判別式巧解一類最值問題例析

新疆烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (830026) 符強(qiáng)如

引例若正實(shí)數(shù)m,n滿足m+2n=3mn，求m+n的最小值

評(píng)注:引例的解法多樣，有的簡潔，有的繁瑣，但對(duì)一般學(xué)生而言都需要較強(qiáng)的技巧.我們可從學(xué)生最熟悉的二次方程的判別式來解決.

評(píng)注:判別式法是由等量關(guān)系得到不等關(guān)系的一個(gè)重要方法.若給定關(guān)于x、y的一個(gè)二次式，去求解另一個(gè)代數(shù)式的值或范圍，可令所求式子等于k，消去一個(gè)變量x(y)，得到一個(gè)關(guān)于y(x)的一元二次方程，根據(jù)題意其判別式大于等于零，即轉(zhuǎn)換成關(guān)于k的不等式，求解出k的值(范圍)即為所求值(范圍)，此方法可稱為k值代換法，其本質(zhì)就是“Δ判斷法”，即判別式法.

例1 若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值.

例2 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求a的最大值.

通過以上例題我們不難發(fā)現(xiàn)，通過二次方程的判別式方法來巧解這一類雙變量的最值問題，能簡化推理和運(yùn)算過程，具有簡捷、易想、明快的特點(diǎn)，彰顯了化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的威力.