黃文文，宋 璐，史敬灼

(河南科技大學 電氣工程學院，河南 洛陽 471023)

0 引 言

迭代學習控制(Iterative Learning Control，ILC)在重復的運行過程中，基于過往記憶，采用迭代方法不斷修正其控制行為，使系統(tǒng)控制性能趨近期望。簡潔而有效的在線學習能力，使ILC能夠適應(yīng)不斷變化的被控對象[1]。文獻[2-3]嘗試將迭代學習控制策略應(yīng)用于超聲波電機，表明迭代學習控制策略適用于超聲波電機運動控制，但如何設(shè)計與超聲波電機運行特點相匹配的ILC控制策略，仍有待深入研究。

傳統(tǒng)的迭代學習控制，本質(zhì)上是一種沿迭代軸的閉環(huán)學習控制與沿時間軸的開環(huán)前饋控制相結(jié)合的控制策略，具有二維(2D)動態(tài)系統(tǒng)的典型特征，應(yīng)采用2D系統(tǒng)理論進行分析與設(shè)計。另一方面，如何使ILC在沿迭代軸快速收斂的同時，兼顧沿時間軸的控制穩(wěn)定性，并得到良好的電機控制性能，是ILC控制策略設(shè)計中需要解決的關(guān)鍵問題。將沿時間軸的反饋控制方法和沿迭代軸的迭代學習控制相結(jié)合，是解決上述問題的一種可行思路。作為一種沿時間軸的反饋控制策略，多步預測自校正控制以自回歸滑動平均模型為基礎(chǔ)，采用多步預測、滾動優(yōu)化方法[4]，使其具有較好的控制性能。

本文基于2D系統(tǒng)理論，針對超聲波電機運動控制需要，研究多步預測自校正控制與迭代學習控制相結(jié)合的具體方法。通過引入包含控制量差分項的迭代學習控制器形式，設(shè)計包含前次控制過程信息的2D優(yōu)化目標函數(shù)，嘗試將迭代學習融入多步預測控制?；?D多步預測模型，對目標函數(shù)進行優(yōu)化，推導出多步預測迭代學習控制律。仿真和實驗表明，所提控制策略及其設(shè)計方法有效，超聲波電機轉(zhuǎn)速控制表現(xiàn)出漸進的學習控制過程，控制效果良好。

1 多步預測迭代學習控制器設(shè)計

考慮由如下受控自回歸積分滑動平均模型(CARIMA)描述的重復過程

(1)

(2)

針對模型式(1)描述的重復過程，給出如下形式的迭代學習控制律

uk(i)=uk-1(i)+uk(i-1)-uk-1(i-1)+rk(i),u0(i)=0,i=-1,0,1,…,T

(3)

式中，rk(i)為迭代更新律，u0(i)為控制量初始值。

該控制律基于i時刻的前次控制量和i-1時刻的控制量變化量，得到第k次迭代控制過程中i時刻的控制量。

式(3)亦可寫為如下形式:

Δt(uk(i))=Δt(uk-1(i))+rk(i)

(4)

或

Δk(uk(i))=Δk(uk(i-1))+rk(i)

(5)

其中，Δk(f(k,i))=f(k,i)-f(k-1,i)?？梢?，該控制律同時包含沿時間軸和沿迭代軸的控制進程。

將式(4)代入式(1)，得2D輸入輸出模型

(6)

將式中rk(i)，yk(i)和Δk(wk(i))分別看作輸入、輸出和擾動，則上述2D模型的輸出取決于時間軸和迭代軸的輸入輸出信息。

下面采用多步預測自校正控制方法來設(shè)計更新律rk(i)?；谀Ｐ褪?6)，設(shè)計如下控制目標函數(shù)

J(i,k,n1,n2)=

γ(l)(Δk(uk(i+l)))2)

(7)

需指出的是，與多步預測自校正控制策略通常采用的目標函數(shù)不同，式(8)所示目標函數(shù)不僅增加了rk(i)項以限制其變化量，并且包含了Δk(uk(i))項，有利于保證沿迭代軸的收斂穩(wěn)定性。而包含Δt(uk(i))項，不僅使得沿時間軸的控制性能可調(diào)節(jié)，而且在必要時，還可用來抑制uk(i)沿時間軸的變化量以防止不穩(wěn)定逆動態(tài)系統(tǒng)的沿時間軸控制發(fā)散問題。

為得到良好的電機控制性能，需設(shè)計合適的β(l)、γ(l)值，使控制量沿迭代軸和時間軸均有合理的變化，兼顧2D控制性能。若β(l)較小，控制量沿時間軸的變化量較大，可獲得較快的響應(yīng)速度，但對模型失配等擾動的魯棒性會變差，對噪聲更敏感。若γ(l)較小，則控制量沿迭代軸的變化量較大，沿迭代軸的學習收斂較快，但對非重復性擾動的魯棒性差。

由模型式(6)，在任意時刻i，系統(tǒng)的輸入輸出信息可分為已知和未知兩部分

(8)

其中,

可見，A2為非奇異矩陣。由式(8)可得

(9)

(10)

其中,

(11)

(12)

(13)

模型(10)適用于n1=n2的情況。當n1>n2時，有rk(i+j)=0，j=n2,…,n1-1,則矩陣G的最后n1-n2行將不存在，2D預測模型可寫為

(14)

目標函數(shù)(7)可寫為如下矩陣形式

(15)

為使目標函數(shù)式(15)最小化，給出如下關(guān)系式

(16)

(17)

其中,

結(jié)合式(15)、式(16)和式(17)，可得如下廣義2D預測模型

(18)

其中,

根據(jù)上述預測模型，可得

(19)

取目標函數(shù)對rk(i)的偏微分，并令其為0，即

(20)

可得使目標函數(shù)式(15)取極小值的控制律為

(21)

即

(22)

令K1和K2分別表示下列矩陣的第一行元素

(R+GTQG+S+VTTV)-1GTQ-(R+GTQG+S+VTTV)-1S

令K3為矩陣-(R+GTQG+S+VTTV)-1VTTV的第一個元素，則可得控制更新律

(23)

2 超聲波電機多步預測迭代學習轉(zhuǎn)速控制策略設(shè)計

采用文獻[5]所建超聲波電機系統(tǒng)Hammerstein模型進行控制器設(shè)計與仿真分析。超聲波電機系統(tǒng)Hammerstein模型線性動態(tài)環(huán)節(jié)為

(24)

將上述模型轉(zhuǎn)化為CARIMA模型，可得

(25)

考慮式(2)，可知n=5、m=2。取預測步數(shù)n1=4、控制步數(shù)n2=1。嘗試不同的取值，根據(jù)所得轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)仿真結(jié)果確定合適的Q、S、T和R值。仿真過程表明，減小Q可使響應(yīng)減慢，減小T值可加快學習收斂，減小S可使時域響應(yīng)加快，而增大R可限制控制量的變化。通過不斷調(diào)整這些參數(shù)值，確定Q=diag{1.3,1.3,1.3,1.3}、S=7、T=8、R=10。據(jù)此進行控制器設(shè)計，得控制參數(shù)值分別為K1=[0.0367,0.0403,0.0414,0.0405]、K2=-0.2403、K3=-0.2746，對應(yīng)的階躍響應(yīng)仿真曲線如圖1和2所示?？梢娹D(zhuǎn)速階躍響應(yīng)無超調(diào)，且隨著迭代學習的進行，調(diào)節(jié)時間持續(xù)較小，符合期望。

圖1 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(30r/min)

圖2 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(90r/min)

3 超聲波電機多步預測迭代學習轉(zhuǎn)速控制實驗研究

編寫DSP程序?qū)崿F(xiàn)上述多步預測迭代學習轉(zhuǎn)速控制器，對超聲波電機轉(zhuǎn)速控制性能進行實驗研究。實驗用電機為Shinsei USR60型兩相行波超聲波電機，額定轉(zhuǎn)速范圍0～120 r/min。電機同軸剛性連接光電編碼器，以測量電機轉(zhuǎn)速構(gòu)成轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制。

采用前述設(shè)計所得控制參數(shù)值進行轉(zhuǎn)速控制實驗，得到轉(zhuǎn)速階躍給定值為30 r/min情況下的實驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實測, 30 r/min)

實驗結(jié)果與仿真結(jié)果接近。由圖3可知，轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線逐漸趨于給定值，無超調(diào)。隨著迭代學習的進行，調(diào)節(jié)時間持續(xù)較小，從起始的0.3930 s減為第六次迭代時的0.0917 s，減小幅度為76.67%，表明所述迭代學習控制策略有效。

圖4給出了轉(zhuǎn)速階躍給定值90 r/min的實驗結(jié)果，所用控制參數(shù)的數(shù)值不變。

圖4 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實測, 90 r/min)

表1給出了對應(yīng)的控制性能指標數(shù)據(jù)?？梢钥闯觯D(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線仍然平穩(wěn)趨近給定值，無超調(diào)，且隨著迭代的進行，調(diào)節(jié)時間不斷減小，表明所述多步預測迭代學習控制策略適用于不同轉(zhuǎn)速。

表1 多步預測迭代學習控制性能指標(90 r/min)

4 結(jié) 語

針對超聲波電機的運行特點，將迭代學習控制與多步預測自校正控制相結(jié)合，給出一種超聲波電機多步預測迭代學習轉(zhuǎn)速控制策略。仿真和實驗結(jié)果表明，通過在控制目標函數(shù)中引入迭代控制項，并設(shè)計與多步預測模型相符的迭代學習控制律形式，可以將迭代學習控制與多步預測、滾動優(yōu)化思想有機融合，構(gòu)造多步預測迭代學習控制律，從而兼顧時間軸、迭代軸的二維系統(tǒng)性能，得到良好的電機轉(zhuǎn)速控制性能。