嚴(yán)世濤 唐忠國 鄒一強(qiáng)

摘要：文章對標(biāo)準(zhǔn)衰變方程進(jìn)行了討論，分析了雙參數(shù)取值對應(yīng)的養(yǎng)護(hù)模式，給出了參數(shù)的確定方法，結(jié)合灰色理論，建立了衰變預(yù)測模型，提出了誤差分析及收斂性評價標(biāo)準(zhǔn)，將預(yù)測模型應(yīng)用于工程實例，并與標(biāo)準(zhǔn)衰變模型進(jìn)行對比。結(jié)果表明，該方法具有精度高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點，對科學(xué)養(yǎng)護(hù)決策具有一定的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：灰色理論;瀝青路面;使用性能;衰變預(yù)測

0 引言

路面預(yù)防性養(yǎng)護(hù)是保持公路性能長期處于良好狀態(tài)的關(guān)鍵，是涵蓋了選擇養(yǎng)護(hù)對象、判斷養(yǎng)護(hù)時機(jī)、實施預(yù)防性養(yǎng)護(hù)措施的綜合養(yǎng)護(hù)體系[1]。養(yǎng)護(hù)時機(jī)的準(zhǔn)確判斷需通過對路面使用性能進(jìn)行分析、預(yù)測得出。如何通過已有的實測數(shù)據(jù)預(yù)測其隨時間的變化發(fā)展趨勢，獲得準(zhǔn)確的預(yù)測值，進(jìn)而做出科學(xué)的養(yǎng)護(hù)決策，已成為公路運營管理者關(guān)心的問題。國內(nèi)學(xué)者圍繞路面性能預(yù)測開展了大量的研究工作，形成了以回歸分析為基礎(chǔ)的確定性模型及以數(shù)理統(tǒng)計為基礎(chǔ)的概率性模型。孫立軍[2]分析了路面使用性能的四類基本衰變模式，提出了標(biāo)準(zhǔn)衰變方程。劉伯瑩[3]從概率分布的角度出發(fā)，提出了基于馬爾科夫過程的瀝青路面性能預(yù)測理論。王艷麗[4]等基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，考慮了自然因素的影響，建立了非線性的預(yù)估模型。以上理論在實際工程的實現(xiàn)均建立在大量數(shù)據(jù)的回歸分析或概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)上。

針對國內(nèi)公路瀝青路面工況復(fù)雜、變化性大、統(tǒng)計數(shù)據(jù)較匱乏的特點，本文將灰色系統(tǒng)理論引入標(biāo)準(zhǔn)衰變方程的應(yīng)用中，建立瀝青路面使用性能衰變的灰色預(yù)測模型。該方法以較少的實測數(shù)據(jù)作為分析對象，將復(fù)雜的工況影響因素作為模型的灰色信息，具有與實際工況符合好、預(yù)測精度高等優(yōu)點。

1 路面使用性能的標(biāo)準(zhǔn)衰變模型

針對路面性能的衰變情況受到復(fù)雜多因素耦合影響的特點，文獻(xiàn)[1]提出了通用的路面使用性能的標(biāo)準(zhǔn)衰變方程：

式（1）中，PPI（指PCI、RDI、SCI等）為t時刻的使用性能指數(shù)，t的單位一般以年計;PPI0為初始時刻使用性能指數(shù)，可根據(jù)問題的初值直接給定，也可與a、b一起作為未知量擬合得出;a、b為與路面綜合工況相關(guān)的系數(shù)，可通過式（2）的函數(shù)表示，其中自變量θ1，θ2，…，θn分別表示結(jié)構(gòu)組合狀況、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、交通量、氣候條件、材料特性等。通過對系數(shù)a、b合理取值，可得到路面使用性能的標(biāo)準(zhǔn)衰變模型：

在實際應(yīng)用上不需要給出f1、f2的顯示表達(dá)式，而是通過將在以上自變量θ1，θ2…θn作用下得到的路面使用性能的實測值進(jìn)行回歸分析，得到針對特定路段的衰變模型。這樣得到的衰變模型具有特異性，有利于工程應(yīng)用，也不失可移植性。

圖1給出了標(biāo)準(zhǔn)衰變方程曲線的基本形式，實際工程中，通過合理的養(yǎng)護(hù)措施，路面性能會呈現(xiàn)類似圖中理想預(yù)防性養(yǎng)護(hù)曲線的變化規(guī)律。圖2～4分別討論了參數(shù)a、b的變化對曲線形狀的影響。圖2表明，當(dāng)b>1時，圖形為凸形曲線，即路面初期養(yǎng)護(hù)較好，衰變速率較慢，隨著年限增加，使用性能逐步衰退，衰變速率呈增快趨勢。圖3表明，當(dāng)b<1時，圖形為凹形曲線，即對路面初期養(yǎng)護(hù)工作不重視，衰變幅度較大，衰變速率較快，在較短時間內(nèi)路面使用性能下降了較大幅度后，由于下降的空間減小，衰變速率減緩?？梢钥闯?，系數(shù)b代表路面壽命期內(nèi)的服役歷史。當(dāng)b一定時，衰變曲線的形狀具有相似性，a越小，在相同時間區(qū)間內(nèi)路面性能衰變幅度越明顯。系數(shù)a的物理意義可考察式（1）得出，取t=a時：

即系數(shù)a表征了PPI值衰變到初始值的63.2%所需要的時間。

圖4給出了當(dāng)a固定時，衰變曲線形狀隨b取值變化的情況。當(dāng)b=0.8～1.2時，衰變曲線較平緩，接近于直線。根據(jù)以上分析，可以得到應(yīng)用式（1）分析路面性能演化時參數(shù)選取的方法。

參數(shù)a、b的選取決定了衰變方程曲線的具體形式，因此標(biāo)準(zhǔn)衰變方程也被稱為雙參數(shù)衰變方程。a、b的取值不同，曲線形式的差異有可能會很大。在實際操作中常根據(jù)實測路面性能指標(biāo)通過最小二乘法擬合得到衰變方程。通過擬合得到的方程曲線，并不是嚴(yán)格地經(jīng)過每一個實測值，而是通過控制擬合值和真實值在離散點t上誤差的平方和最小值來得到：

這里，PPI[TX-]為實測值，PPI為擬合值。由此得到的衰變曲線取決于擬合數(shù)據(jù)的項數(shù)及參數(shù)a、b在擬合過程中初值的選擇。本文將對這一方法帶來的誤差影響進(jìn)行探討，并提出相應(yīng)的解決方案。

2 基于灰色理論的預(yù)測模型

2.1 GM（1，1）預(yù)測模型

較多的擬合數(shù)據(jù)可提高曲線擬合的精度，然而人們通常需要在實測數(shù)據(jù)較少的情況下開展路面使用性能分析和預(yù)測的工作，將面臨建模偏差甚至失真的問題。為解決這一矛盾，本文嘗試將灰色理論引入瀝青路面使用性能衰變模型中。

灰色理論由鄧聚龍教授于1982年[5]提出，是一種有效分析事物（問題）內(nèi)部各影響因素間聯(lián)系的微分模型，被廣泛應(yīng)用于國民經(jīng)濟(jì)各個領(lǐng)域的分析預(yù)測上。GM（1，1）模型是其中最簡明且最具有代表性的一種預(yù)測模型，通過對分析變量建立微分方程組求解得到。設(shè)待求變量為x，含有m個元素，在本文問題中，變量x指代待預(yù)測路面性能指數(shù)PPI：

式（5）中上標(biāo)（0）代表原始數(shù)據(jù)，演算次數(shù)為0次。對x（0）做1次累加演算，得到1次累加生成數(shù)列x（1）[上標(biāo)（1）表示經(jīng)過1次累加演算]為：

2.2 收斂性及誤差分析

式（4）定義的誤差最小二乘平方和J作為在求解域內(nèi)的評價指標(biāo)，反映了擬合模型的總體精度，但這一指標(biāo)無法針對其在各離散時間節(jié)點上的精度及收斂性進(jìn)行評價。為此，本文引入了誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ及小誤差概率p，作為預(yù)測模型的補(bǔ)充評判指標(biāo)：

式中，e=（PPI-PPI[TX-]）;N為實測（擬合）數(shù)據(jù)項數(shù);D（PPI[TX-]）代表實測值的方差。σ愈小，則表示擬合函數(shù)在各離散時間節(jié)點上的誤差分布愈均勻，反之則各點誤差震蕩較大。p愈大，則表示擬合函數(shù)在各點的擬合值接近實測值的概率愈大。p取得最大值1時，表示擬合函數(shù)在各離散點誤差小于式（17）中的限定值，為可接受的小誤差。

3 工程實例

3.1 工程背景

南寧至友誼關(guān)高速公路是廣西第一條瀝青路面高等級公路，2006年通車以來，由于采取預(yù)防性養(yǎng)護(hù)措施得當(dāng)，該路段PCI保持較高水平（見下頁表1），通車至今未進(jìn)行大修。主要養(yǎng)護(hù)措施及養(yǎng)護(hù)歷史為：

（1）重視疏導(dǎo)排水、路面封縫、坑槽修補(bǔ)等日常預(yù)防性養(yǎng)護(hù)工作。

（2）對抗滑指標(biāo)衰減較快的路段采取霧封層、微表處等處置措施。

（3）2014年起分階段完成了加鋪超薄磨耗層罩面預(yù)防性養(yǎng)護(hù)。

（4）對車轍病害較嚴(yán)重的路段采取銑刨重鋪養(yǎng)護(hù)措施。

將表1數(shù)據(jù)繪制于圖5內(nèi)，并與理想預(yù)防性養(yǎng)護(hù)模式曲線進(jìn)行對比，可知該路段的養(yǎng)護(hù)工作符合預(yù)防性養(yǎng)護(hù)規(guī)律。t=8時刻對應(yīng)于2014年，加鋪薄層的預(yù)防性養(yǎng)護(hù)措施使道路使用狀況指標(biāo)得到了提升。

3.2 預(yù)測模型的建立

將該路段的服役期分為兩個時段，第一時段為t=1～8，主要用于驗證本文方法、建立預(yù)測模型;第二時段為t=9～N，將形成的預(yù)測模型用于實現(xiàn)路面使用性能指標(biāo)的預(yù)測。

針對第一時段的建模，分別采用t=1～3、t=1～4、t=1～6的實測數(shù)據(jù)直接通過式（1）進(jìn)行回歸擬合，獲取對應(yīng)的衰變函數(shù)，分別以F1、F2、F3表示;同時考慮采用本文提出的引入灰色理論預(yù)測值作為擬合值的方案，首先以t=1～4的實測值為初始值，通過GM（1，1）灰色理論預(yù)測，得到t=1～8的灰色理論預(yù)測值，以灰色理論預(yù)測值通過式（1）進(jìn)行擬合，得到對應(yīng)的衰變函數(shù)，以FGM表示。F1、F2、F3、FGM計算結(jié)果如表2所示，以上函數(shù)曲線及其相對誤差如圖6及圖7所示。最后分別計算各預(yù)測函數(shù)對應(yīng)的最小二乘誤差J、相對誤差標(biāo)準(zhǔn)值σ及小誤差概率p，作為評價各擬合方案收斂性的依據(jù)，結(jié)果列于表3。

圖6及圖7表明，擬合函數(shù)的形式受擬合數(shù)據(jù)的影響較大，采用不同項數(shù)的初始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到的曲線差別較大。F1由于用于擬合的初始數(shù)據(jù)較少，建模過程中未能充分考慮后期養(yǎng)護(hù)措施帶來的影響，在t=1～3時間區(qū)段內(nèi)與實測數(shù)據(jù)吻合較好，但后期預(yù)測結(jié)果與實測值存在較大偏差。F3使用了較多實測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，在t=1～6時間區(qū)段內(nèi)與實測數(shù)據(jù)吻合較好，但由于預(yù)測點已接近區(qū)間邊界，受到邊界效應(yīng)的影響，因此對后期預(yù)測結(jié)果干擾較大。F2、FGM均采用t=1～4期間的數(shù)據(jù)作為初始值，既對路面性能衰變的規(guī)律進(jìn)行了充分模擬，又減小了邊界效應(yīng)的影響，因此結(jié)果更接近于實測值。

進(jìn)一步對表3進(jìn)行分析得知，F(xiàn)GM由于先形成了數(shù)據(jù)的灰色預(yù)測值，得以將衰變規(guī)律延伸至邊界處，因此相比F2而言精度有所提高。

3.3 預(yù)測模型的應(yīng)用

將3.2節(jié)建立的灰色衰變預(yù)測模型FGM用于南寧至友誼關(guān)高速公路后期路面使用性能預(yù)測中，以第9年實測值作為初值代入模型，預(yù)測結(jié)果如表4所示，衰變曲線如圖8所示。

根據(jù)預(yù)測結(jié)果，本文建議于t=14～16期間針對路面病害發(fā)展情況采取專項預(yù)防性養(yǎng)護(hù)措施，保持路面處于良好的周期性預(yù)防性養(yǎng)護(hù)狀態(tài)下，有助于提升路面使用性能指數(shù)水平。

4 結(jié)語

（1）本文對標(biāo)準(zhǔn)衰變方程的參數(shù)進(jìn)行了討論，分析了不同取值組合時對應(yīng)的衰變模式，給出了結(jié)合路面服役歷史，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)衰變方程預(yù)測路面使用性能時確定模型參數(shù)的方案。

（2）本文將灰色理論GM（1，1）預(yù)測模型引入路面使用性能衰變預(yù)測中，建立GM（1，1）衰變預(yù)測模型，彌補(bǔ)了由于擬合初始數(shù)據(jù)數(shù)量變化導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)衰變模型不穩(wěn)定的不足，并給出相應(yīng)的誤差分析及收斂性評價標(biāo)準(zhǔn)。

（3）結(jié)合實際工程，分別采用標(biāo)準(zhǔn)衰變模型與GM（1，1）衰變模型進(jìn)行預(yù)測對比。分析結(jié)果表明，本文提出的GM（1，1）衰變預(yù)測模型建立在實測數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，將交通量、結(jié)構(gòu)組合、氣候條件等復(fù)雜工況作為包含在模型內(nèi)的灰色信息處理，不需建立復(fù)雜函數(shù)關(guān)系，具有預(yù)測精度高、穩(wěn)定性好、對邊界有較強(qiáng)適應(yīng)性等優(yōu)點，預(yù)測結(jié)果對運營管理單位制定科學(xué)合理的養(yǎng)護(hù)決策具有一定的指導(dǎo)意義。

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作者簡介：嚴(yán)世濤（1986—），工程師，從事高速公路養(yǎng)護(hù)管理及研究工作。