數(shù)形巧妙結(jié)合 多角度破解一道向量問題

浙江省越州中學(xué) (312000) 劉立鋒

平面向量作為高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題，在各類考試中一直以方法多樣、思維各異、能力齊全的形式呈現(xiàn)出來．而在破解平面向量問題時(shí)，要合理利用其自身“形”的思維或“數(shù)”的因素，結(jié)合“形”的轉(zhuǎn)化或“數(shù)”的運(yùn)算來分析與處理，從而達(dá)到解決問題的目的．

1．問題呈現(xiàn)

此題以平面幾何為問題背景，借助平面向量的數(shù)量積與模的比值關(guān)系來確定相應(yīng)的取值范圍問題．破解的基本思維可以分為：正確識(shí)圖，借助平面向量的“形”的思維來處理——幾何角度解決；合理轉(zhuǎn)化，利用平面向量的“數(shù)”的運(yùn)算來解決——代數(shù)角度解決．

2．問題破解

破解視角一：幾何角度

方法1：數(shù)量積定義法

從平面幾何圖形角度切入，結(jié)合平面向量夾角的取值范圍，利用平面向量的數(shù)量積的定義加以合理轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定相應(yīng)的取值范圍．

圖2

解析：根據(jù)題目條件可知，點(diǎn)O在以AC為直徑的單位圓P上(實(shí)線部分，不包含直徑AC的兩端點(diǎn))，如圖2所示.

方法2：四點(diǎn)共圓法

從平面幾何圖形角度切入，結(jié)合四點(diǎn)共圓的判定以及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍來確定|OQ|的取值范圍，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積以及對(duì)應(yīng)幾何量的關(guān)系來轉(zhuǎn)化，從而得以確定相應(yīng)的取值范圍．

圖3

方法3：投影法

從平面幾何圖形角度切入，結(jié)合所求代數(shù)式的幾何意義，利用平面向量的投影，并結(jié)合平面幾何性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特殊來確定PH的最值，從而得以確定相應(yīng)的取值范圍．

圖4

解析：根據(jù)題目條件可知，點(diǎn)O在以AC為直徑的單位圓P上(實(shí)線部分，不包含直徑AC的兩端點(diǎn))，如圖4所示.

破解視角二：代數(shù)角度

方法4：坐標(biāo)法1

借助平面直角坐標(biāo)系的建立，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，從坐標(biāo)這一代數(shù)角度切入，并設(shè)出點(diǎn)O(x，y)，通過確定點(diǎn)O的軌跡方程，并利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及模的公式的應(yīng)用加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而化簡，并利用參數(shù)所滿足的條件來確定相應(yīng)的取值范圍．

圖5

解析：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖5所示，則A(2，0)，B(0，2)，P(1，0)，Q(1，1).

方法5：坐標(biāo)法2

圖6

解析：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OC所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖6所示.

破解視角三：特殊位置角度

方法6：特殊值法

圖7

解析：根據(jù)題目條件可知，點(diǎn)O在以AC為直徑的單位圓P上(實(shí)線部分，不包含直徑AC的兩端點(diǎn))，如圖7所示.

3．解后反思

破解平面幾何的相關(guān)問題，往往可以利用幾何角度、代數(shù)角度、特殊位置角度等不同思維切入，實(shí)質(zhì)就是充分利用平面向量的“形”的思維與“數(shù)”的因素，有針對(duì)性地從“形”與“數(shù)”的角度加以展開，正確做到“數(shù)”“形”結(jié)合，“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)化，達(dá)到多角度思維，多方法處理，從而養(yǎng)成學(xué)生各方面的思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．