)輛跟馳特性成為研究該問(wèn)題的切入點(diǎn)。

車(chē)輛跟馳理論，首先由Brackstone等[1]在20世紀(jì)50年代初總結(jié)了前人研究成果，對(duì)車(chē)輛跟馳模型進(jìn)行了系統(tǒng)的分類(lèi)和研究，并提出了車(chē)輛跟馳模型基本思想。而后，Pipes[2]在理論上對(duì)跟馳模型的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了系統(tǒng)的研究;Chandler等[3]應(yīng)用實(shí)驗(yàn)法對(duì)GHR（Gazis-Herman-Rothery）跟馳模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，并對(duì)跟馳模型進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定和相關(guān)性分析。車(chē)輛跟馳模型的動(dòng)力學(xué)行為研究日趨成熟。在模型穩(wěn)定研究方面，Kikuchi等 [4]和Wilson[5]從數(shù)學(xué)和物理學(xué)角度分析和研究Gipps（車(chē)輛跟馳）模型穩(wěn)定性，并通過(guò)數(shù)值仿真進(jìn)行了驗(yàn)證;Wilson[5]不僅研究車(chē)輛跟馳模型穩(wěn)定性，也研究了模型能控性，并進(jìn)一步提出模型在宏觀層面上可保證交通流的平穩(wěn)性和快速性，這一研究工作具有里程碑的意義;王殿海等[6]提出研究跟馳模型的同時(shí)，更要關(guān)注車(chē)輛動(dòng)力學(xué)微觀行為與宏觀交通流現(xiàn)象的統(tǒng)一。楊達(dá)等 [7]在Gipps模型的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的Gipps模型，并使用NGSIM（Next generation simulation，美國(guó)聯(lián)邦高速公路管理局道路交通數(shù)據(jù)中心）的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)標(biāo)定，使得該模型具有更高的穩(wěn)定性;Jin等[8]進(jìn)一步研究了跟馳模型在不同交通狀態(tài)下的穩(wěn)定性。

綜上所述，交通工程領(lǐng)域內(nèi)專(zhuān)家十分關(guān)注車(chē)輛跟馳模型穩(wěn)定性的研究，并試圖在理論上或?qū)嶒?yàn)上，對(duì)模型進(jìn)行分析和參數(shù)標(biāo)定，以期獲得滿意的車(chē)輛跟弛結(jié)果。因此，本文以控制理論為基礎(chǔ)，對(duì)車(chē)輛跟馳理論中刺激反應(yīng)車(chē)輛跟弛模型進(jìn)行系統(tǒng)的理論分析，獲得駕駛員敏感性參數(shù)對(duì)模型穩(wěn)定性的影響。

1 刺激反應(yīng)車(chē)輛跟馳模型

車(chē)輛跟馳模型思想起源于20世紀(jì)50年代初期，發(fā)展了近60年。車(chē)輛跟馳的研究方向吸引了交通工程學(xué)、系統(tǒng)工程學(xué)、自動(dòng)控制和車(chē)輛工程等諸多領(lǐng)域?qū)＜壹皩W(xué)者進(jìn)行深入研究，并取得了豐碩的成果[9-13]。Chandler等[3]提出的RV（Relative Velocity Model，RV）模型被公認(rèn)為最早的刺激反應(yīng)模型，且成為跟馳模型的基本框架。刺激反應(yīng)車(chē)輛跟弛模型的基本思想是在車(chē)輛跟馳過(guò)程中，駕駛員刺激反應(yīng)來(lái)源于當(dāng)前車(chē)輛與其前車(chē)之間的速度差，經(jīng)過(guò)反應(yīng)延遲后，駕駛員以改變加速度作為對(duì)該刺激的反饋，反饋對(duì)刺激的敏感性程度用敏感系數(shù)來(lái)表示。其模型為：

為車(chē)輛n在t時(shí)刻的加速度;λ≥0為駕駛員敏感性參數(shù);τ為人體反應(yīng)時(shí)間0.75 s，是指駕駛員從接收到前方車(chē)輛刺激到整個(gè)操作過(guò)程結(jié)束的時(shí)間，大致包含兩部分：其一，駕駛員反應(yīng)決策時(shí)間，其二，車(chē)輛硬件設(shè)施對(duì)駕駛員指令和操作的傳遞時(shí)間。

刺激反應(yīng)車(chē)輛跟弛模型為跟弛理論研究中的經(jīng)典模型，因其理論分析較為困難，部分學(xué)者通過(guò)實(shí)驗(yàn)法對(duì)該模型中的敏感性參數(shù)進(jìn)行了標(biāo)定。然而，參數(shù)標(biāo)定后的車(chē)輛跟馳模型在某種情況下，其數(shù)值仿真結(jié)果出現(xiàn)了交通流波動(dòng)效應(yīng)，該現(xiàn)象一直困惑著交通領(lǐng)域內(nèi)專(zhuān)家。因此，本文針對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行理論分析與研究。

2 刺激反應(yīng)車(chē)輛跟馳模型穩(wěn)定性分析

將刺激反應(yīng)車(chē)輛跟弛反應(yīng)模型（1）改寫(xiě)為：

因此，部分學(xué)者通過(guò)數(shù)值仿真分析或?qū)嶒?yàn)法，確定控制參數(shù)λ的取值，以期望獲得良好的車(chē)輛跟弛特性，該方法即使獲得理想的控制品質(zhì)，卻不能在理論上給予一定的合理解釋。

2.1 刺激反應(yīng)車(chē)輛跟弛模型傳遞函數(shù)的研究

許多情況下，車(chē)輛跟馳模型中反饋控制策略公式（2），雖然能夠保證車(chē)輛跟馳特性，但有可能系統(tǒng)輸出信號(hào)不能有效地跟蹤輸入信號(hào)，即系統(tǒng)穩(wěn)定性可能收斂到極限環(huán)，而不能收斂到平衡點(diǎn)，宏觀上表現(xiàn)出交通流的波動(dòng)效應(yīng)。因此，應(yīng)用控制理論分析設(shè)計(jì)刺激反應(yīng)車(chē)輛跟弛模型的穩(wěn)定性，將獲得該模型中敏感性參數(shù)取值范圍。

為了便于分析問(wèn)題，選擇忽略車(chē)輛行駛速度及加速度所具有飽和特性，直接分析模型穩(wěn)定性與敏感性參數(shù)λ之間的關(guān)系。

對(duì)公式（2）進(jìn)行拉普拉斯變換得：

由圖 1可知，刺激反應(yīng)車(chē)輛跟馳模型控制系統(tǒng)的輸入量為前車(chē)速度vn-1（s），而跟隨車(chē)輛速度vn（s）為控制系數(shù)的輸出量，構(gòu)成閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，因此在理論上選擇恰當(dāng)?shù)鸟{駛員敏感性參數(shù)λ會(huì)使控制系統(tǒng)具有較好穩(wěn)定性。

2.2 刺激反應(yīng)車(chē)輛跟馳模型控制系統(tǒng)極點(diǎn)分析

車(chē)輛跟馳模型中特征方程（5）是具有參數(shù)λ依賴(lài)的超越方程，求解其特征方程的根比較難，所以不能用根軌跡法直接描述車(chē)輛跟馳控制系統(tǒng)極點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。但是，可用零點(diǎn)定理分析判斷跟馳模型中具有敏感性參數(shù)λ依賴(lài)的特征方程（5）根的分布范圍。

通過(guò)設(shè)定參數(shù)λ值，確定特征方程（5）根的分布，圖 2為應(yīng)用Matlab軟件求得具有敏感性參數(shù)依賴(lài)的車(chē)輛跟馳系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點(diǎn)分布狀態(tài)。

根據(jù)圖 2中一族超越方程函數(shù)曲線可知：隨著λ由0.1增大至0.45時(shí)，主極點(diǎn)逐漸遠(yuǎn)離虛軸，控制系統(tǒng)收斂速度快，但超調(diào)量可能會(huì)增加，因此綜合考慮反饋控制量參數(shù)（駕駛員敏感性系數(shù)）選擇λ=0.45。當(dāng)λ>0.5時(shí)，跟馳系統(tǒng)的特征方程無(wú)解，控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差非零，即使控制系統(tǒng)能保證車(chē)輛的跟馳特性，系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)跟蹤抖動(dòng)的現(xiàn)象，宏觀上表現(xiàn)為交通流具有波動(dòng)效應(yīng)，因此降低車(chē)輛通行效率。

3 數(shù)值仿真分析

結(jié)合實(shí)際情況，車(chē)輛的行駛速度和加速度將受到物理?xiàng)l件限制，不能任意取值。例如：車(chē)輛發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率及道路所能提供的最大附著力都將限制車(chē)輛獲得加速度，因此跟馳車(chē)輛的期望加速度有可能不能獲得，而僅僅獲得車(chē)輛所提供最接近期望加速度的次優(yōu)解。

對(duì)刺激反應(yīng)車(chē)輛跟弛模型仿真時(shí)間，應(yīng)考慮實(shí)際車(chē)輛加速性能的物理?xiàng)l件限制。因此，在程序中加上飽和約束條件，車(chē)輛行駛速度為0 ～ 35 m/s，車(chē)輛加速度為-6.4 ～6.4 m/s2。

當(dāng)λ=0.45時(shí)，圖3仿真結(jié)果說(shuō)明，車(chē)輛1速度由19 m/s減至8 m/s時(shí)運(yùn)行40 s，后減至0 m/s時(shí)，車(chē)輛2跟弛情況較為理想。由圖3可知，在非飽和約束條件，車(chē)輛2在5 s內(nèi)跟弛上車(chē)輛1的行駛速度，前后兩車(chē)速度幾乎無(wú)差別跟弛，未出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象。

由圖 4可見(jiàn)，大約5 s后，前后車(chē)輛之間距離幾乎沒(méi)有改變，說(shuō)明車(chē)輛1即使變速行駛時(shí)，跟隨車(chē)輛2也能有效跟弛。

圖5為前車(chē)由22 m/s加速行駛至33 m/s，車(chē)輛2速度為0 m/s時(shí)，跟弛車(chē)輛1的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。仿真結(jié)果表明：車(chē)輛2在加速度飽和約束條件下，10 s內(nèi)跟馳上車(chē)輛1的速度。

針對(duì)非自由流的交通流跟馳系統(tǒng)，容易出現(xiàn)交通流波動(dòng)現(xiàn)象。應(yīng)用本文設(shè)計(jì)的敏感性參數(shù)λ作為系統(tǒng)控制量，對(duì)12輛車(chē)進(jìn)行交通流的數(shù)值仿真，其仿真結(jié)果表明：在非飽和約束條件下，車(chē)輛在5 s內(nèi)將跟弛上前車(chē)的行駛速度，且車(chē)輛間位移保持不變，未出現(xiàn)波動(dòng)效應(yīng)，即交通流運(yùn)行狀態(tài)平穩(wěn)（圖 6和圖 7）。

4 結(jié)論

針對(duì)實(shí)驗(yàn)法或經(jīng)驗(yàn)法確定車(chē)輛跟馳模型系統(tǒng)中駕駛員敏感性參數(shù)的缺陷，提出了該模型系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件，并應(yīng)用零點(diǎn)定理分析求解出具有敏感性參數(shù)依賴(lài)的跟弛模型控制系統(tǒng)的極點(diǎn)分布范圍。數(shù)值仿真結(jié)果表明：微觀上車(chē)輛跟弛效果較好，宏觀上交通流運(yùn)行平穩(wěn)，通行效率較高。

【參 考 文 獻(xiàn)】

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