以任意高維糾纏態(tài)為量子信道的受控隱形傳態(tài)

彭家寅

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江641199

1 引言

1993年，通過量子力學(xué)資源傳輸量子態(tài)的思想是由Bennett等人[1]于1993年率先提出，他們使用Einstein-Podolsky-Rosen對和經(jīng)典通信，將一個單粒子未知量子態(tài)從發(fā)送端傳送到遠(yuǎn)程接收端，而沒有傳輸量子態(tài)載體本身。在光學(xué)實驗中，用偏振光子[1]和單相干場模式[2]實現(xiàn)了量子態(tài)遠(yuǎn)距離傳輸。在Bennett等[1]的開創(chuàng)性工作之后，一些研究者利用不同類型的量子信道，設(shè)計出了許多隱形傳態(tài)協(xié)議[3-13]。其中大多數(shù)的隱形傳態(tài)方案涉及到了一些特定的量子信道，如二維希爾伯特空間中EPR對的復(fù)合態(tài)或多粒子糾纏態(tài)。

受控隱形傳態(tài)[14-20]是隱形傳態(tài)的一種擴(kuò)展版，其接收者只有在監(jiān)控者的許可下，才能重構(gòu)發(fā)送者的原始量子態(tài)。1998年，Karlssion和Bourennane[14]率先提出以三粒子GHZ態(tài)為信道來傳遞一個單粒子態(tài)的受控隱形傳態(tài)協(xié)議。2004年，Yang等[17]提出了傳輸多量子信息的多方受控隱形傳態(tài)協(xié)議。2005年，Deng等[18]提出了任意二粒子糾纏態(tài)的受控隱形傳態(tài)方案，該方案可以不加任何修改地直接用于受控隱形傳態(tài)。Zhou[19]和Dong[20]等提出利用非最大糾纏態(tài)作為量子信道、任意多個粒子的態(tài)的多方受控隱形傳態(tài)方案。文[21-23]研究了多方分享多維量子態(tài)協(xié)議，這些協(xié)議也可以直接作為多方受控隱形傳態(tài)方案。相對而言，高維量子比特比二維量子比特攜帶更多的信息[24]。通過將幾個量子比特組合成一個單一的、高維的系統(tǒng)，這些量子比特之間的門變成遠(yuǎn)小于二維量子比特的單個高維量子比特的操縱，這可能更可靠。但值得注意的是，在上述所有方案中，發(fā)送者要傳送的態(tài)的粒子維數(shù)與量子信道中粒子的維數(shù)是相同的。最近，Zhan等[25]用三維糾纏態(tài)作為信道，提出一個關(guān)于二維單粒子態(tài)的隱形傳態(tài)的協(xié)議，并將之推廣到用任意d-維糾纏態(tài)作為信道、關(guān)于傳遞f維的量子隱形傳態(tài)的情況(d＞f)。接著，給出了采用不同維數(shù)的量子信道，遠(yuǎn)程地執(zhí)行單量子未知酉算子的一個協(xié)議[26]。

本文在文獻(xiàn)[25]的基礎(chǔ)上，研究高維信道的受控隱形傳態(tài)問題。首先以三維量子糾纏態(tài)為信道，建立起發(fā)送者、接收者和控制者三方合作傳送二維未知單量子態(tài)的方案，并將之推廣到d-維量子糾纏信道的t-維未知單量子態(tài)傳輸情形(d＞t)。

2 以三維量子態(tài)為信道態(tài)的受控隱形二維單量子傳態(tài)

為了討論方便，首先考慮(3×2)-維Hilbert空間中的如下一個最大量子糾纏態(tài)：

其中，p是三維Hilbert空間中的粒子，而q是二維Hilbert空間中的粒子。容易計算得到：作用在粒子p上的單體算子：

這里m′=0,1,2；n′=0,1。

現(xiàn)在考慮量子隱形傳態(tài)方案：假設(shè)在監(jiān)控者Charlie的控制下，Alice想要把任意未知二維單量子態(tài)：

傳送給Bob，這里，α和β是任意復(fù)系數(shù)且滿足 ||α2+|β|2=1。Alice、Bob和Charlie事先安全地分享如下一個三維量子糾纏態(tài)：

其中，粒子A、B和C分別屬于Alice、Bob和Charlie。整個系統(tǒng)的態(tài)可以表示成：

3 以d-維量子態(tài)為信道態(tài)的受控隱形t-維單量子傳態(tài)

將第2章結(jié)果推廣到更一般的情形。為此，考慮一個(d×t)-維Hilbert空間中的最大糾纏態(tài)：

其中，p是d-維Hilbert空間中的粒子，q是t-維Hilbert空間中的粒子，且p＞q。單體變換：

其中，k=0,1,…,d-1；l=0,1,…,t-1。具體地：

將單體變換Ukl作用在粒子p上，可將

具體如下：

其中，k=0,1,…,d-1，l=0,1,…,t-1。

下面轉(zhuǎn)到本文的方案上來，假設(shè)發(fā)送者Alice、接收者Bob和監(jiān)控者Charlie事先分享如下所示的d-維量子態(tài)：

其中，粒子A B和C分別屬于Alice、Bob和Charlie。假定Alice希望將如下一個t-維單粒子未知態(tài)傳送給Bob：

Charlie收到信息后，若他愿意合作完成任務(wù)，那么他用如下所示的基：

其中，r=0,1,…,d-1，對粒子C進(jìn)行測量，并將測量結(jié)果通知Bob。如果測量為，則粒子B的態(tài)變?yōu)椋?/p>

Bob根據(jù)Alice和Charlie的測量結(jié)果，并對粒子B執(zhí)行如下所示的d-維酉變換

(s,t=0,1,…,d-1)中的適當(dāng)變換Wr0，則變成：

然后，對粒子B施行式（10）所示的單體變換Ud-k,0，有：

再對粒子B施行單體變換U0l，于是

這表明Bob已經(jīng)獲得了Alice的原始秘密，從量子任務(wù)完成。

4 結(jié)論

在幾乎所有的現(xiàn)有量子隱形傳態(tài)協(xié)議中，發(fā)送者要傳送粒子的系統(tǒng)Hilbert空間的維數(shù)等于發(fā)送者與接收者分享的量子信道的維數(shù)。然而，真實世界中量子通信的各方事先分享的量子態(tài)的維數(shù)不總是與所要傳輸?shù)牧孔討B(tài)的維數(shù)相同，特別是在某種緊急情景下，需傳遞特殊的量子信息時，這種維數(shù)的不一致是完全有可能出現(xiàn)的。從而，研究高維量子信道的隱形傳態(tài)是有必要的。

為此，本文首先給出利用三維量子信道去傳送二維單量子未知態(tài)的方案，該方案要求發(fā)送者Alice對她的粒子對進(jìn)行非對稱基測量，監(jiān)控者Charlie對自己粒子廣義單粒子投影測量，而接收者Bob需對其粒子執(zhí)行三維酉變換和單體變換。此后，將上述方案進(jìn)行了推廣：把三維量子信道換成d-維量子信道，將二維單粒子未知態(tài)傳輸換成小于d的任意f-維單粒子未知態(tài)的傳輸，方案仍然能夠以100%的概率成功實現(xiàn)。當(dāng)然，上述兩個方案的實現(xiàn)都離不開監(jiān)察者的許可；否則，隱形傳態(tài)任務(wù)失敗。此外，利用單體變換構(gòu)造了兩組非對稱正交測量基，它們是這些方案中的一個關(guān)鍵要素。局部高維酉變換、單體變換和經(jīng)典通信也是本文方案要求的。由于受控隱形傳態(tài)在網(wǎng)絡(luò)量子信息處理和加密協(xié)議中非常有用[27]，因此本文的方案有助于拓展量子信息科學(xué)的隱形態(tài)領(lǐng)域。