■張曉蔚
數(shù)學(xué)概念課是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)技能教學(xué)的核心,任何一部分內(nèi)容的教學(xué),都離不開(kāi)概念教學(xué)。如何高效實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué),值得我們思考。下文筆者以“平方根”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,對(duì)概念課教學(xué)進(jìn)行闡述。
知識(shí)與技能:
(1)了解平方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示正數(shù)的平方根;
(2)了解開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算,會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根。
過(guò)程與方法:
(1)通過(guò)學(xué)習(xí)平方根,進(jìn)一步建立數(shù)感和符號(hào)感,發(fā)展抽象思維;
(2)通過(guò)對(duì)正數(shù)平方根特點(diǎn)的探究,了解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系,體驗(yàn)類(lèi)比、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用,提高對(duì)問(wèn)題的遷移能力。
(1)問(wèn)題與情境。
師:我們學(xué)過(guò)了有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法、乘方這五種運(yùn)算,在這五種運(yùn)算中哪些是互為逆運(yùn)算的呢?
師:正方形面積為25 平方厘米,那么它的邊長(zhǎng)是多少呢?
生:5厘米。
師:如果把面積改為2 呢?那么它的邊長(zhǎng)是多少呢?我們?cè)谝褜W(xué)過(guò)的數(shù)的范圍內(nèi)找不到這個(gè)數(shù),那么今天便來(lái)學(xué)習(xí)“平方根”。
設(shè)計(jì)意圖:回顧幾種運(yùn)算,一方面為引進(jìn)平方根的概念起到借鑒作用,另一方面為弄清楚開(kāi)平方運(yùn)算做鋪墊。通過(guò)引入,學(xué)生感受到今天是一節(jié)概念課,同時(shí)也是一種運(yùn)算的呈現(xiàn)。
(2)探索規(guī)律,揭示新知。
師:在已知正方形面積25,求正方形的邊長(zhǎng)的問(wèn)題上,我們實(shí)際上在思考哪個(gè)正數(shù)的平方是25。大家易想到5。那如果老師寫(xiě)出以下式子,括號(hào)里應(yīng)該填什么數(shù)呢?( )2=25;( )2=4。
生:5和-5;2和-2。
師:很好,我們知道 25 是正負(fù) 5 的平方,4 是正負(fù)2 的平方,那么反過(guò)來(lái),正負(fù)5 是25 的什么呢?正負(fù)2是4的什么呢?
生:平方根。
師:很好,大家能感受到平方和平方根的聯(lián)系與區(qū)別嗎?你能舉出類(lèi)似的式子嗎?互相問(wèn)答并分小組討論平方根的定義。
小結(jié):一般地,如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫作a的平方根(或二次方根)。就是說(shuō),如果x2=a,那么x叫a的平方根,記作
師:知道了平方根的概念和表示方法,請(qǐng)問(wèn)( )2=2?
設(shè)計(jì)意圖:情境問(wèn)題的延續(xù),對(duì)平方根的本質(zhì)進(jìn)行探討,學(xué)生能夠較快地接受平方根的概念。學(xué)生在活動(dòng)中初步體會(huì)一個(gè)數(shù)的平方根的個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)的性質(zhì)有關(guān)。
師:你能編幾個(gè)求平方根的題目,考考你周?chē)耐瑢W(xué)嗎?
接著教師提問(wèn):( )2=9( )2=5;( )2=0;( )2=-4。
師:同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么?
生:一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù)。 因?yàn)橹挥? 的平方得0,所以0 只有一個(gè)平方根,是本身。因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都不可能是負(fù)數(shù),所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過(guò)對(duì)具體的數(shù)的平方根進(jìn)行討論交流,總結(jié)出正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的平方根的情況。學(xué)生親自探索規(guī)律過(guò)程,加深對(duì)規(guī)律的理解。
師:我們通過(guò)探討得到了正數(shù)a有兩個(gè)平方根,其中正的平方根叫作a的算術(shù)平方根,記作而求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算,叫作開(kāi)平方(a≥0)。
師:請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別。
生1:平方根有兩個(gè);算術(shù)平方根有一個(gè),是正的那個(gè)。
生2:不對(duì)。應(yīng)該說(shuō)正數(shù)的平方根有兩個(gè);正數(shù)的算術(shù)平方根有一個(gè),是兩個(gè)平方根里正的平方根。
師:很好,也就是說(shuō)我們求某個(gè)正數(shù)的平方根,應(yīng)該寫(xiě)出兩個(gè),而求某個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只能寫(xiě)出一個(gè)。那么0有沒(méi)有算術(shù)平方根呢?
生:是0。
師:對(duì),0 的平方根只有 1 個(gè),規(guī)定 0 的算術(shù)平方根也是0。
設(shè)計(jì)意圖:指明概念,給出相應(yīng)問(wèn)題,層層辨析,再轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號(hào)感,讓學(xué)生弄清楚平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系。提問(wèn)中再現(xiàn)概念,思考本質(zhì),鞏固深化。
(3)學(xué)以致用。
例1判斷下列各數(shù)有沒(méi)有平方根,如果有平方根,試求出它的平方根;如果沒(méi)有平方根,說(shuō)明理由。
(1)81;(2)-81;(3)0 ;(4)(-7)2;(5)-72。
例2求下列各數(shù)的平方根。
請(qǐng)你說(shuō)出上述各數(shù)的算術(shù)平方根。
例3(1)若有意義,則a的取值范圍是__________。
設(shè)計(jì)意圖:圍繞教學(xué)目標(biāo),明晰概念。學(xué)生通過(guò)例1判斷有沒(méi)有平方根,關(guān)鍵看所求的數(shù)是不是非負(fù)數(shù);學(xué)生通過(guò)例2再次感受到非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的唯一性。而例3用字母代替數(shù)字,讓本節(jié)課提升到一定的高度。根據(jù)算術(shù)平方根的意義,有隱含條件,根號(hào)下的式子必須大于等于0,學(xué)生能更深刻地理解被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性,也為以后二次根式的學(xué)習(xí)做鋪墊。
數(shù)學(xué)概念都有其本質(zhì)特征,教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重概念的分析,一步步揭示概念的本質(zhì)。在平方根的教學(xué)中,筆者創(chuàng)設(shè)了恰當(dāng)?shù)谋尘耙敫拍?,通過(guò)問(wèn)題再現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析并嘗試概括平方根的真正內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)。教師在教學(xué)中主要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程,在探索中逐步理解概念的本質(zhì),同時(shí)有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)不是以讓學(xué)生學(xué)會(huì)概念為終極目標(biāo),而是讓學(xué)生在參與活動(dòng)中生成和構(gòu)建數(shù)學(xué)概念,更要讓學(xué)生體悟概念蘊(yùn)含的豐富的實(shí)際意義,理解它的生活價(jià)值,獲得對(duì)知識(shí)的整體認(rèn)知。