王夢(mèng)娜，王小明，陳慶新，毛 寧

(廣東工業(yè)大學(xué) 廣東省計(jì)算機(jī)集成制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510006)

0 引言

定制產(chǎn)品的設(shè)計(jì)過(guò)程由多個(gè)設(shè)計(jì)任務(wù)構(gòu)成，通常以項(xiàng)目形式進(jìn)行管理。一方面，由于客戶提出的產(chǎn)品需求往往不夠明確，使得部分設(shè)計(jì)任務(wù)(稱(chēng)為不明確任務(wù))需要經(jīng)過(guò)組長(zhǎng)/設(shè)計(jì)主管評(píng)審或客戶確認(rèn)評(píng)審后才能完成；另一方面，部分相鄰任務(wù)在設(shè)計(jì)內(nèi)容上具有一定關(guān)聯(lián)(耦合)性，使其返工概率不獨(dú)立。在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈的今天，企業(yè)不僅要盡可能縮短設(shè)計(jì)項(xiàng)目周期，還要使設(shè)計(jì)項(xiàng)目完工時(shí)間的波動(dòng)(方差或風(fēng)險(xiǎn))盡可能小。

在設(shè)計(jì)項(xiàng)目執(zhí)行過(guò)程中，設(shè)計(jì)員完成一個(gè)不明確任務(wù)后可以即刻提交評(píng)審，也可以繼續(xù)下一階段設(shè)計(jì)。評(píng)審需要一定的準(zhǔn)備時(shí)間，評(píng)審結(jié)果為通過(guò)或者對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行修改(本文稱(chēng)為返工)。在工程實(shí)際中，產(chǎn)品試制后可能還需要對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行修改，這類(lèi)修改稱(chēng)為設(shè)計(jì)變更。本文僅考慮初始設(shè)計(jì)階段的評(píng)審和返工問(wèn)題，不考慮產(chǎn)品試制后的設(shè)計(jì)變更問(wèn)題。分析可知，將多個(gè)任務(wù)打包評(píng)審能夠降低準(zhǔn)備時(shí)間，但是會(huì)增加后續(xù)任務(wù)出錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn)；反之，如果想避免錯(cuò)誤累積風(fēng)險(xiǎn)，則需增加評(píng)審準(zhǔn)備時(shí)間。因此，當(dāng)設(shè)計(jì)員面臨多種可選的任務(wù)評(píng)審策略(同時(shí)提交評(píng)審的任務(wù)組合)時(shí)，需要準(zhǔn)確估計(jì)不同評(píng)審策略對(duì)應(yīng)的項(xiàng)目完工時(shí)間，從中選擇最優(yōu)的評(píng)審策略。然而，在設(shè)計(jì)任務(wù)工期服從一般分布且具有隨機(jī)返工的情形下，往往很難準(zhǔn)確估計(jì)項(xiàng)目的完工時(shí)間概率分布。

在考慮隨機(jī)返工的網(wǎng)絡(luò)建模與優(yōu)化方面，現(xiàn)有研究主要面向系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析和資源配置問(wèn)題。考慮制造過(guò)程中的工件返工和報(bào)廢，Yu等[1]和Pillai等[2]利用離散時(shí)間馬爾可夫鏈建模，分析了工件平均工時(shí)、成本和所需原材料數(shù)量等指標(biāo)；王小明等[3-4]針對(duì)考慮單次返工的模具訂單完工時(shí)間預(yù)測(cè)問(wèn)題，提出隊(duì)列長(zhǎng)度近似估計(jì)與連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈相結(jié)合的計(jì)算方法；Gopalan等[5-6]考慮工件隨機(jī)返工，基于隨機(jī)模型研究了有限緩存兩級(jí)多服務(wù)制造系統(tǒng)的工期均值等系統(tǒng)參數(shù)；Kao[7]針對(duì)單服務(wù)自動(dòng)裝配過(guò)程中的隨機(jī)返工問(wèn)題，采用半馬爾可夫理論求解最優(yōu)策略。另外，部分學(xué)者基于馬爾可夫理論研究了不帶返工的隨機(jī)項(xiàng)目完工時(shí)間預(yù)測(cè)問(wèn)題。Kulkarni等[8]最早采用連續(xù)時(shí)間吸附馬爾可夫鏈建模分析隨機(jī)項(xiàng)目完工時(shí)間概率分布；Dodin[9]針對(duì)任務(wù)工期服從連續(xù)或離散分布的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)完工時(shí)間預(yù)測(cè)問(wèn)題，提出一種包含工期離散化和卷積乘積操作的序貫近似方法；Azaron等[10]提出利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的完工時(shí)間均值下界；王小明等[11]提出采用離散時(shí)間馬爾可夫鏈狀態(tài)演化來(lái)預(yù)測(cè)模具項(xiàng)目的交貨期。研究表明，馬爾可夫鏈理論能夠準(zhǔn)確描述隨機(jī)項(xiàng)目執(zhí)行過(guò)程，在帶隨機(jī)回路的項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)建模方面更具優(yōu)勢(shì)。

本文所研究的設(shè)計(jì)任務(wù)評(píng)審決策問(wèn)題與制造系統(tǒng)質(zhì)檢站定位問(wèn)題具有一定相似性。在過(guò)去幾十年，學(xué)者們對(duì)制造系統(tǒng)質(zhì)檢站定位問(wèn)題進(jìn)行了廣泛研究，構(gòu)建了動(dòng)態(tài)規(guī)劃或整數(shù)規(guī)劃模型，以及對(duì)應(yīng)的精確或啟發(fā)式求解方法。例如，Chakravarty等[12]研究了多產(chǎn)品流水線質(zhì)檢站設(shè)定問(wèn)題，將質(zhì)檢活動(dòng)視為加工節(jié)點(diǎn)之間的連接弧，提出兩種啟發(fā)式算法求解對(duì)應(yīng)的最短路徑模型；Jewkes[13]基于M/G/1排隊(duì)網(wǎng)模型和多臂老虎機(jī)(multi-armed bandits)相關(guān)結(jié)論，研究了單節(jié)點(diǎn)質(zhì)檢頻率與生產(chǎn)調(diào)度規(guī)則聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題；Shiau[14]在考慮有限質(zhì)檢資源約束和質(zhì)檢誤差模型的基礎(chǔ)上，提出兩種簡(jiǎn)單的啟發(fā)式算法來(lái)分配質(zhì)檢站；Shetwan等[15]對(duì)多階段制造系統(tǒng)中質(zhì)量控制工作站布局方法進(jìn)行綜述，建立了一般化的模型，并提出高效的啟發(fā)式求解方法。上述研究主要面向多級(jí)串行制造系統(tǒng)，假定每一級(jí)只需返工一次且未考慮相鄰工作站之間的返工耦合問(wèn)題，而且均通過(guò)返工概率獨(dú)立估算每一級(jí)工作站的工時(shí)或成本均值，據(jù)此進(jìn)行確定性轉(zhuǎn)換求解最優(yōu)質(zhì)檢配置方案。這些研究的方法思路很難應(yīng)用于設(shè)計(jì)項(xiàng)目完工時(shí)間概率分布估算問(wèn)題。

對(duì)于復(fù)雜環(huán)境下的項(xiàng)目完工時(shí)間預(yù)測(cè)問(wèn)題，仿真是一種行之有效的方法[16-17]，其適用于無(wú)法得到解析表達(dá)式的場(chǎng)景(如模型規(guī)模較大或無(wú)法得到精確解)，缺點(diǎn)是需要進(jìn)行大量仿真才能得到比較準(zhǔn)確的結(jié)果。當(dāng)解析法和仿真法均可使用時(shí)，應(yīng)優(yōu)先采用解析法，仿真可用于模型驗(yàn)證。本文以具有一般工期和返工的設(shè)計(jì)項(xiàng)目為研究對(duì)象，研究其完工時(shí)間概率分布估算解析模型和方法，以高效準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)評(píng)審策略的優(yōu)劣。

1 問(wèn)題描述

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 PH分布

相型(phase-type, PH)分布是由負(fù)指數(shù)分布卷積或混合而成的一種概率分布，由具有一個(gè)或多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的泊松過(guò)程的系統(tǒng)按順序或相位發(fā)生的結(jié)果構(gòu)成，即PH分布是一種描述連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈(Continuous-Time Markov Chain, CTMC)吸附時(shí)間的分布。本文采用PH分布對(duì)任務(wù)工期分布進(jìn)行近似，并據(jù)此計(jì)算項(xiàng)目完工時(shí)間概率分布。

(1)

式中K0=-Ke為描述中間狀態(tài)到吸附狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率的n維列向量，e為n維單位列向量。

PH分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為：

fT(t)=P(T=t)=αeKt(-K)e,t≥0；

(2)

FT(t)=P(T≤t)=1-αeKte,t≥0。

(3)

PH分布的均值和方差分別為：

E(T)=-αK-1e；

(4)

Var(T)=2αK-2e-(αK-1e)2。

(5)

2.2 一般分布下的CTMC建模

2.2.1 任務(wù)工期分布近似

PH分布可以使用指數(shù)分布的相位，以任意的精確度表示任意正值分布[18]。使用PH分布對(duì)一般任務(wù)工期進(jìn)行近似可使項(xiàng)目執(zhí)行過(guò)程具備馬爾可夫性，從而便于對(duì)其進(jìn)行建模和分析。在PH分布近似方法方面，Gue等[19-20]和Creemers[21]提出基于平方變異系數(shù)C2=σ2/μ2(μ和σ2分別為均值和方差)的近似方法，具體描述如下：

(1)當(dāng)C2=1時(shí)，兩者均采用負(fù)指數(shù)分布來(lái)近似任務(wù)工期分布。

(2)當(dāng)C2>1時(shí)，Gue等[19-20]采用二階超指數(shù)分布進(jìn)行近似，Creemers[21]則是采用二相位Coxian分布進(jìn)行近似。兩者的區(qū)別在于二階超指數(shù)分布中的兩個(gè)相位是并行的，二相位Coxian分布的兩個(gè)相位是串行的。

(3)當(dāng)C2<1時(shí)，Gue等[19-20]采用Erlang分布進(jìn)行近似，Creemers[21]則是采用亞指數(shù)分布進(jìn)行近似。需要強(qiáng)調(diào)的是，Erlang分布是由一系列獨(dú)立同分布的負(fù)指數(shù)分布串行構(gòu)成，而亞指數(shù)分布是一般的Erlang分布，即串行獨(dú)立負(fù)指數(shù)分布可以是非同等。

上述近似分布的參數(shù)計(jì)算過(guò)程可參考Gue等[19-20]和Creemers[21]的研究。在計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，這兩種方法都能獲得精度較高的概率分布，但是Creemers[21]所提方法對(duì)應(yīng)的馬爾可夫鏈狀態(tài)數(shù)更少(原因是Coxian分布的兩相位串行相當(dāng)于一個(gè)任務(wù)，而二階超指數(shù)分布兩相位并行相當(dāng)于兩個(gè)任務(wù))，計(jì)算效率更高。因此，本文采用Creemers[21]的近似方法。

2.2.2 項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換

利用2.2.1節(jié)所述方法對(duì)任務(wù)工期分布進(jìn)行近似后，將原任務(wù)執(zhí)行過(guò)程轉(zhuǎn)化為包含一相或多相的隨機(jī)過(guò)程。為了準(zhǔn)確描述項(xiàng)目執(zhí)行過(guò)程，在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型之前需要先對(duì)項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即在添加返工任務(wù)節(jié)點(diǎn)后，按照PH近似分布將每一相位看作一個(gè)虛擬任務(wù)節(jié)點(diǎn)。

以如圖1所示的簡(jiǎn)單項(xiàng)目為例說(shuō)明項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換過(guò)程。假定任務(wù)2和任務(wù)3是不明確任務(wù)，各個(gè)任務(wù)的工期平方變異系數(shù)C2=1，1/3，2。在評(píng)審策略方面，可以將任務(wù)2和任務(wù)3同時(shí)提交評(píng)審(稱(chēng)為合并評(píng)審策略)，也可以將2和任務(wù)3分別提交評(píng)審(稱(chēng)為獨(dú)立評(píng)審策略)。限于篇幅，本文僅以獨(dú)立評(píng)審策略為例進(jìn)行說(shuō)明，其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)如圖2所示。需要強(qiáng)調(diào)的是，因?yàn)橥蝗蝿?wù)的不同相位被視為一個(gè)虛擬的任務(wù)節(jié)點(diǎn)，所以相位之間的耦合關(guān)系本質(zhì)上與前述相鄰任務(wù)之間的耦合關(guān)系是相同的。另外，從工程實(shí)際角度來(lái)說(shuō)，一般只會(huì)在任務(wù)完工的相位提交評(píng)審。

可見(jiàn)，圖1所示的項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)很簡(jiǎn)單，加入評(píng)審策略后的轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)卻比較復(fù)雜(如圖2)，而且隨著原項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，其后續(xù)建模和計(jì)算難度也將越來(lái)越大。

2.2.3 CTMC建模

經(jīng)過(guò)2.2.2節(jié)項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換后，得到一個(gè)具備馬爾可夫性的轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)，本節(jié)將描述如何采用CTMC對(duì)其進(jìn)行建模。與第1章問(wèn)題描述類(lèi)似，假定所得轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)以單代號(hào)網(wǎng)絡(luò)圖G(N′,E′)表示，其中N′=(1,2,…,n′)為任務(wù)集合，E′=((j,i)|j,i∈N′)為任務(wù)間的緊前約束。從圖2可見(jiàn)，轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)中除了原不明確任務(wù)經(jīng)評(píng)審后可能出現(xiàn)的返工任務(wù)外，還存在Coxian分布帶來(lái)的任務(wù)跳轉(zhuǎn)(可視為另一種返工)。在原項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)信息基礎(chǔ)上，結(jié)合近似分布參數(shù)計(jì)算，可以獲得轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)中所有任務(wù)的工期和返工概率等參數(shù)。

顯然，當(dāng)轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)中的所有任務(wù)完工時(shí)，項(xiàng)目將永久停留在完工狀態(tài)。因此，本文需要構(gòu)建的是一個(gè)吸附CTMC模型。吸附CTMC由二元組{X,Q}表示，其中：

(1)系統(tǒng)狀態(tài)集合XX是由所有可能的項(xiàng)目執(zhí)行進(jìn)度狀態(tài)構(gòu)成的集合。在近幾年基于馬爾可夫理論的隨機(jī)資源受限項(xiàng)目調(diào)度研究中，系統(tǒng)狀態(tài)通常由完工任務(wù)集合和在制任務(wù)集合構(gòu)成[21]，或者由空閑任務(wù)集合與在制任務(wù)集合構(gòu)成[22]，或者由等待任務(wù)集合和在制任務(wù)集合構(gòu)成[23]。因?yàn)楸疚牟豢紤]資源約束，不存在等待任務(wù)集合的概念，所以可以直接定義系統(tǒng)狀態(tài)為在制任務(wù)集合，即x=Px。

qx,g(x,j,γj)=pγj/E(dj)。

(6)

同一狀態(tài)下不同的在制任務(wù)率先完工可能導(dǎo)致系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至相同的下一狀態(tài)，此時(shí)需要將這些情形下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率進(jìn)行累加，以得到最終的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率。

2.3 評(píng)審策略的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

如前所述，設(shè)計(jì)項(xiàng)目管理的目標(biāo)是使項(xiàng)目完工時(shí)間盡可能早，且波動(dòng)盡可能小，即設(shè)計(jì)任務(wù)評(píng)審策略的理想評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是項(xiàng)目完工時(shí)間期望和方差均最小。然而，這兩個(gè)目標(biāo)往往難以同時(shí)達(dá)到，需要進(jìn)行權(quán)衡。這種權(quán)衡問(wèn)題普遍存在于風(fēng)險(xiǎn)投資問(wèn)題中，學(xué)者們?cè)谘芯窟@種問(wèn)題時(shí)的主要方法是構(gòu)建均值—方差優(yōu)化模型。例如，Markowitz[24]對(duì)均值—方差優(yōu)化方法進(jìn)行了深入探討，解釋了為何采用均值—方差優(yōu)化而非均值最優(yōu)，并對(duì)近半個(gè)世紀(jì)內(nèi)均值—方差優(yōu)化的研究進(jìn)行了綜述；Gotoh等[25]探討了魯棒經(jīng)驗(yàn)優(yōu)化與均值—方差優(yōu)化的等價(jià)性問(wèn)題；LI等[26]構(gòu)建了零售商在均值—方差準(zhǔn)則下的收益模型；Luo等[27-28]針對(duì)產(chǎn)品組合保修政策優(yōu)化問(wèn)題，提出最大化利潤(rùn)和風(fēng)險(xiǎn)組合、在限制風(fēng)險(xiǎn)時(shí)最大化利潤(rùn)、在滿足利潤(rùn)要求時(shí)最小化風(fēng)險(xiǎn)3種均值—方差優(yōu)化方法。

與上述研究類(lèi)似，本文將項(xiàng)目完工時(shí)間期望E(T)和方差Var(T)進(jìn)行組合，以E(T)+δ×Var(T)作為評(píng)審策略的評(píng)價(jià)函數(shù)，其中δ≥0為權(quán)衡因子。極端情形下取δ=0，表示只追求項(xiàng)目完工時(shí)間均值最小，不考慮其波動(dòng)性。

3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)

本章以一個(gè)典型的模具設(shè)計(jì)項(xiàng)目為例設(shè)計(jì)計(jì)算實(shí)驗(yàn)，分析評(píng)審工期(包括工期折扣因子和評(píng)審準(zhǔn)備耗時(shí))、返工概率、任務(wù)關(guān)聯(lián)度等項(xiàng)目環(huán)境參數(shù)對(duì)評(píng)審策略的影響。計(jì)算程序采用Visual C#編程實(shí)現(xiàn)，電腦配置為CPU 2.50 GHz，4 G RAM。

3.1 算例數(shù)據(jù)

圖3所示為包含16個(gè)設(shè)計(jì)任務(wù)的典型模具設(shè)計(jì)項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)[29]，其中任務(wù)2，7，8，14為需求不明確的任務(wù)。假定任務(wù)對(duì)(2,7)和(8,14)有耦合關(guān)系，任務(wù)7和任務(wù)14的工期平方變異系數(shù)分別為1/3和2，其他任務(wù)節(jié)點(diǎn)的工期平方變異系數(shù)均為1，所有返工任務(wù)的工期均值為其常規(guī)任務(wù)工期均值的一半，工期平方變異系數(shù)與對(duì)應(yīng)常規(guī)任務(wù)的取值相同。

將上述設(shè)計(jì)項(xiàng)目中的4個(gè)不明確任務(wù)進(jìn)行組合，得到15種不同的評(píng)審策略。因?yàn)椴糠植幻鞔_任務(wù)之間不存在耦合關(guān)系，而且任務(wù)間的進(jìn)度差異可能較大，所以部分評(píng)審策略可直接判斷為不合理。例如，任務(wù)2與任務(wù)8和任務(wù)14無(wú)耦合關(guān)系且進(jìn)度差異較大，所有將任務(wù)2和任務(wù)8或任務(wù)2和任務(wù)14一起評(píng)審的策略都不合理。本文實(shí)驗(yàn)將分析以下4種評(píng)審策略：

(1)策略S1將4個(gè)任務(wù)分別單獨(dú)提交評(píng)審。

(2)策略S2將任務(wù)2和任務(wù)7一起提交評(píng)審，任務(wù)8和任務(wù)14單獨(dú)提交評(píng)審。

(3)策略S3將任務(wù)2和任務(wù)7單獨(dú)提交評(píng)審，任務(wù)8和任務(wù)14一起提交評(píng)審。

(4)策略S4將任務(wù)2和任務(wù)7一起提交評(píng)審，任務(wù)8和任務(wù)14一起提交評(píng)審。

通過(guò)對(duì)比S1和S2，以及S3和S4，可以分析出并行耦合任務(wù)2和任務(wù)7是否應(yīng)該一起評(píng)審；通過(guò)對(duì)比S1和S3，以及S2和S4，可以分析出串行耦合任務(wù)8和任務(wù)14是否應(yīng)該一起評(píng)審。另外，還將考慮如下不同項(xiàng)目環(huán)境參數(shù)和決策目標(biāo)對(duì)評(píng)審策略的影響：工期折扣因子β={0.8,0.9,1.0,1.1,1.2}；評(píng)審準(zhǔn)備耗時(shí)ζ={0,5,10}；返工概率系數(shù)c={0.05,0.075,0.1,0.125,0.15}(設(shè)定返工概率P2=3c，P7=4c，P8=4c，P14=3c)；關(guān)聯(lián)度系數(shù)r={0.75,1,1.25,1.5,1.75}(設(shè)定返工聯(lián)合概率P2,7=P7,2=P8,14=P14,8=rc)；權(quán)衡因子δ={0,1}。

3.2 結(jié)果與分析

基于上述實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置，利用本文建模和計(jì)算方法獲得各評(píng)審策略在每組參數(shù)組合下的項(xiàng)目完工時(shí)間概率分布和目標(biāo)函數(shù)值。為了更清晰地展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，首先按照δ的不同取值將實(shí)驗(yàn)結(jié)果分為兩組，然后在每一組實(shí)驗(yàn)中分別分析其他因素對(duì)4種評(píng)審策略的影響。第一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果(δ=0)如圖4～圖6所示，第二組實(shí)驗(yàn)結(jié)果(δ=1)如圖7～圖9所示。

從第一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在僅以項(xiàng)目完工時(shí)間期望為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)(δ=0)，4種因素對(duì)評(píng)審策略的表現(xiàn)均有顯著影響?？傮w來(lái)說(shuō)，當(dāng)評(píng)審固定耗時(shí)較小(ζ=0)時(shí)策略S1最優(yōu)，當(dāng)評(píng)審固定耗時(shí)較大(ζ=5和ζ=10)時(shí)策略S3最優(yōu)。針對(duì)每一種因素的詳細(xì)分析如下：

(1)在工期折扣因子方面 所有評(píng)審策略目標(biāo)函數(shù)均隨β呈正線性增長(zhǎng)，如圖4所示。在所有ζ取值下，S1均優(yōu)于S2且S3優(yōu)于S4，表明并行耦合任務(wù)2和任務(wù)7單獨(dú)評(píng)審更優(yōu)。相比之下，串行耦合任務(wù)8和任務(wù)14的評(píng)審更復(fù)雜。雖然當(dāng)ζ=0時(shí)，S1優(yōu)于S3，S2優(yōu)于S4，但是隨著ζ的增長(zhǎng)，S3逐漸優(yōu)于S1，S4逐漸優(yōu)于S2，而且S1的目標(biāo)函數(shù)比S3的目標(biāo)函數(shù)增長(zhǎng)得更顯著。原因是，S1會(huì)同時(shí)增長(zhǎng)4個(gè)評(píng)審節(jié)點(diǎn)的工期，而S3只增長(zhǎng)3個(gè)。簡(jiǎn)而言之，串行耦合任務(wù)組合評(píng)審策略在ζ較小時(shí)可能不是最優(yōu)，但是隨著ζ的增長(zhǎng)會(huì)逐漸表現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)。

(2)在返工概率系數(shù)方面 所有評(píng)審策略對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均隨c的增長(zhǎng)呈多項(xiàng)式增長(zhǎng)，如圖5所示。4種策略表現(xiàn)的優(yōu)劣與圖4所示結(jié)果相同，其內(nèi)在原因也與上述分析相同。

(3)在關(guān)聯(lián)度方面S1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與r無(wú)關(guān)，S2，S3，S4對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與r呈線性關(guān)系，如圖6所示。由于S1中4個(gè)任務(wù)獨(dú)立評(píng)審，關(guān)聯(lián)度的改變對(duì)CTMC沒(méi)有影響。相比之下，S2，S3，S4均有組合評(píng)審，關(guān)聯(lián)度變化會(huì)同時(shí)影響評(píng)審準(zhǔn)備時(shí)間和任務(wù)等待時(shí)間。對(duì)于串行耦合任務(wù)8和任務(wù)14，關(guān)聯(lián)度越大意味著其累積錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)越高，理論上應(yīng)該獨(dú)立評(píng)審，但是獨(dú)立評(píng)審將增加評(píng)審準(zhǔn)備時(shí)間。對(duì)于并行耦合任務(wù)2和任務(wù)7，關(guān)聯(lián)度增大將導(dǎo)致系統(tǒng)以更大的概率轉(zhuǎn)移至這兩個(gè)任務(wù)同時(shí)返工的狀態(tài)，即增加等待時(shí)間。因此，S3對(duì)應(yīng)函數(shù)值一直與r負(fù)相關(guān)，S2和S4對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與r之間的關(guān)系則隨ζ的增長(zhǎng)由正相關(guān)變?yōu)樨?fù)相關(guān)?？傊?種策略的表現(xiàn)優(yōu)劣與圖4所示結(jié)果相同，其內(nèi)在原因也與上述分析相同。

從第二組實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，當(dāng)以項(xiàng)目完工時(shí)間期望和方差組合(δ=1)為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，4種項(xiàng)目環(huán)境因素對(duì)評(píng)審策略的表現(xiàn)同樣有顯著影響?？傮w來(lái)說(shuō)，第二組實(shí)驗(yàn)結(jié)果與第一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果相似，區(qū)別在于圖7和圖8顯示部分策略之間存在交叉，表明在不同評(píng)審策略評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下，幾種策略的優(yōu)劣表現(xiàn)為部分環(huán)境下存在差異。造成這個(gè)現(xiàn)象的原因是PH分布的均值和方差同向變化(同時(shí)增加或減少)，但是變化速率不同。

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果給設(shè)計(jì)項(xiàng)目管理工程實(shí)際帶來(lái)以下兩方面重要啟示：①應(yīng)該根據(jù)所處項(xiàng)目環(huán)境選擇合適的評(píng)審策略。在大多數(shù)情形下，并行耦合任務(wù)應(yīng)獨(dú)立評(píng)審，串行耦合任務(wù)在評(píng)審耗時(shí)較小時(shí)應(yīng)獨(dú)立評(píng)審，反之則應(yīng)組合評(píng)審。②應(yīng)該集中精力降低返工概率，因?yàn)轫?xiàng)目完工時(shí)間隨返工概率呈多項(xiàng)式增長(zhǎng)，隨其余因素呈線性增長(zhǎng)。從管理角度來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)加強(qiáng)與客戶的有效溝通、規(guī)范需求分析與設(shè)計(jì)過(guò)程等方法來(lái)降低返工概率。

4 案例分析

為了驗(yàn)證本文所構(gòu)建模型和方法的工程實(shí)用性，同時(shí)驗(yàn)證上一章所得實(shí)驗(yàn)結(jié)論的可靠性，本章以深圳某企業(yè)的一套模具設(shè)計(jì)過(guò)程為例進(jìn)行分析。

該企業(yè)模具設(shè)計(jì)包括產(chǎn)品分析、2D設(shè)計(jì)、3D設(shè)計(jì)和出正式圖紙等幾個(gè)步驟，流程如圖10所示。通過(guò)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如表1所示的任務(wù)工期參數(shù)信息。

表1 任務(wù)工期參數(shù)信息

任務(wù)工期均值/h工期方差平方變異系數(shù)產(chǎn)品分析(常規(guī))8641產(chǎn)品分析(返工)4161客戶確認(rèn)1228822D設(shè)計(jì)(常規(guī))2457612D設(shè)計(jì)(返工)86413D設(shè)計(jì)(常規(guī))487681/33D設(shè)計(jì)(返工)8641正式圖紙162561

產(chǎn)品分析需要提交客戶確認(rèn)，2D和3D設(shè)計(jì)后需要提交組長(zhǎng)/設(shè)計(jì)主管評(píng)審，三者串行耦合。因?yàn)榭蛻粢笙冗M(jìn)行確認(rèn)，而且客戶確認(rèn)后可以提前采購(gòu)部分大型物料，所以產(chǎn)品分析不會(huì)與2D和3D設(shè)計(jì)組合評(píng)審。統(tǒng)計(jì)得知，客戶確認(rèn)后的返工概率為0.25，2D和3D評(píng)審每次準(zhǔn)備耗時(shí)ζ大約在0.5～1 h，工期折扣因子β=0.167，2D評(píng)審的返工概率為0.5。若2D評(píng)審后再進(jìn)行3D設(shè)計(jì)，則3D評(píng)審的返工概率為0.3，否則將因錯(cuò)誤累積而增至0.6。

該企業(yè)當(dāng)前是將2D和3D單獨(dú)評(píng)審，需要分析其與組合評(píng)審策略哪種更優(yōu)：①策略S1，將2D和3D設(shè)計(jì)單獨(dú)提交組長(zhǎng)/設(shè)計(jì)主管評(píng)審；②策略S2，將2D和3D設(shè)計(jì)一起提交給組長(zhǎng)/設(shè)計(jì)主管評(píng)審。

采用本文所建模型與方法得到表2所示的結(jié)果。若僅以完工時(shí)間均值作為評(píng)審策略的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)(δ=0)，則獨(dú)立評(píng)審策略S1在ζ≤1時(shí)更優(yōu)，而組合評(píng)審策略S2在ζ=2時(shí)更優(yōu)；若以完工時(shí)間和方差同時(shí)作為評(píng)審策略的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)(δ=1)，則獨(dú)立評(píng)審策略在3種情形下均更優(yōu)。由此可見(jiàn)，企業(yè)當(dāng)前的評(píng)審策略是合理的，該結(jié)果與本文實(shí)驗(yàn)結(jié)論一致。

表2 兩種評(píng)審策略的計(jì)算結(jié)果

如前所述，企業(yè)可以通過(guò)提高設(shè)計(jì)員能力、加強(qiáng)與客戶的有效溝通等方式降低返工概率。為了更全面地分析上述案例并進(jìn)一步驗(yàn)證本文實(shí)驗(yàn)結(jié)論，在假定該企業(yè)降低返工概率的情形下對(duì)比兩種策略的優(yōu)劣。不失一般性，假定客戶確認(rèn)后的返工概率降為0.2，2D評(píng)審的返工概率降為0.3，2D評(píng)審后再進(jìn)行3D設(shè)計(jì)的3D評(píng)審返工概率降為0.2，因錯(cuò)誤累積的3D評(píng)審返工概率降為0.4，計(jì)算得到表3所示的結(jié)果(其中Dev(E(T))%和Dev(Var(T))%分別表示項(xiàng)目完工時(shí)間的均值和方差與表2結(jié)果的偏差百分比)?？梢钥闯觯啾缺?，降低返工概率后，項(xiàng)目完工時(shí)間均值和方差均顯著減小(下降約6%)。在低返工概率下，策略S1對(duì)應(yīng)的E(T)和Var(T)在3種情形下均小于策略S2的對(duì)應(yīng)值，即S1優(yōu)于S2。另外，隨著ζ的增長(zhǎng)，兩種評(píng)審策略之間的差距明顯縮小，其原因同第3章實(shí)驗(yàn)結(jié)果的詳細(xì)分析。

表3 降低返工概率后的兩種評(píng)審策略計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)具有一般工期和隨機(jī)返工的設(shè)計(jì)任務(wù)評(píng)審策略分析問(wèn)題，基于PH分布構(gòu)建了項(xiàng)目完工時(shí)間概率分布估算解析模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，項(xiàng)目環(huán)境因素對(duì)評(píng)審策略的表現(xiàn)有顯著影響，沒(méi)有哪種策略在所有環(huán)境下均最優(yōu)。一般來(lái)說(shuō)，并行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)應(yīng)獨(dú)立評(píng)審，串行耦合設(shè)計(jì)任務(wù)在評(píng)審準(zhǔn)備時(shí)間較小時(shí)應(yīng)獨(dú)立評(píng)審，否則應(yīng)組合評(píng)審。本文研究還發(fā)現(xiàn)，返工概率是影響設(shè)計(jì)項(xiàng)目完工時(shí)間的首要因素，企業(yè)應(yīng)重點(diǎn)利用有效溝通和規(guī)范設(shè)計(jì)等方式來(lái)降低任務(wù)返工概率。最后，通過(guò)深圳某企業(yè)模具設(shè)計(jì)過(guò)程應(yīng)用案例驗(yàn)證了模型和方法的有效性。

本文所構(gòu)建的模型和方法具有一定普適性，對(duì)研發(fā)評(píng)審、制造質(zhì)檢等問(wèn)題均具有一定指導(dǎo)意義。然而，當(dāng)項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大時(shí)，PH分布會(huì)面臨大規(guī)模矩陣運(yùn)算無(wú)法求解的問(wèn)題，采用仿真等方法是更好的選擇。下一階段工作將研究對(duì)應(yīng)的評(píng)審策略動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題。