汪 杰，周 珺，趙志兵

安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230601

0 引言

廣義傾斜模(也稱Wakamastu傾斜模)首先由Wakamastu[1]提出并研究的,后成為傾斜理論和同調(diào)代數(shù)理論的重要研究對(duì)象.一方面,廣義傾斜模本身具有很好的性質(zhì),更重要的是廣義傾斜猜想,即具有有限內(nèi)射維數(shù)的廣義傾斜模是余傾斜?；虻葍r(jià)的,一個(gè)具有有限投射維數(shù)的廣義傾斜模是傾斜模,這一猜想與很多重要的同調(diào)猜想聯(lián)系在一起.例如可利用著名的有限維猜想,推出廣義傾斜猜想,進(jìn)而可利用廣義傾斜猜想,推出對(duì)稱猜想和廣義猜想[2-4].本文中的R,S均指帶有單位元的交換環(huán),R-模均指酉模.

定義1.1 設(shè)RW是一個(gè)有限生成的左R-模,若稱RW為一個(gè)廣義傾斜模(或稱為Wakamastu傾斜模)[2],如果滿足下列條件:

(1)對(duì)于每個(gè)i≥1，ExtRi(RW,RW)=0;

(2)存在正合列

使得每個(gè)Ti∈addRW(i≥0),這里的addRW指的是由所有的同構(gòu)于RW的有限直和的直和項(xiàng)構(gòu)成的左R-模的全子模范疇,且用HomR(-，RW)作用后上述正合列仍是正合的.

作為Gorenstein投射模[11]的推廣的形式,Bennis和Quaighi[5]定義了X-Gorenstein投射模類,這里的X指的是包含投射模類的一個(gè)模類并統(tǒng)一了一些重要的模類.事實(shí)上,若令X為所有的模類,則X-Gorenstein投射模即為經(jīng)典的投射模,若令X為投射模類,則X-Gorenstein投射模即為經(jīng)典的Gorenstein投射模.

P:…→P1→P0→P0→P1→…

注2:根據(jù)文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果,本文有:

優(yōu)越擴(kuò)張是一類重要而有意義的環(huán)擴(kuò)張,經(jīng)典的例子包括域上的群代數(shù)是這個(gè)群的具有有限指數(shù)的正規(guī)子群代數(shù)上的一個(gè)優(yōu)越擴(kuò)張,一個(gè)環(huán)上的矩陣是這個(gè)環(huán)的一個(gè)優(yōu)越擴(kuò)張等等,見文獻(xiàn)[7].在優(yōu)越擴(kuò)張下,許多的同調(diào)性質(zhì)和表示性質(zhì)均是保持的[8].

定義1.3 設(shè)R是S的子環(huán)且R與S具有相同的單位元,則稱S是R的一個(gè)環(huán)擴(kuò)張,記為RS.一個(gè)環(huán)擴(kuò)張RS稱為優(yōu)越擴(kuò)張,若滿足:

(1)S是R的有限正規(guī)擴(kuò)張,即存在a1,a2…an∈S,使得S=Ra1+Ra2+…+Ran.

(2)S作為R-模是自由的,即有RS?RR(n).

(3)S是R-投射的,即若SM是SN的子模,當(dāng)RM|RN時(shí)必有SM|SN,這里M|N是指M是N的直和項(xiàng).

1 主要結(jié)果

命題2.1 如果RW是一個(gè)廣義傾斜R-模,RS是一個(gè)優(yōu)越擴(kuò)張,則SS?RW是一個(gè)廣義傾斜模.

證明:顯然有SS?RW是有限生成的,這是因?yàn)镾R是一個(gè)有限生成的自由模.對(duì)任意的i≥1,有:

ExtSi(SS?RW,SS?RW)?ExtRi(RW,HomS(SR,S?RW))

?ExtRi(RW,RS?RW)?ExtRi(RW,RW(n))由于對(duì)任意的i≥1,ExtRi(RW,RW)=0,從而ExtRi(RW,RW(n))=0;于是對(duì)任意的i≥1,有:ExtSi(SS?RW,SS?RW)=0.

另一方面,因?yàn)镽W是一個(gè)廣義傾斜R-模,于是存在正合列:

T:0→RR→T0→T1→…→Ti→…

其中Ti∈addRW(i≥),且用HomR(-,RW)作用上述正合列仍正合.現(xiàn)用張量積SS?R-作用得到:

SS?RT:0→SS?RR?S→SS?RT1→SS?RT2→…→SS?RTi→…

其中,SS?RTi∈addSS?RW(i≥1),從而有:

HomS(SS?RT,SS?RW)?HomR(T,HomS(SSMSS?RW))?HomR(T,RS?RW)?HomR(T,RW)?RS

第一個(gè)同構(gòu)是由連接同構(gòu)得到,第二個(gè)同構(gòu)是由張量賦值同構(gòu)得到.由于HomR(T,RW)是正合的,且RS是自由的,所以HomS(SS?RT,SS?RW)是正合的.

綜上所述,SS?RW是一個(gè)廣義傾斜模.

命題2.2 設(shè)RS是一個(gè)環(huán)的優(yōu)越擴(kuò)張,RW是一個(gè)廣義傾斜R-模且模X是一S-模,當(dāng)且僅

ExtSi(SS?RX,SS?RW)?ExtRi(RX,HomS(SR,SS?RW))?ExtRi(RX,RS?RW)?ExtRi(RX,RW(0))

0=ExtSi(SS?RX,SS?RW)?ExtRi(RX,HomS(SR,SS?RW))?ExtRi(RX,RS?RW)

命題2.4 設(shè)RS是一個(gè)的優(yōu)越擴(kuò)張,RW是一個(gè)廣義傾斜R-模.若RM是一個(gè)投射模[11],則SS?RM是一個(gè)投射模.

ExtSi(SS?RM,SS?RY)?ExtRi(RM,HomS(SS,SS?RY))?ExtRi(RM,RS?RY)?ExtRi(RM,RY(n))=0

這是因?yàn)閷?duì)于任意的i≥1,有ExtRi(RM,RY)=0,又因?yàn)橛蠷S?RR(n),所以可得到式:ExtSi(SS?RM,SY(n))=0.于是對(duì)任意的i≥1,有ExtSi(SS?RM,SY)=0;

HomS(SS?RP,SY)?HomR(P,HomS(SS,SY))?HomR(P,RY)

所以HomS(SS?RP,SY)是正合的.

命題2.5 設(shè)RS是一個(gè)環(huán)的優(yōu)越擴(kuò)張[12],RW是一個(gè)廣義傾斜R-模.M是一個(gè)S-模，則有RM是一個(gè)投射模當(dāng)且僅當(dāng)SM是一個(gè)投射模.

證明：“?”:根據(jù)命題2.4,以及X-Gorenstein投射模類保直和項(xiàng)的性質(zhì)易知顯然成立.

ExtRi(RS?SM,RS?RX)?ExtSi(SM,HomR(RS,RS?RX))?ExtSi(SM,SS?RX)

ExtSi(SS?RX,SS?RW)?ExtRi(RX,HomS(SS,SS?RW))?ExtRi(RX,RS?RW)?ExtRi(RX,RW(0))=0

HomR(RS?SP,RX)?HomS(P,HomR(RS,RX))?HomS(P,SS?RX)