李惠萍 徐盛 劉雙艷

提到復習課，老師們總覺得難上，為什么呢？通過對學生及教師的調查發(fā)現(xiàn)以下幾個原因：枯燥乏味沒興趣;題太多，作業(yè)多;學生已經會了，教師還在翻來覆去地講;學困生在復習課前后沒有太大的變化;題目外在的情境、形式不吸引孩子，內在的思維對學生沒有挑戰(zhàn)等。如何上好復習課？如何通過復習既對學過的知識進行查缺補漏，又能通過復習提高學生的數(shù)學學習興趣，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習能力，讓數(shù)學學科的核心素養(yǎng)落地呢？下面將從筆者指導并展示的6節(jié)復習課中，從“復習與關聯(lián)”的角度來談一談怎樣上好復習課。

一、在整理中將知識進行關聯(lián)，在關聯(lián)中建立知識網(wǎng)絡

整理與復習的教學應該是以整理所學知識、梳理知識脈絡、構建知識體系和提高運用知識解決實際問題能力為主要任務的一種課型。其基本含義有兩點：一是整理，指把學過的知識進行系統(tǒng)歸類、對比梳理，將零散的知識系統(tǒng)化，將容易模糊的知識清晰化;二是復習，指深入學習，不是簡單的重復，而是在學生已有的數(shù)學知識基礎上對原先學習過的數(shù)學知識內容進行深層次上的再學習。它更多的是一個加深數(shù)學知識理解，理清數(shù)學知識間聯(lián)系，進一步提高數(shù)學知識掌握水平，提高數(shù)學知識應用能力和技能的過程。數(shù)學教師能通過整理與復習，將數(shù)學知識進行關聯(lián)，形成知識網(wǎng)絡，數(shù)學知識結構才能很好建立在學生的頭腦中。

人民教育出版社出版發(fā)行的小學生數(shù)學讀本《生本學材》從一年級上冊開始，在每個單元結束后，增加了“復習與關聯(lián)”板塊，希望通過對單元知識的整理，特別是知識間的關聯(lián)，引導學生用自己的方法構建本單元的知識結構圖，將所學知識結構化和系統(tǒng)化，加深了學生對知識間的理解。

二、在整理中將知識進行關聯(lián)，在關聯(lián)中建立數(shù)學認知結構

在復習課中，教師首先要具備數(shù)學知識結構關聯(lián)的思想和意識，然后想辦法將這些知識結構轉化成學生的認知結構，力求體現(xiàn)一節(jié)復習課能解決一類問題，提高復習課的效率。例如，昆明市盤龍區(qū)云波小學徐盛老師在進行五年級“長方體與正方體表面積和體積的復習”時，設計出了為一個長方體木塊（如圖1）“刷”“截”“切”“拼”“挖”五種類型的數(shù)學活動進行關聯(lián)，建立起了關于長（正）方體表面積和體積的數(shù)學結構。在這個數(shù)學結構的建立中，結合轉化、遷移、想象等數(shù)學思想和方法，幫助學生重新建立了關于“長（正）方體表面積和體積”這一類問題的數(shù)學認知結構，提高了復習課的效率。

活動一：解決“刷”的數(shù)學問題

課件出示：一個長方體木塊，長6cm、寬2cm、高3cm。

師：這個長方體的木塊，我們干一件什么事情的時候，才要求它的表面積？

生1：刷油漆。

師：求刷油漆的面積就是求這個長方體木塊的表面積。

生2：包裝彩紙。

師：求彩紙的面積就是求這個長方體木塊的表面積。

師：剛剛有孩子提到了刷油漆，一個字表示“刷”。

師：可以刷幾個面？

生：6個面。

師：6個面的表面積會“刷”嗎？會列式計算嗎？（學生只列式不計算）

學生反饋交流：

生：（6×2+6×3+2×3）×2。

師：既然可以“刷”6個面，還可以“刷”幾個面？

生：5個面。

師：日常生活中哪些物體是“刷”5個面的？

生：無蓋魚缸、游泳池、教室。

師：刷5個面木塊表面積列出式子。

學生反饋交流：

生：6×2+（6×3+2×3）×2。

師：這個算式中的6×2表示什么？

生：要么刷上面要么刷下面，只刷1個面。

師：除了可以刷6個面、5個面還可以刷幾個面？

生：4個面。

師：生活中哪些物體刷4個面？

生：貼商標紙、石柱、通風管道。

師：刷4個面的表面積怎樣列式？

學生反饋交流：

生：（6×3+2×3）×2。

師：剛才我們一直在干一件事情就是“刷”，有的時候是刷6個面、5個面，還有的時候是刷4個面。在日常生活中我們要具體問題具體分析，看看到底要刷幾個面。

關于“刷”的數(shù)學活動的開展，教師先引導學生思考：“刷”和表面積建立的是什么樣的關系，以及怎樣“刷”，回憶生活中哪些物體是刷6個面、5個面（無蓋魚缸、游泳池、教室）、4個面（通風管道、石柱）的，并分別總結出刷6個面、5個面、4個面的表面積的計算方法，由此建立了“刷”的數(shù)學模型，從而讓學生明白不同的物體求表面積時計算的面的個數(shù)是不一樣的。

活動二：解決“截”的數(shù)學問題

課件出示：把這個長方體木塊截成一個最大的正方體（如圖2），這個正方體木塊的體積是多少立方厘米？

師：我們從問題入手，要求這個截下最大正方體木塊的體積，必須要知道什么條件？

生：最短的那條邊2厘米。

師：理由呢？如果截成3厘米的話，2厘米就不夠了。如果截成6厘米，2厘米和3厘米就不夠了。

師：這個最大的正方體的棱長應該是幾厘米？

生：2厘米。

師：不能為3厘米和6厘米?，F(xiàn)在這個最大正方體的體積能求出來嗎？直接口答列式。

生：2×2×2。

師：表面積怎么求？

生：2×2×6。

在探究“截”的數(shù)學問題的活動中，怎樣在長方體木塊中截一個最大的正方體木塊。讓學生理解最大正方體的棱長只能是原來長方體木塊長、寬、高里面最短的一條，從而建立關于“截”的數(shù)學模型。

活動三：解決“切”的數(shù)學問題

師：把一個長方體木塊切成兩個長方體，可以怎樣切？

學生上臺展示三種切法。

師：一共有幾種切法？

生：3種。

師：切成兩個長方體后，表面積增加了多少平方厘米？（課件演示第一種切法）

師：第一種切法，表面積增加了多少平方厘米？

生：3×2×2。

師：為什么乘2。

生：切開之后增加了2個面的面積。

師：你能上臺指一指增加的是哪2個面嗎？

師：相當于增加的是原來長方體左、右兩個面的面積。

（課件演示第二種切法）

師：第二種切法，表面積增加了多少平方厘米？

生：6×3×2。

師：相當于增加的是原來長方體前、后兩個面的面積。

（課件演示第三種切法）

師：第三種切法，表面積增加了多少平方厘米？

生：6×2×2。

師：相當于增加的是原來長方體上、下兩個面的面積。

（課件出示這三種切法和算式）

師：仔細觀察圖和算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：算式都乘了2。

師：為什么都乘了2？

生：因為表面積都增加了2個面的面積。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：切一次增加2個面。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：不管是豎著切、橫著切還是攔腰切，表面積都是增加了2個面的面積。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：切的次數(shù)×2=增加的面數(shù)。

師：切開之后體積變不變？

生：不變。

師：因此我們可以得出：表面積都增加了原來2個面的面積，體積不變。

課件出示：

切的次數(shù) 1 2 3 4 5 … n

切開后表面積增加原來幾個面的面積 2 4 6 8 10 … 2n

師：切1次、2次、3次、4次、5次分別增加幾個面的面積？

生：2個、4個、6個、8個、10個。

師：10次呢？

生：20個面。

師：20次呢？

生：40個面。

師：100次呢？

生：200個面。

師：n次呢？

生：2n個面。

師：說一說你的理由，好嗎？

生：切1次增加2個面，切2次增加4個面，所以依次乘2。

師：也就是說增加幾個面的面數(shù)=切的次數(shù)×2。

關于“切”的數(shù)學活動的開展，教師先引導學生思考怎樣“切”，借助課件讓學生探究每種切法的表面積和體積各有什么變化。通過“切”的數(shù)學問題的解決過程讓學生發(fā)現(xiàn)：不管怎么切，長方體的表面積增加，體積不變。切1次會增加2個面，切口越多，增加的面的個數(shù)越多。增加的面的個數(shù)是切數(shù)的2倍，由此建立了切數(shù)和面的個數(shù)的數(shù)學模型。

接下來用同樣的教學策略幫助學生解決關于“拼”和“挖”的數(shù)學問題，從而建立起這兩種方法的數(shù)學模型。通過有關“挖”的數(shù)學問題的解決，讓學生發(fā)現(xiàn)：體積會減少1個小正方體的體積，在不同的位置“挖”表面積增減的情況是不一樣的。在頂點上“挖”表面積不變，在棱的中間上“挖”表面積會增加2個面的面積，在面的中間“挖”表面積會增加4個面的面積，通過解決“挖”的數(shù)學問題，建立了“挖”的數(shù)學模型。

本節(jié)課通過關于“刷”“截”“切”“拼”“挖”的一系列問題的解決，在解決問題的應用環(huán)節(jié)，隨著開放性問題的提出，教師引導學生展開想象，使學生的思維從抽象走向具體，學生在整理、討論、觀察、比較、分析、歸納等學習活動中獲得了“長方體與正方體的表面積和體積”完整的知識結構，達到了鞏固相關的知識，培養(yǎng)學生的空間想象、建模的能力，提高了學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

三、在整理中將知識進行關聯(lián)，在關聯(lián)中凸顯數(shù)學學科本質

教材是知識的載體，是教學的重要資源。通過復習，一方面對知識的關聯(lián)形成數(shù)學知識結構，而更為重要的是關注知識的深層次問題，即知識的本質，比如：知識的性質、思想、方法、作用、能力、轉化等方面。怎樣在復習課中體現(xiàn)這一思想？昆明市官渡區(qū)東華二小劉雙艷老師在一年級下冊“20以內退位減法復習”中，很好地通過復習，溝通知識，凸顯數(shù)學學科本質，很好地培養(yǎng)了一年級學生學習數(shù)學的基本能力。

（一）呈現(xiàn)了36道凌亂的退位減法算式，通過找到分類標準后進行分類整理

師：同學們，你們看著有什么感覺？

生：擺得太亂了。

師：怎樣才能讓它不亂呢？

生：我們可以擺整齊些。

師：也就是我們要把這些算式整理一下。怎樣整理，使它更有序呢？

引導學生找到分類整理的標準，即按被減數(shù)、減數(shù)、差來分類后，開展小組活動。

這個環(huán)節(jié)的設計是為了讓學生經歷從“無序”到“有序”的過程，從而體會有序思考的重要性。

接著設計了4人小組活動，讓學生按照自己小組選擇的分類標準自行整理36道20以內退位減法的算式，小組組員之間明確自己的分工，合作整理卡片。

4人小組活動要求：

①和②找。

③擺。

④監(jiān)督。

（二）通過展示學生作品，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，凸顯數(shù)學本質

圖4 組1：被減數(shù)相同? ? ? ? ? ? 圖5 組2：減數(shù)相同

師：你能說一說你們是怎樣整理的嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)都是11、12、13、14、15、16、17、18。

師：你能說清楚你是怎么看的嗎？11、12、13……這些數(shù)叫作什么？

生：我是橫著看的，我發(fā)現(xiàn)被減數(shù)一個比一個大1。

圖6 組3：差相同

師：說得真清楚。這個小朋友用“一個比一個”描述了橫著看，被減數(shù)發(fā)生的變化。橫著看，你還能有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：橫著看，我發(fā)現(xiàn)減數(shù)不變。

生2：橫著看，我發(fā)現(xiàn)差一個比一個大1。

師：誰能來完整地說一說在這個作品里，橫著看，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生3：橫著看，減數(shù)不變，被減數(shù)一個比一個大1，差一個比一個大1。

師：我們還可以怎么看？你又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？

生4：豎著看，被減數(shù)不變，減數(shù)一個比一個小1，差一個比一個大1。

......

學生通過親身經歷擺的過程，并且在擺的過程中漸漸發(fā)現(xiàn)被減數(shù)、減數(shù)、差存在一定的規(guī)律，因此在分享規(guī)律的時候，讓學生的認知從“你發(fā)現(xiàn)了什么”到“規(guī)律是什么”，這樣一個從表象到抽象的過程，更好培養(yǎng)了學生數(shù)學推理和數(shù)學建模。

（三）運用規(guī)律，解決問題

圖7這個練習的編排，是為了讓學生找到規(guī)律，運用規(guī)律，使學生深刻地感受到有序地梳理能夠找到規(guī)律，運用規(guī)律能夠很快地解決問題，所以有序地整理，按規(guī)律整理是有價值的。

四、在整理中將知識進行關聯(lián)，在關聯(lián)中落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，也是一門研究“關系”的學問?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的課程目標提出：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。”所以， 在教學中，教師要引導學生尋找知識之間的內在聯(lián)系，形成知識體系，對于幫助建構學生認知體系、發(fā)展思維能力有著積極的促進作用。

數(shù)學的學科知識本身是存在著千絲萬縷的聯(lián)系的，所以數(shù)學又稱為“關系學”。比如：因為平移與旋轉是圖形運動方式，所以“點動成線”“線動成面”“面動成體”的圖形變化規(guī)律就成為銜接平面圖形和立體圖形之間的橋梁。通過這座橋梁，可以把平面圖形和立體圖形的知識相同之處關聯(lián)起來，從而形成認知結構網(wǎng)絡。昆明市呈貢區(qū)斗南學校楊文水老師進行的六年級下冊的復習課“從平面到立體”就是以尋找圓柱和圓、長方形（圓柱經過圓平移和長方形旋轉形成的）之間的聯(lián)系，從而形成了圖形之間的知識體系。

聯(lián)系一：圓和圓柱的關聯(lián)

開課之初，教師引導學生找出圓的半徑、直徑、周長、面積之間的關系，建立圓的知識體系（如圖8）。

然后，讓學生觀察討論圓疊加（平移）之后，圓和圓柱有什么關系。通過小組合作，學生找到了圓的半徑是圓柱的底面半徑、圓的直徑是圓柱的底面直徑、圓的周長是圓柱的底面周長、圓的面積是圓柱的底面面積、圓疊加的個數(shù)就是圓柱的高，進而理解了為什么圓柱的橫截面是圓（如圖9）。

聯(lián)系二：長方形和圓柱的關聯(lián)

通過讓學生觀察討論：圓柱是長方形旋轉而成的，圓柱和長方形之間有什么聯(lián)系？小組合作，利用長方形分別以長和寬為軸旋轉360度形成圓柱，將長方形各部分與圓柱各部分進行關聯(lián)，不僅理解了圓柱的縱截面為什么是長方形，更好發(fā)展了學生的空間觀念，為今后進行幾何的學習打下了堅實的基礎，真正讓數(shù)學核心素養(yǎng)落地。

總之，在本節(jié)課中，通過尋找圓和圓柱、圓柱和長方形之間的關系，就把與圓柱相關的所有知識點搭為知識鏈，繼而把這種“回顧舊知，找到聯(lián)系，形成體系，解決問題”的學習方法，運用到整個平面圖形和立體圖形的復習中，更好地構建了數(shù)學認知體系，提高了復習效率，真正實現(xiàn)知識在建構中增值、思維在交流中碰撞、情感在活動中融通。