兩類16p階群的三度正規(guī)Cayley圖的比較

董留栓

(中原工學(xué)院信息商務(wù)學(xué)院，鄭州 450002)

0 引言

本研究所給的圖均是有限、簡(jiǎn)單及無(wú)向連通圖，對(duì)于給定圖X，用V(X)表示它的頂點(diǎn)集，用E(X) 表示它的邊集，用Aut(X)表示它的全自同構(gòu)群。Xi(v)表示與點(diǎn)v距離為i的點(diǎn)集。給定有限群G，設(shè)S為G的不包含單位元1的子集，定義G關(guān)于S的Cayley圖為Cay(G,S)，其中V(X)=G，E(X)={(g,sg)|g∈G,s∈S}，若S-1=S，Cay(G,S)看做G關(guān)于子集S的Cayley無(wú)向圖，如果G關(guān)于子集S的Cayley圖是正規(guī)的，則稱群G有正規(guī)Cayley圖。

由于同構(gòu)的圖可以是不同群的cayley圖，本研究對(duì)兩種不同群的cayley圖進(jìn)行比較，得出它們?nèi)旱恼?guī)cayley圖同構(gòu)的結(jié)論。

定理1.1：設(shè)Cay(G1,S1)是16p階群G1的關(guān)于子集S1的3度Cayley圖，其中G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉，S1={a,a-1,b};Cay(G2,S2)是16p階群G2的關(guān)于子集S2的3度Cayley圖，其中G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉,S2={a,a-1,b}，其中p為奇素?cái)?shù)。則Cay(G1,S1)?Cay(G2,S2)。

1 預(yù)備知識(shí)

本研究將用到以下兩個(gè)命題：

命題2.1([2])：設(shè)X=Cay(G,S),A=Aut(X)，那么X是正規(guī)的。當(dāng)且僅當(dāng)A1=Aut(G,S)，其中A1為1的穩(wěn)定子，Aut(G,S)={α∈Aut(G)|Sα=S}。

命題2.2([3])：設(shè)X=Cay(G,S)，是群G關(guān)于子集S的Cayley圖,X是正規(guī)的,若以下條件成立：

(1)?φ∈A1,φ|S=1S,則有φ|S2=1S2,即φ=1G。

(2)?φ∈A1,則存在σ∈Aut(G),使得φ|S=σ|S。

要考慮16p階群G1的3度Cayley圖的正規(guī)性,首先考慮群G1的生成子集S在自同構(gòu)AutG1下的軌道。

引理2.2：設(shè)群G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉,p為奇素?cái)?shù)。S為G1中不包含單位元的3元子集，且S=S-1，〈S〉=G1，則S在AutG1下的軌道只有一個(gè)，其代表元為S1={a,a-1,b}。

證明：類似于參考文獻(xiàn)[4]中引理2.2的證明。

引理2.3[5]：設(shè)群G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉,p為奇素?cái)?shù)，S為G2中不包含單位元的3元子集，且S=S-1，〈S〉=G2，則S在AutG2下的軌道有兩個(gè)，其代表元分別為S2={a,a-1,b}、S3={a4p+1b，ab,b}。

2 主要結(jié)果證明

引理3.1：設(shè)Cay{G1,S1}是群G1關(guān)于子集S1的Cayley圖，G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉,p為奇素?cái)?shù)，S1={a,a-1,b}則Cay{G1,S1}是G1的正規(guī)Cayley圖，且A1?Z2。

證明：

(1)首先證明?φ∈A1，且φ|S1=1|S1，則有φ=1。

?φ∈A1，且φ|S1=1|S1，則φ固定點(diǎn)a,a-1,b及其鄰域{1,a2,a4p+1b},{1,a-2,a4p-1b},{1,ab,a-1b}。如圖1所示，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)1,a-1和b有唯一的6-圈(1,a-1,a-2,a-2b,a-1b,b,1)，故φ固定該6-圈，故φ固定點(diǎn)a-2,a-1b。又φ固定集合{a-2,a4p-1b}和{ab,a-1b}，所以φ也分別固定a4p-1b和ab。同理可得，φ逐點(diǎn)固定點(diǎn)a2和a4p+1b，此時(shí)φ|X2(1)=1。由Cayley圖的點(diǎn)傳遞性和連通性知φ=1。

圖1 Cay(G1,{a,a-1,b})的鄰域子圖Fig.1 Neighborhood of Cay(G1,{a,a-1,b})

(2)其次證明對(duì)φ∈A1，?σ∈AutG，使得φ|S1=σ|S1，即A1?Z2。

圖2 Cay(G2,{a,a-1,b})的鄰域子圖Fig.2 Neighborhood of Cay(G2,{a,a-1,b})

綜合(1)(2)，由命題2.2知，X=Cay{G1,S1}是正規(guī)Cayley圖，且A1?Z2。引理3.2[6]設(shè)Cay{G2,S2}是群G2關(guān)于子集S2的Cayley圖，G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉，p為奇素?cái)?shù)，S2={a,a-1,b}則Cay{G2,S2}是G2的正規(guī)Cayley圖，且A1?Z2。

引理3.3：設(shè)Cay(G1,S1)是16p階群G1的關(guān)于子集S1的3度Cayley圖，其中G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉,S1={a,a-1,b}；Cay(G2,S2)是16p階群G2的關(guān)于子集S2的3度Cayley圖，其中G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉,S2={a,a-1,b}

其中p為奇素?cái)?shù)。則Cay(G1,S1)?Cay(G2,S2)。

證明：

故Cay{G1,S1}?Cay{G2,S2}。