王禮勇　邵達(dá)　陳相友　胡浩鑫

【摘 要】 教師先讓學(xué)生充分感受現(xiàn)實世界中周而復(fù)始的現(xiàn)象，學(xué)生自主抽象出周期函數(shù)的定義，并運用邏輯推理辨析概念，教師進(jìn)一步挖掘定義內(nèi)涵與外延，幫助學(xué)生建構(gòu)起對周期概念的認(rèn)識.

【關(guān)鍵詞】 概念教學(xué);核心素養(yǎng);周期性;周而復(fù)始;數(shù)學(xué)抽象;邏輯推理

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).” [1]如何上好一堂指向高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)課，讓學(xué)生真正理解概念的內(nèi)涵、研究對象的要素，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，引發(fā)很多一線教師的思考.

近期，筆者有幸代表浙江省參加了第九屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動，這次參賽的課題是中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會自選課題“函數(shù)的周期性”，它是以人教A版必修4第一章第四節(jié)為藍(lán)本，本節(jié)課的學(xué)習(xí)從周期性現(xiàn)象出發(fā)，開啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅.筆者對于“函數(shù)的周期性”這節(jié)課的教學(xué)策略進(jìn)行探討.

1 教學(xué)實踐

1.1 情境引入

問題1 現(xiàn)實生活中有哪些周而復(fù)始的現(xiàn)象？

數(shù)學(xué)源于生活，而又高于生活.這節(jié)課的引入就從同學(xué)們身邊熟悉的課程表開始，用心觀察，生活中處處有數(shù)學(xué).為了讓學(xué)生充分感受周而復(fù)始的現(xiàn)象，在課前安排了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組查閱相關(guān)資料，在課內(nèi)安排了兩個學(xué)生活動：學(xué)生舉例;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組代表上臺進(jìn)行展示分享.讓學(xué)生們了解到大到天體的運行，小到質(zhì)點的運動，生活、物理、數(shù)學(xué)中存在大量周而復(fù)始的現(xiàn)象.

地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化;月亮圓缺變化，即朔—上弦—望—下弦—朔;潮汐變化，即海水在月球和太陽引力作用下發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象;物體做勻速圓周運動時位置變化的周期性;做簡諧運動的物體的位移變化;交變電流隨時間的變化情況，電流值也是重復(fù)出現(xiàn)的.

地球繞日公轉(zhuǎn)軌道是一個接近正圓的橢圓，每經(jīng)過一年地球圍繞著太陽轉(zhuǎn)一周.在一年內(nèi)，日地距離都在不停地變化中.無論從哪個時刻t算起，經(jīng)過一年時間，地球又回到原來的位置，所以地球與太陽的距離是周而復(fù)始變化的.

循環(huán)小數(shù)：29=0.2·，39=0.3·，299=0.0·2·，2399=0.2·3·，如2399，小數(shù)點后2，3依次重復(fù)出現(xiàn).

水車上A點到水面的距離為y，假設(shè)水車5min轉(zhuǎn)一圈，那么y的值每經(jīng)過5min就會重復(fù)出現(xiàn)，因此距離y隨時間的變化規(guī)律是周而復(fù)始變化的.

1.2 概念生成

問題2 如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫現(xiàn)實世界中周而復(fù)始的現(xiàn)象？

在小組代表所舉的例子中，選取了三個典型的例子：天體的例子，數(shù)學(xué)中的例子，生活中的例子.

如何進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象？

隨著時間的變化，地球與太陽的距離（日地距離）發(fā)生變化.在任何一個確定的時刻t，日地距離s是唯一確定的，因此距離s是關(guān)于時間t的函數(shù).在現(xiàn)實世界中，借助變量觀點，構(gòu)造函數(shù)s=f（t），進(jìn)一步借助函數(shù)關(guān)系式刻畫周而復(fù)始的變化規(guī)律.地球每經(jīng)過12個月，又回到原來的位置，在關(guān)系式上的表達(dá)：f（t+12）=f（t）.

小數(shù)點后的第n位的數(shù)字作為這個函數(shù)的函數(shù)值，記作y=f（n）.可寫成分段函數(shù)的形式，f（n）=2，n=2k-1，3，n=2k，k∈N.用函數(shù)的關(guān)系式來刻畫循環(huán)小數(shù)出現(xiàn)周而復(fù)始的現(xiàn)象，即f（n+2）=f（n）.循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的長度為2，自變量每增加2，函數(shù)值會重復(fù)出現(xiàn).

水車上A點到水面的距離呈現(xiàn)周而復(fù)始的現(xiàn)象，這給我們似曾相識的感覺，當(dāng)初我們定義正弦函數(shù)，就是類似這個背景.正弦函數(shù)是以角x為變量，角的終邊與單位圓的交點縱坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù).選用有向線段MP表示正弦線.

角逆時針方向轉(zhuǎn)動一圈，正弦函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，即自變量增加2π，正弦函數(shù)值會重復(fù)出現(xiàn)，即正弦線的長度和符號均沒有發(fā)生變化.用式子來描述，sin（x+2π）=sinx，x∈R，這也是正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式.可以抽象成一般函數(shù)的形式：f（x+2π）=f（x）.角繼續(xù)逆時針方向轉(zhuǎn)動或者順時針方向轉(zhuǎn)動，正弦函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，當(dāng)自變量的值每增加2π的整數(shù)倍時，正弦值會重復(fù)出現(xiàn)，即sin（x+2kπ）=sinx，x∈R.可以抽象成一般函數(shù)的形式：f（x+2kπ）=f（x）.

對于現(xiàn)實世界中的周而復(fù)始現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，與學(xué)生共同構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)一步地利用函數(shù)關(guān)系式，刻畫周而復(fù)始的現(xiàn)象.在這一過程中，需要學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

問題3 你能否給出周期函數(shù)的定義？

一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個T，滿足f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的周期.此時學(xué)生形成的定義并不完善，與學(xué)生共同建構(gòu)定義.

1.3 概念完善

問題4 你認(rèn)為這個函數(shù)的周期T具有怎樣的要求？

T是非零常數(shù)，若T為零，任何一個函數(shù)都是周期函數(shù)，如果所有函數(shù)都是周期函數(shù)，研究周期函數(shù)失去意義.因此T>0或者T<0，T是常數(shù)，不隨x的變化而變化.

問題5 對于f（x+T）=f（x）中的x有無要求，是否只要一個x滿足即可？是否無數(shù)個x滿足即可？

舉一個反例即可.回到熟悉的正弦函數(shù)y=sinx，x=π6，角x逆時針方向轉(zhuǎn)動23π，得到關(guān)系式fx+23π=f（x），我們知道對于x=π4，fx+23π≠f（x），因此23π并不是函數(shù)的周期.同理x=π6+2kπ，無數(shù)個x滿足fx+23π=f（x），23π也不是函數(shù)的周期.

與學(xué)生共同探究常數(shù)T的非零性，變量的任意性，至此形成了周期函數(shù)的完整定義：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

為了進(jìn)一步完善對概念的認(rèn)識，帶領(lǐng)學(xué)生研究周期函數(shù)對于定義域具有怎樣的要求.

辨析1 函數(shù)f（x）=sinx，x∈[0，4π]是周期函數(shù)嗎？函數(shù)f（x）=sinx，x∈[0，6π]是周期函數(shù)嗎？函數(shù)f（x）=sinx，x∈[0，+SymboleB@）是周期函數(shù)嗎？

不是.假設(shè)存在非零常數(shù)T0是這個函數(shù)的周期，若T0>0，由周期函數(shù)定義知f（x+T0）=f（x），當(dāng)x=4π時，f（4π+T0）=f（4π），此時f（4π+T0）沒有定義.同理T0<0，也不符合.因此函數(shù)f（x）=sinx，x∈[0，4π]不是周期函數(shù).

同理，函數(shù)f（x）=sinx，x∈[0，6π]不是周期函數(shù).

f（x）=sinx，x∈[0，+∞），此時對于定義域內(nèi)的每一個x，都有f（x+2π）=f（x）.2kπ是這個函數(shù)的周期.

問題6 周期函數(shù)，對于定義域應(yīng)該具有怎樣的要求？為什么？

若函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，f（x+T）=f（x），要使得代數(shù)式有意義，x∈D（D為函數(shù)的定義域），x+T∈D，x+2T∈D，…x+nT∈D（n∈N）.若周期T>0，定義域的右端是無界的;若周期T<0，定義域的左端是無界的.說明函數(shù)的定義域至少有一端是無界的.

僅從形式化的定義中，學(xué)生很難形成對周期函數(shù)穩(wěn)定而又清晰的理解.從學(xué)生熟悉的正弦函數(shù)為例，改變函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)，進(jìn)一步加深對周期函數(shù)概念的理解，為今后判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)提供了視角：研究函數(shù)定義域先行，周期函數(shù)的定義域至少有一端是無界的.

為了進(jìn)一步鞏固所學(xué)的概念，與學(xué)生進(jìn)行共同辨析.

辨析2 函數(shù)f（x）=sinx，x≠0是周期函數(shù)嗎？若是，請指出函數(shù)的周期.

假設(shè)存在非零常數(shù)T0是這個函數(shù)的周期，由周期函數(shù)定義知f（x+T0）=f（x），即f（-T0）=f（-T0+T0），此時f（-T0+T0）沒有定義，因此函數(shù)f（x）=sinx，x≠0不是周期函數(shù).我們借助數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格說明，也可以借助形進(jìn)行幾何直觀感知.

問題7 對于這個正弦函數(shù)f（x）=sinx，x≠0的圖象，能否繼續(xù)挖去一些點，使得這個函數(shù)成為周期函數(shù)？

f（x）=sinx，x≠kπ，k∈Z，此時挖去正弦函數(shù)與x軸的交點，此時對于定義域內(nèi)的每一個x，都有f（x+2π）=f（x）.2kπ（k∈Z）是這個函數(shù)的周期.

追問 隱去正弦函數(shù)的圖象，留下原先打算挖掉的點，此時函數(shù)還是周期函數(shù)嗎？

f（x）=0，x=kπ，k∈Z，此時對于定義域內(nèi)的每一個x，都有f（x+π）=f（x）. kπ（k∈Z）是這個函數(shù)的周期.

正例與反例的運用，通過假設(shè)、證明等過程，學(xué)生對周期函數(shù)的概念認(rèn)識將變得更加深刻，從而獲得有意義的學(xué)習(xí).再對正弦函數(shù)圖象進(jìn)行“修補”，建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用圖形判斷數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

到目前為止，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了周期函數(shù)的概念，為了進(jìn)一步檢驗掌握情況，與學(xué)生辨析分段函數(shù)的周期性問題.

辨析3 請判斷狄利克雷函數(shù)D（x）=1，當(dāng)x是有理數(shù)，0，當(dāng)x是無理數(shù)，是否為周期函數(shù)，并說明理由.

設(shè)r是任意一個非零有理數(shù)，當(dāng)x是有理數(shù)時，x+r也是有理數(shù)，D（x+r）=D（x）=1;當(dāng)x是無理數(shù)時，x+r也是無理數(shù)，D（x+r）=D（x）=0，因此兩種情況下都有D（x+r）=D（x），故D（x）是周期函數(shù)，任何非零有理數(shù)都是它的周期.

設(shè)s是任意一個無理數(shù)，當(dāng)x是有理數(shù)時，x+s是無理數(shù)，D（x+s）=0，D（x）=1，D（x+s）≠D（x），因此無理數(shù)s不是函數(shù)D（x）的周期.

學(xué)生習(xí)慣運用幾何直觀進(jìn)行判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)，狄利克雷函數(shù)無法做出精確圖象，要進(jìn)一步回歸周期函數(shù)的定義，需要借助代數(shù)嚴(yán)格說明.

與學(xué)生共同學(xué)習(xí)最小正周期的定義：如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個正數(shù)叫做f（x）的最小正周期.問題8 函數(shù)的最小正周期定義中去掉“如果”會怎么樣？

去掉“如果”，意味著周期函數(shù)的所有周期中必定存在一個最小的正數(shù)，換句話說，周期函數(shù)的所有周期中不可能不存在一個最小的正數(shù).

問題9 你能否舉出一個函數(shù)是周期函數(shù)，但它沒有最小正周期？

學(xué)生回答1 D（x）=1，當(dāng)x是有理數(shù)，0，當(dāng)x是無理數(shù)，是周期函數(shù)，所有的非零有理數(shù)都是它的周期，沒有最小正數(shù)，故D（x）沒有最小正周期.

學(xué)生回答2 常值函數(shù)f（x）=c（c為常數(shù)，x∈R）是周期函數(shù)，所有的非零實數(shù)都是它的周期，沒有最小正數(shù)，所以常值函數(shù)沒有最小正周期.

學(xué)生回答3 f（x）=sinx，x∈（-∞，0），所有的-2kπ（k∈N）是函數(shù)的周期，而最小正數(shù)是不存在的，所以這個函數(shù)沒有最小正周期.

1.4 概念應(yīng)用

問題10 周期函數(shù)f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是什么？為什么？

學(xué)生回答1 以下用反證法.假設(shè)存在0

學(xué)生回答2 以下用反證法.假設(shè)存在0

在人教A版的教材中，2π是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最小正周期，并沒有給出證明.教參中專門說到：對于學(xué)有余力的同學(xué)，可以嘗試證明2π是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最小正周期.本次授課的對象程度較好，采用有一定難度的反證法，不僅對掌握反證法的思想有好處，也能加深對周期函數(shù)概念的理解，因此讓學(xué)生嘗試證明.

例 求下列函數(shù)的周期：

（1）f（x）=sin2x; （2）g（x）=2sin12x-π6，x∈R.

問題11 你認(rèn)為上述求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）; y=Acos（ωx+φ）周期的方法能否推廣到求一般周期函數(shù)的周期上去？即命題：“如果函數(shù)y=f（x）的周期是T，那么函數(shù)y=f（ωx）的周期是Tω（ω>0）”是否成立？

設(shè)非零常數(shù)T0為f（ωx）的周期，則f（ω（x+T0））=f（x），即f（ωx+ωT0）=f（ωx），，對任意實數(shù)x都成立.也就是f（u+T）=f

（u），對任意實數(shù)u都成立，其中u=ωx.由于f（u）的最小正周期為T，可知ωT0=T，即T0=Tω，所以函數(shù)y=f（ωx）的周期是Tω（ω>0）.

在教材例2后，教科書設(shè)置了一個“思考”，讓學(xué)生歸納正弦型和余弦型函數(shù)的周期與解析式中的哪些量有關(guān).教材的“探究與發(fā)現(xiàn)”里，給出了代數(shù)解釋，并提出一個“思考”，引導(dǎo)學(xué)生將三角函數(shù)得到的結(jié)論推廣到一般函數(shù).運用歸納，從特殊函數(shù)到一般函數(shù)，理解事物之間的關(guān)聯(lián)，把握知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.

1.5 課堂小結(jié)

這節(jié)課我們從現(xiàn)實生活中周而復(fù)始的現(xiàn)象抽象出函數(shù)周期性的概念，同時我們不斷圍繞函數(shù)的周期性概念，思辨了函數(shù)的周期性問題，這正如一位數(shù)學(xué)家所說的：

2 教學(xué)思考

2.1 數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理緊密結(jié)合

指向高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的概念教學(xué)，教師應(yīng)該努力揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，讓學(xué)生主動經(jīng)歷概念完整的抽象過程：觀察事物、想象結(jié)構(gòu)、分析要素、歸納特征，并將抽象出的特征概括到同一類事物中去.本節(jié)課緊扣教學(xué)參考的要求，通過學(xué)生舉例和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組課前查閱，讓學(xué)生們充分感受現(xiàn)實世界中周而復(fù)始的現(xiàn)象，感受數(shù)學(xué)來源于生活;引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，得到事物的共同特征，并對這一類問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，抽象出周期函數(shù)的本質(zhì)屬性;把數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生初步建立概念，進(jìn)一步完善概念;并運用邏輯推理進(jìn)行概念的辨析，學(xué)生對概念的認(rèn)識將變得穩(wěn)定而又清晰.在運用周期函數(shù)這一概念解決問題時，逐步養(yǎng)成學(xué)生能論證命題，掌握證明的基本形式.因此，本節(jié)課中學(xué)生積累了從具體到抽象的活動經(jīng)驗：從周而復(fù)始的現(xiàn)象到周期函數(shù)，再從周期函數(shù)推廣到一般函數(shù).本節(jié)課合理地將數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力的培養(yǎng)融入到課堂教學(xué)之中，更是設(shè)置了一些學(xué)生自主思考，學(xué)生展示等交流平臺，充分挖掘了本節(jié)課的思維深度與廣度.

2.2 問題探究與信息技術(shù)有機結(jié)合

波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系” [2].指向高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的概念教學(xué)，應(yīng)確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，倡導(dǎo)自主學(xué)生、合作學(xué)習(xí)、探究體驗式學(xué)習(xí).因此，本節(jié)課特別注意以學(xué)生為主體，讓學(xué)生舉例、學(xué)習(xí)小組代表展示（課前查閱周而復(fù)始現(xiàn)象的資料），在利用代數(shù)式刻畫周而復(fù)始的變化規(guī)律時，借助幾何畫板，回顧正弦函數(shù)的定義，充分體會蘊含在其中的數(shù)形結(jié)合的思想方法;不斷地設(shè)置問題串，辨析函數(shù)是否為周期函數(shù)，又借助幾何畫板直觀感知，進(jìn)一步加深對周期函數(shù)這一概念的認(rèn)識;運用高拍儀展示學(xué)生思考成果，充分展示學(xué)生的思維過程，又在不斷的設(shè)問中，對概念的認(rèn)識進(jìn)一步升華;在概念辨析時，運用正例與反例，借助幾何直觀與代數(shù)論證，給予思想方法的指導(dǎo).問題探究與信息技術(shù)有機融合，可以更加深刻地理解和構(gòu)建概念、落實概念的相關(guān)元素、運用概念解決同類事物，幫助學(xué)生更好地揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維水平.

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2] 郭秋秀.怎樣讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題[J].吉林教育（教研），2011 （4）.

作者簡介

王禮勇（1987—），男，中教一級，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)解題研究，先后獲得2017年浙江省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎、第九屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課展示獎.