廣東省廣州市鐵一中學(xué) (510600) 何重飛華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (510631) 吳 康
豐富繁雜的平面幾何世界,有一些命題或者結(jié)論及其模型簡(jiǎn)潔明了,但在解題應(yīng)用當(dāng)中卻是一把利器,正所謂“小結(jié)論,大應(yīng)用”.下面筆者介紹一個(gè)涉及三角形邊角關(guān)系的“邊分比”性質(zhì),并對(duì)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用及其推廣加以舉例探究.
圖1
利用上述“邊分比”性質(zhì)或其推論可以證明平面幾何中的多個(gè)經(jīng)典定理.
圖2
圖3
例4 (萊莫恩定理)過ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C作它的外接圓的切線,分別和BC,CA,BA的延長(zhǎng)線交于P,Q,R,則P,Q,R三點(diǎn)共線.
圖4
圖5
例5 (西姆松定理)三角形外接圓上任意一點(diǎn)在三邊(或所在直線)上的射影共線.
例6 (笛沙格定理)若兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線交于一點(diǎn),則對(duì)應(yīng)邊所在直線的交點(diǎn)必共線.
圖6
利用“邊分比”性質(zhì)或其推論也可以推廣平面幾何中的經(jīng)典定理.
例7 (塞瓦定理在平面偶數(shù)邊形中的推廣)在平面2n(n≥2)邊形A1A2…A2n中,已知B1,B2,…,B2n分別是線段A1A2,A2A3,…,A2nA1上的點(diǎn),且A1An+1,A2An+2,…,AnA2n,B1Bn+1,B2Bn+2,…,BnB2n交于點(diǎn)O,則有:
(塞瓦定理在平面奇數(shù)邊形的推廣)在平面2n-1(n≥2)邊形A1A2…A2n-1中,已知B1,B2,…,B2n-1分別是線段A1A2,A2A3,…,A2n-1A1上的點(diǎn),且A1Bn,A2Bn+1,…,AnB2n-1,An+1B1,An+2B2,…,A2n-1·Bn-1交于點(diǎn)O,則有:
此推廣命題的證明與偶數(shù)邊形命題推廣類似,留給感興趣的讀者完成.
根據(jù)上述推廣知,平面四邊形及五邊形中有:
(平面四邊形中的塞瓦定理)如圖7,在四邊形ABCD中,AC交BD于點(diǎn)O,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA邊上的點(diǎn),且EG,FH交于點(diǎn)O,則有:
圖7
圖8
(平面五邊形中的塞瓦定理推廣)如圖8,在五邊形ABCDE中,F(xiàn),G,H,I,J分別是線段AB,BC,CD,DE,EF上的點(diǎn),且AH,BI,CJ,DF,EG交于點(diǎn)O,則有:
另外,“邊分比”性質(zhì)及其推論在解答各類競(jìng)賽題中的也是一把“好手”,應(yīng)用非常廣泛.
圖9
例8 (2018年山西省預(yù)賽)如圖9,圓內(nèi)接四邊形ABCD中,自AD的中點(diǎn)M,作MN⊥BC,ME⊥AB,MF⊥CD,N,E,F為垂足.證明:MN過線段EF的中點(diǎn).
例9 (“葉軍數(shù)學(xué)工作站”第78期問題研究A)如圖10,已知菱形ABCD中,∠BCD=60°,E是邊BC上的點(diǎn),∠FBC=∠EDC,求證:A,E,F三點(diǎn)共線.
圖10
證明:設(shè)∠FBC=
圖11
例10 (2017年陜西省預(yù)賽二試)如圖11,⊙O1與⊙O2相交于A,B兩點(diǎn),直線PQ是兩圓距離點(diǎn)B較近的公切線,且分別與⊙O1、⊙O2切于點(diǎn)P,Q.設(shè)QB,PB的延長(zhǎng)線分別交AP,AQ于點(diǎn)C,D,求證:AC·BC=AD·BD.
三角形“邊分比”性質(zhì)及推論簡(jiǎn)捷對(duì)稱,模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單優(yōu)美,對(duì)于一些涉及長(zhǎng)度、角度、三點(diǎn)共線等問題時(shí)可以考慮利用這一定理及推論來解決問題.定理的應(yīng)用十分廣泛,筆者水平有限以及限于篇幅,在此不再一一列舉,感興趣的讀者可以繼續(xù)探究.