牛頓環(huán)干涉實驗仿真及研究

郭小花，張明霞，武彩霞

（天水師范學院 電子信息與電氣工程學院，甘肅 天水 741001）

牛頓環(huán)是牛頓在1675年首先觀察到的，它是一種光的等厚干涉圖樣。在大學物理光學實驗中，牛頓環(huán)干涉實驗是一個必做的基礎性實驗。大多數(shù)文獻[1-3]的實驗方法是將牛頓環(huán)實驗裝置置于空氣中，觀察牛頓環(huán)的條紋特征，通過測定牛頓環(huán)條紋半徑計算平凸透鏡曲率半徑，個別文獻[4]也利用此實驗裝置測定液體的折射率，而對牛頓環(huán)本身特性的分析和研究的相關文章很少見。本文利用Matlab仿真[5-7]牛頓環(huán)干涉，通過改變介質(zhì)膜折射率n、入射光波長λ和平凸透鏡曲率半徑R分析了影響牛頓環(huán)干涉條紋的因素，是對牛頓環(huán)干涉實驗的進一步完善和補充，也為光學仿真實驗的深入開展提供了新思路。

1 實驗原理

如圖1所示牛頓環(huán)干涉原理圖，將一曲率半徑較大的平凸透鏡的凸面與一磨光平玻璃板相接觸時，在透鏡的凸面與平玻璃板之間將形成一介質(zhì)薄膜，離接觸點O等距離的地方，厚度相同。若以某一波長的單色平行光垂直射向平凸透鏡時，由介質(zhì)膜進入透鏡的光束部分先被透鏡的凸面反射回去，另一部分透入介質(zhì)膜后，遇到平面玻璃板反射，這兩束反射光相互疊加，形成的干涉條紋形狀為膜的等厚點的軌跡，這種干涉是一種等厚干涉。因為同一半徑的圓環(huán)處介質(zhì)膜厚度相同，故在反射方向觀察時，將看到一組以接觸點O為中心的明暗相間的同心圓環(huán)狀條紋，而且中心O處是一暗斑（在沒有灰塵等雜質(zhì)影響下）。如果在透射方向觀察，則看到的干涉環(huán)紋與反射光的干涉環(huán)紋的光強分布恰成互補，中心是亮斑，原來的亮環(huán)處變?yōu)榘淡h(huán)，暗環(huán)處變?yōu)榱镰h(huán)，這種干涉觀察最早為牛頓所發(fā)現(xiàn)，故稱為牛頓環(huán)。

圖1 牛頓環(huán)干涉原理圖

當以波長為λ的單色光垂直照射到平凸透鏡上時，由介質(zhì)膜上下表面反射的兩束光將互相干涉，其光程差為

式中d為某一級條紋所在處的介質(zhì)膜厚度，n為介質(zhì)膜的折射率，若整個裝置置于空氣中則通常取n=1.0，為額外光程差。

由圖1中的幾何關系有R2=(R-d)2+r2，忽略二階小量d2，化簡可得（r為對應級次的干涉條紋半徑，R為平凸透鏡曲率半徑），代入（1）式，有

忽略光在傳播過程中的損耗，就可以認為兩束反射光強度近似相等，設均為I0，則由雙光束干涉理論[8,9]可知，干涉場（反射光方向）的光強分布公式為

2 實驗仿真

根據(jù)以上計算結(jié)果，利用光強分布公式（3），選取波長589.3nm的鈉黃光作為入射光，取平凸透鏡的曲率半徑為150cm，并取介質(zhì)膜為空氣膜即n=1.00，利用Matlab編寫代碼，運行程序進行牛頓環(huán)實驗仿真，仿真結(jié)果為如圖2（a）所示的干涉圖樣，是中心為暗斑的明暗相間的內(nèi)疏外密的同心圓條紋，與實驗現(xiàn)象相符。接著依次改變介質(zhì)膜折射率n=1.15、n=1.30和n=1.45，相應得出圖2(b)、(c)、(d)所示干涉圖樣。由圖2可知，隨介質(zhì)膜折射率n的增大，牛頓環(huán)中心暗斑略有減小，對應級次的條紋半徑也隨之略有減小。也即牛頓環(huán)中心暗斑和對應級次條紋半徑隨折射率n的增大而略有減小，但變化不明顯，這是因為介質(zhì)膜折射率n值本身變化較小。

圖2 牛頓環(huán)條紋隨介質(zhì)膜折射率n的變化

再選取波長589.3nm的鈉黃光作為入射光，取介質(zhì)膜為空氣膜即n=1.00，依次改變平凸透鏡的曲率半徑R=1.0m、R=1.5m、R=2.0m和R=2.5m，仿真結(jié)果如圖3（a）、（b）、（c）、（d）所示。由圖3可知，隨平凸透鏡的曲率半徑R的增大，牛頓環(huán)中心暗斑越來越大，對應級次條紋半徑也隨之越大，與相關文獻[10]實驗結(jié)果完全相符。也即牛頓環(huán)中心暗斑和對應級次條紋半徑隨平凸透鏡的曲率半徑R的增大而增大，且變化比較明顯，這是因為R值本身變化比較大。

圖3 牛頓環(huán)條紋隨平凸透鏡曲率半徑R的變化

圖4所示介質(zhì)膜為空氣膜，即n=1.00，平凸透鏡的曲率半徑為150cm，依次改變?nèi)肷涔獠úㄩLλ為400nm、550nm、650nm和760nm，對應得到圖4（a）、（b）、（c）、（d） 所示結(jié)果。同理由圖4可知，牛頓環(huán)中心暗斑和對應級次條紋半徑隨入射光波波長λ的增大而增大，而且變化明顯；因為入射光波長本身變化比較大。

圖4 牛頓環(huán)條紋隨入射光波長λ的變化

3 理論對比

由光強分布公式（3）可知，當光強取到極小值I=0時，Δφ=(2j+1)π(j=0,±1,±2,…)，又，即在處對應暗紋，結(jié)合式（2）有，(對牛頓環(huán)j=0,1,2,…)；而當光強取到極大值I=4I0時，Δφ=2jπ(j=0,±1,±2,…)，即處對應亮紋，結(jié)合式 （2）有，(對牛頓環(huán)j=1,2,3,…)，故在反射光方向觀察時，牛頓環(huán)暗紋半徑

牛頓環(huán)亮紋半徑

上式中j為牛頓環(huán)條紋對應的干涉級次。

由式（4）（5）可知，在反射光方向觀察牛頓環(huán)時，中心應該是0級暗斑，除此之外，不管暗紋還是亮紋，都有，說明牛頓環(huán)對應級次條紋半徑r隨平凸透鏡曲率半徑R的增大而增大；，說明牛頓環(huán)對應級次條紋半徑r隨入射光波長λ的增大而增大；，說明牛頓環(huán)對應級次條紋半徑r隨介質(zhì)膜折射率n增大而減??；并且r隨干涉級次j的增大而增大?？梢?，牛頓環(huán)實驗仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果完全相吻合。

4 結(jié)論

本文利用Matlab仿真牛頓環(huán)干涉，通過改變仿真程序中的相應參量得出牛頓環(huán)中心暗斑和對應級次條紋半徑隨介質(zhì)膜折射率n的增大而減小，隨平凸透鏡的曲率半徑R的增大而增大，隨入射光波波長λ的增大而增大，而且仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果完全相吻合。這說明牛頓環(huán)仿真實驗能夠很好地演示牛頓環(huán)干涉圖樣，也方便分析影響牛頓環(huán)條紋特征的諸多因素，使學生在現(xiàn)有的實驗課基礎上更加全面地理解牛頓環(huán)干涉實驗，掌握牛頓環(huán)條紋特征，克服了實驗儀器單一、各參數(shù)固定不變的缺點，是對傳統(tǒng)牛頓環(huán)實驗的完善和補充。