王霞

[摘 要]? 初中數(shù)學(xué)命題教學(xué)應(yīng)立足核心素養(yǎng)，有效運(yùn)用變式策略，從命題的發(fā)現(xiàn)、證明和運(yùn)用方面，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);變式策略;命題教學(xué);核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)命題是表示數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)或關(guān)系的判斷語(yǔ)句。初中階段的命題學(xué)習(xí)主要是指對(duì)定理和公式的學(xué)習(xí)。定理公式具有言簡(jiǎn)意賅、環(huán)環(huán)相扣的特點(diǎn)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，直接關(guān)乎到學(xué)生抽象、推理、建模等能力的培養(yǎng)，而“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建?！庇质浅踔须A段學(xué)生所必備的重要核心素養(yǎng)。因此，命題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。變式策略是指通過(guò)變更觀察事物的角度和方法，將問(wèn)題中的非本質(zhì)因素改變，突出和實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)教學(xué)的一種方法模式。變式策略對(duì)學(xué)生創(chuàng)新精神和思維品質(zhì)的培養(yǎng)具有積極能動(dòng)作用，是落實(shí)命題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效手段。由于命題包含著數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的完整的邏輯關(guān)系，命題教學(xué)可以分為發(fā)現(xiàn)的、證明的和運(yùn)用的三種形式。下面，從這三方面入手，立足核心素養(yǎng)，就如何在命題教學(xué)中有效實(shí)施變式策略進(jìn)行探討。

一、命題發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的變式——同化認(rèn)知，尋探“問(wèn)題境域”必然性

案例1 在學(xué)習(xí)人教版教材七年級(jí)下冊(cè)“垂線段最短”時(shí)，教材中提出如下問(wèn)題：如圖1，在灌溉時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠能使渠道最短？對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生而言，剛接觸幾何證明，解決這個(gè)問(wèn)題有若干困難：首先，題目中的“河岸”和“農(nóng)田”應(yīng)抽象為哪些要素;其次，直線外一點(diǎn)和直線上某點(diǎn)所連的“線”中，選擇哪種連線更適合;再次，連線的位置在哪里才能保證路徑最短，為什么最短?；趯W(xué)生的這種心理需求，可利用幾何畫板軟件，設(shè)計(jì)可觀量的動(dòng)態(tài)變化操作：操作1，如圖2，將“河岸”和“農(nóng)田”分別抽象為直線L和直線外一點(diǎn)P。從直線L上任取一點(diǎn)D，分別用線段、折線、弧線連接點(diǎn)P和點(diǎn)D，同時(shí)度量顯示它們的路徑長(zhǎng)度。拖動(dòng)點(diǎn)D，不斷變換點(diǎn)D在直線上的位置，觀察對(duì)比點(diǎn)D在同一位置時(shí)三條路徑長(zhǎng)度的大小。操作2，如圖3，改變觀察對(duì)象，拖動(dòng)點(diǎn)D，不斷變換點(diǎn)D在直線上的位置，觀察對(duì)比點(diǎn)D在不同位置時(shí)線段PD的長(zhǎng)度及∠PDF的度數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】以上兩個(gè)“操作”的設(shè)計(jì)，旨在讓學(xué)生從不同的點(diǎn)位和視角來(lái)觀察比較，體會(huì)“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”這一命題的合理性?！按咕€段最短”是幾何公理，屬于原發(fā)性命題，對(duì)于這類命題的教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生借助變式思維尋找合適的路徑，對(duì)命題進(jìn)行深刻解讀學(xué)習(xí)，使命題出現(xiàn)的合理性和必要性同化到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和思維能力。

案例2 如圖4，點(diǎn)O是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，連接AO、BO、CO、DO，利用所得到的四個(gè)三角形，求四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的和;若將四邊形變?yōu)槲暹呅?，則五邊形的內(nèi)角和是多少度？n邊形呢？

變式1，如圖5，若點(diǎn)O與四邊形ABCD的頂點(diǎn)B重合，連接BD，其他條件不變，則有怎樣的結(jié)論？變式2，如圖6，若點(diǎn)O是四邊形ABCD邊BC上任一點(diǎn)（不與B、C重合），連接OA、OD，其他條件不變，則有怎樣的結(jié)論？

【設(shè)計(jì)意圖】本例是在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理的基礎(chǔ)上，對(duì)多邊形內(nèi)角和定理的探究和發(fā)現(xiàn)。以四邊形為例，設(shè)計(jì)點(diǎn)O在不同位置時(shí)的問(wèn)題情形，讓學(xué)生在不同情境的探索中，發(fā)現(xiàn)歸納多邊形內(nèi)角和公式。像這種在已有定理的基礎(chǔ)上推理得到的繼發(fā)性命題，要著眼于構(gòu)造不同情形下而本質(zhì)不變的問(wèn)題“境域”。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生感受到命題發(fā)生、發(fā)現(xiàn)的必然性，同時(shí)在探究過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模意識(shí)。

二、命題證明教學(xué)中的變式——多元組合，提升數(shù)學(xué)思維層次

案例3 勾股定理的證明。

人教版教材八年級(jí)下冊(cè)介紹了利用“趙爽弦圖”證明這個(gè)命題的方法（如圖7，證明過(guò)程略）。由此，可以沿著“拼接全等直角三角形”的思路，設(shè)計(jì)不同的變式圖形加以證明。

變式1，將圖7中的四個(gè)全等直角三角形沿各自斜邊翻折，得到如圖8所示的圖形，試證明勾股定理;變式2，將圖7中相鄰的兩個(gè)全等直角三角形沿各自斜邊翻折，其他兩個(gè)直角三角形位置不變，得到如圖9所示的圖形，試證明勾股定理;變式3，只保留圖7中兩個(gè)相鄰的直角三角形，構(gòu)造如圖10所示的圖形，試證明勾股定理。

【設(shè)計(jì)意圖】基于“趙爽弦圖”的三個(gè)圖形變式，都能較為容易地證明勾股定理，命題證明中宏觀思路的確立，通常都與解決問(wèn)題的視角有關(guān)，不同圖形下的證明思路對(duì)應(yīng)不同的思維層面，這些變式之間既有相通之處又各有特點(diǎn)。像本案例中通過(guò)變化直角三角形的排列方式，也變化出多元思維的“萬(wàn)花筒”，給學(xué)生提供了洞察這一連串推導(dǎo)證明背后真相的機(jī)會(huì)，進(jìn)而對(duì)知識(shí)的精髓產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí)，更好地提升數(shù)學(xué)思維層次。

三、命題運(yùn)用教學(xué)中的變式——形成能力，促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展

案例4 在學(xué)習(xí)了平方差公式[（a+b）（a-b）=a2-b2]后，教材提供了以下例題：

例1 運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）[（3x+2）（3x-2）];（2）[（-x+2y）（-x-2y）]

多數(shù)學(xué)生能夠正確地解答上述例題，但在日常教學(xué)實(shí)踐中也不難發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生對(duì)公式的理解僅停留在比較淺的層面，對(duì)公式本身結(jié)構(gòu)特征的理解還不夠透徹。為此，設(shè)計(jì)下列逐層遞進(jìn)的變式訓(xùn)練題組：

變式1 利用平方差公式計(jì)算各式：（1）[（2+3x）（3x-2）];（2）[（2y-x）（-2y-x）]

變式2 填空：（1）[（____-____）（-3x+2）=9x2-4];（2）[（____-____）（___+____）=x2y2-0.36]

變式3 化簡(jiǎn)求值：當(dāng)[x=-12]時(shí)，求[（x-1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）]的值。

【設(shè)計(jì)意圖】以上變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)采用了題組的形式，旨在拓寬思路，加強(qiáng)對(duì)命題的理解和鞏固。變式1是改變多項(xiàng)式中“項(xiàng)”的位置，打破了各項(xiàng)“按位就坐”的順序，學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察整理后會(huì)發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)符號(hào)特征與公式是完全對(duì)應(yīng)的，從而明確決定公式結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵因素是符號(hào)特征;變式2是讓學(xué)生從逆向運(yùn)用的角度，進(jìn)一步理解公式結(jié)構(gòu)特征的內(nèi)涵，也為后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解做鋪墊;變式3需要添加因式[（x+1）]后使用公式，旨在在鞏固平方差公式的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)層次的理解更加深刻，初步建立運(yùn)用公式解決問(wèn)題的思維體系。

命題運(yùn)用教學(xué)中的變式訓(xùn)練，要注意數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)，夯實(shí)基礎(chǔ)，建構(gòu)體系，形成能力。通過(guò)提供系統(tǒng)的、多樣化情境的變式訓(xùn)練活動(dòng)，不斷啟發(fā)學(xué)生從解決問(wèn)題中獲取思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提高學(xué)生將陳述性命題轉(zhuǎn)化為程序性命題的能力，逐步提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)水平。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]徐光考.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京：國(guó)家行政學(xué)院出版社，2013.

[2]鄭慶全.數(shù)學(xué)命題教學(xué)研究：數(shù)學(xué)教育研究“繞不開的廣闊領(lǐng)地”[J].山東教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（5）.

（責(zé)任編輯：趙曉梅）