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      數(shù)學(xué)深度教學(xué)理論下的解題教學(xué)

      2020-06-22 13:02:42紀(jì)定春唐蓓蕾
      理科考試研究·高中 2020年6期
      關(guān)鍵詞:高考數(shù)學(xué)解題教學(xué)

      紀(jì)定春 唐蓓蕾

      摘 要:數(shù)學(xué)深度教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué),是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù).本文以一道高考函數(shù)最值題為例,通過(guò)問(wèn)題并聯(lián),引發(fā)深度思考;問(wèn)題探究,激活數(shù)學(xué)深度思維;深入問(wèn)題本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)思想;推廣問(wèn)題,促進(jìn)知識(shí)遷移,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí),進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的一般性思維策略,優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

      關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)深度教學(xué);解題教學(xué);高考數(shù)學(xué);函數(shù)最值

      數(shù)學(xué)深度教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué),是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù).深度學(xué)習(xí)的概念,是在研究計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、人工智能等方面時(shí)產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)深度教學(xué),將深度學(xué)習(xí)的概念進(jìn)行了移植,把計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的概念引入了數(shù)學(xué)教育.數(shù)學(xué)深度教學(xué),從構(gòu)成對(duì)象上講,應(yīng)該包括“教師的深度教+學(xué)生的深度學(xué)+其它因子”.教師的“深度教”,就是要以學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知特點(diǎn)等為基礎(chǔ),科學(xué)合理地設(shè)計(jì)課程、創(chuàng)設(shè)情境、聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)等,來(lái)建立學(xué)生新舊知識(shí)之間的聯(lián)系,促進(jìn)新知的同化或順應(yīng).學(xué)生的深度學(xué)習(xí),是指在教師的有效指導(dǎo)下,以高階思維的發(fā)展和關(guān)鍵能力的獲得為旨?xì)w,強(qiáng)調(diào)認(rèn)知、技能、情感等全方位參與和發(fā)展的一種整體性學(xué)習(xí)過(guò)程[1].數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí),歸結(jié)起來(lái)就是要促進(jìn)數(shù)學(xué)高階思維能力的發(fā)展,也就是要會(huì)思維(即:想問(wèn)題).然而,現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),多以淺層的“教”和淺層的“學(xué)”為主要“教”“學(xué)”方式.淺層的“教”表現(xiàn)為知識(shí)點(diǎn)的灌輸式教學(xué),學(xué)生對(duì)知識(shí)的原理不理解,僅停留在機(jī)械記憶、表層理解和運(yùn)用階段.淺層的學(xué)習(xí),表現(xiàn)為“機(jī)械學(xué)習(xí)”,這種學(xué)習(xí)方式滿(mǎn)足于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)(或教訓(xùn))的簡(jiǎn)單積累,缺乏系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建、數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征、數(shù)學(xué)思想的頓悟等,這種數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單累積方式,與數(shù)學(xué)的邏輯系統(tǒng)本質(zhì)特征是相違背的.

      數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展和思維品質(zhì)的提升,離不開(kāi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決,即解題.從布魯姆的知識(shí)分類(lèi)理論來(lái)看,數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí),表現(xiàn)為會(huì)分析、會(huì)評(píng)價(jià)、會(huì)創(chuàng)造性地理解和運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.然而,很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)還停留在記憶、理解和應(yīng)用階段,數(shù)學(xué)教育的目的不是塑造學(xué)生的思維模式,而是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)會(huì)自主思考.正如鄭毓信先生所講,要由“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”轉(zhuǎn)向“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”,后者所提倡的是“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的一個(gè)重要內(nèi)涵,即應(yīng)當(dāng)由突出強(qiáng)調(diào)具體的數(shù)學(xué)方法和策略,轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅匾话阈运季S策略與思維品質(zhì)的提升[2].學(xué)生數(shù)學(xué)一般性思維策略和思維品質(zhì)的提升,雖說(shuō)可以通過(guò)數(shù)學(xué)解題教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn),但這并非只是通過(guò)簡(jiǎn)單、機(jī)械的解題教學(xué)能夠?qū)崿F(xiàn)的,而是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,在講解問(wèn)題之間聯(lián)系、剖析問(wèn)題本質(zhì)、掌握數(shù)學(xué)方法、滲透數(shù)學(xué)思想、推廣問(wèn)題和方法等過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的.鄭毓信先生認(rèn)為,聯(lián)系、問(wèn)題引領(lǐng)、交流與互動(dòng)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是深度學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié).可見(jiàn)鄭先生強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的聯(lián)系性、問(wèn)題引領(lǐng)、交流性以及會(huì)學(xué)習(xí)等[3].郭元祥先生認(rèn)為,深度教學(xué)的根本基礎(chǔ)是知識(shí)觀(guān)和學(xué)習(xí)觀(guān)的深刻轉(zhuǎn)變,強(qiáng)調(diào)知識(shí)處理的充分廣度、充分深度和充分關(guān)聯(lián)度,突顯學(xué)習(xí)的豐富性、沉浸性和層進(jìn)性[4].由此可見(jiàn),郭先生強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的深度、廣度、關(guān)聯(lián)度、豐富性、滲透性和遞進(jìn)性等.可見(jiàn),他們都強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)性,因?yàn)檫@是深度教和深度學(xué)的基礎(chǔ),這對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)具有深刻的啟發(fā)性.

      數(shù)學(xué)解題教學(xué)要注重通過(guò)相似問(wèn)題的“并聯(lián)”(聯(lián)系),形成問(wèn)題串,引發(fā)學(xué)生深度思考;通過(guò)多視角對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究,激活學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思維;通過(guò)探究問(wèn)題的本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)思想,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì);通過(guò)問(wèn)題推廣,促進(jìn)知識(shí)遷移,培養(yǎng)學(xué)生的一般性思維策略、孕育創(chuàng)新意識(shí).接下來(lái),以一道一診試題為引例,然后將引例和一道高考三角函數(shù)最值試題并聯(lián),通過(guò)對(duì)三角函數(shù)最值問(wèn)題的探究,引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思考、激活數(shù)學(xué)深度思維、感悟數(shù)學(xué)思想、體驗(yàn)一般性思維策略,進(jìn)而優(yōu)化其數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

      1 問(wèn)題并聯(lián),引發(fā)深度思考

      問(wèn)題并聯(lián)(聯(lián)系)作為深度學(xué)習(xí)的首要環(huán)節(jié),對(duì)激發(fā)學(xué)生的深度思考和促進(jìn)問(wèn)題解決具有引導(dǎo)性作用.好的數(shù)學(xué)試題(問(wèn)題)往往具有基礎(chǔ)性、綜合性、思路寬廣、切入點(diǎn)多、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、形式對(duì)稱(chēng)等特征.其中,綜合性就是要求學(xué)生在問(wèn)題的解決過(guò)程中要注重不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,單純的解題教學(xué)帶給學(xué)生的往往只是孤立的、單個(gè)試題的解法和數(shù)學(xué)解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累,缺乏系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性,難以形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),而策略型思維是建立在多種數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、策略、思想等融匯貫通的基礎(chǔ)之上,因此,單純的數(shù)學(xué)解題教學(xué)難以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化和網(wǎng)絡(luò)化,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的策略型思維是不利的.通過(guò)相似問(wèn)題之間的并聯(lián),可以將相互獨(dú)立的問(wèn)題并聯(lián)起來(lái),形成問(wèn)題串和問(wèn)題網(wǎng),再通過(guò)對(duì)問(wèn)題串試題進(jìn)行對(duì)比、分析、識(shí)別、表征、評(píng)價(jià)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)試題的呈現(xiàn)方式、問(wèn)題設(shè)置、問(wèn)題結(jié)構(gòu)等之間的異同點(diǎn),以及問(wèn)題解決方法的側(cè)重點(diǎn),引發(fā)學(xué)生的深度思考,優(yōu)化思維策略,進(jìn)而提升一般性思維策略.

      問(wèn)題1 (瀘州市2017級(jí)第一次診斷試題第15題)當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù)f(x)=cos2x+2sin(π 2+x)有最小值,則sinx0的值為.

      問(wèn)題2 (2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是.

      分析 對(duì)問(wèn)題1,通過(guò)誘導(dǎo)公式,可得f(x)=2cosx+cos2x.可見(jiàn),該題和2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16題是相同類(lèi)型的試題,只是在問(wèn)題設(shè)置、函數(shù)名稱(chēng)、函數(shù)奇偶性等幾個(gè)方面上存在差異.問(wèn)題1的解決方案較多,如導(dǎo)數(shù)法(通性通法)、換元法、二次函數(shù)法等.同時(shí),該試題也設(shè)置了陷阱,函數(shù)f(x)在取得最小值時(shí),有兩個(gè)最小值點(diǎn),然而很多學(xué)生只考慮到其中一種情況,遺漏了另外一個(gè)最值點(diǎn),這一點(diǎn)在設(shè)計(jì)上實(shí)屬巧妙,因此,該題的得分率比較低.問(wèn)題2的呈現(xiàn)方式較為直接,可以考慮通過(guò)統(tǒng)一三角函數(shù)名,然后利用導(dǎo)數(shù)解決;或是換元后轉(zhuǎn)化成冪函數(shù),再用導(dǎo)數(shù)研究?jī)绾瘮?shù)的最值;或先平方,后配湊,再利用四元均值不等式解決,所以該試題的切入點(diǎn)多、思路極為開(kāi)闊.根據(jù)當(dāng)年高考考生的反映,該試題的運(yùn)算量較大,且不好確定函數(shù)的最值,因此得分率也比較低.

      評(píng)注 通過(guò)對(duì)上面問(wèn)題1,2的分析和對(duì)比,可以大膽猜測(cè),瀘州市2017級(jí)診斷性試題第15題,極可能是由2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16題改編而成,只是在問(wèn)題的設(shè)置等方面有所差異.這兩道試題都是非常優(yōu)秀的試題,可以并聯(lián)起來(lái)研究和學(xué)習(xí),通過(guò)對(duì)問(wèn)題1的分析和解答,自然過(guò)渡到2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16題的分析和解答.問(wèn)題2中的函數(shù)是奇函數(shù),解題的思路和切入點(diǎn)比問(wèn)題1更多,是一道優(yōu)秀的高考試題,且該試題具有高等數(shù)學(xué)中函數(shù)凹凸性的背景,具有探究?jī)r(jià)值和推廣價(jià)值,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的一般性思維策略和提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)具有重要的意義.

      2 問(wèn)題探究,激活數(shù)學(xué)深度思維

      問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.數(shù)學(xué)深度思維的參與,離不開(kāi)問(wèn)題的引領(lǐng)和問(wèn)題的探究.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究,讓學(xué)生的思維參與其中,從教師的思維主導(dǎo)轉(zhuǎn)向?qū)W生自發(fā)、主動(dòng)的思維(想問(wèn)題),這就是要從“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”轉(zhuǎn)向“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”,不是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上跟著教師的思路和方法走,而是要讓學(xué)生主動(dòng)地尋求方法,去猜測(cè)、去嘗試、去估算、去計(jì)算、去推理等,甚至讓學(xué)生去預(yù)測(cè)問(wèn)題解決所要經(jīng)歷的大致過(guò)程等,讓學(xué)生在主動(dòng)探究問(wèn)題的過(guò)程中,逐漸地激活數(shù)學(xué)深度思維,促進(jìn)一般思維策略發(fā)展,提升思維品質(zhì).

      2.1 導(dǎo)數(shù)法探究函數(shù)最值

      導(dǎo)數(shù)法是研究函數(shù)最值(最大、最小值)、極值的通性通法,頗受學(xué)生的喜愛(ài).但是在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法解決問(wèn)題的同時(shí),也常會(huì)碰到一些問(wèn)題,如運(yùn)算量較大、計(jì)算易失誤、函數(shù)單調(diào)性難以判斷、多次求導(dǎo)(高階導(dǎo)數(shù))、邏輯混亂等,特別是在多次求導(dǎo)之后,反過(guò)來(lái)判斷原函數(shù)的單調(diào)性時(shí),時(shí)常出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此,在使用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),需要講究一些策略,適度增加思維量,盡量減少運(yùn)算量.

      分析1 為了方便研究,由于函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x是奇函數(shù),顯然周期T=2π,不妨將函數(shù)限定在一個(gè)完整的區(qū)間上,如-π≤x≤π(注意:不妨假設(shè),在后面的討論和計(jì)算中,不作特殊說(shuō)明時(shí),都限定在-π≤x≤π上討論),這樣可以通過(guò)研究函數(shù)的局部性質(zhì)來(lái)了解周期函數(shù)的整體性質(zhì).

      對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù),可得f ′(x)=2cosx+2cos2x.統(tǒng)一函數(shù)名,然后因式分解,可得f ′(x)=2(cosx+1)·(2cosx-1).

      令f ′(x)=0,可得cosx=-1或cosx=1 2.

      經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)cosx=-1時(shí),(x,f(x))不為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),故cosx=1 2.

      當(dāng)cosx=1 2時(shí),又因?yàn)?π≤x≤π,所以解得x1=-π 3,x2=π 3.

      因?yàn)楫?dāng)-π≤x

      當(dāng)x1≤x≤x2時(shí),有1 2≤cosx≤1;

      當(dāng)x2

      所以函數(shù)f(x)在x1=-π 3處取得極小值,在x2=π 3處取得極大值.則f(-π 3)=-3 3 2.

      根據(jù)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以有f(π 3)=3 3 2.

      由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必然存在最大值和最小值,還需要計(jì)算函數(shù)的端點(diǎn)值,然后比較大小,可得函數(shù)的最小值,顯然有f(-π)=f(π)=0,故函數(shù)的最小值為-3 3 2.

      評(píng)注 該方法將函數(shù)的定義域固定在一個(gè)完整的周期上,可以通過(guò)對(duì)一個(gè)完整區(qū)間上(周期)函數(shù)性質(zhì)的研究,來(lái)達(dá)到對(duì)函數(shù)整體性質(zhì)研究的目的,這是研究周期性函數(shù)的常見(jiàn)方法.但是該方法的運(yùn)算量偏大,特別是在統(tǒng)一函數(shù)名、因式分解、解三角函數(shù)方程等過(guò)程中,容易出現(xiàn)失誤,在對(duì)極值點(diǎn)的判定過(guò)程中,當(dāng)cosx=-1時(shí),不容易判別函數(shù)在該點(diǎn)是否取到極值.

      2.2 統(tǒng)一函數(shù)名,巧用換元法

      三角函數(shù),特別是正弦函數(shù)和余弦函數(shù),具有良好的性質(zhì),如奇偶性、周期性、有界性等,其中有界性是三角函數(shù)重要的特性,這對(duì)研究函數(shù)的最值(最大、最小值)具有重要的價(jià)值和意義.換元法是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的解題方法,常見(jiàn)的換元法有整體換元法、部分換元法等,通過(guò)換元可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算、降低思維難度、促進(jìn)問(wèn)題的解答.

      分析2 在分析1中,最繁瑣的就是解三角方程,這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維來(lái)說(shuō),無(wú)疑是一種挑戰(zhàn),在現(xiàn)行高中,并不太重視解三角方程,而是注重于解決代數(shù)方程,那么是否可以不用解三角方程呢?可以.利用三角函數(shù)的恒等變形,先將三角函數(shù)名統(tǒng)一起來(lái),然后利用換元法,將三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純粹的求代數(shù)最值問(wèn)題.

      先利用二倍角公式,將原函數(shù)化為f(x)=2sinx+2cosxsinx=2sinx(1+cosx),然后再利用三角恒等式“sin2x+cos2x=1”,這里顯然不能通過(guò)“sinx=±1-cos2x”來(lái)直接統(tǒng)一函數(shù)名,因?yàn)椤皊inx”的取值情況是不確定的,如何解決這個(gè)問(wèn)題呢?可以考慮將函數(shù)f(x)的兩邊同時(shí)平方,再將計(jì)算出來(lái)的結(jié)果還原,這并不影響函數(shù)的最值.于是,將等式兩邊同時(shí)平方,可得f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cos2x)(1+cosx)2.

      令cosx=t,顯然-1≤t≤1,原式化為求當(dāng)-1≤t≤1時(shí),求f2(t)=4(1-t2)(1+t)2的最小值.顯然,這是一個(gè)高次函數(shù)最值問(wèn)題,可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究其最值,這樣就可以避免解三角方程,此處不再給出具體的解答過(guò)程.

      評(píng)注 該方法充分地考查學(xué)生的三角函數(shù)恒等變形、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、求導(dǎo)方法等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).先利用三角函數(shù)的恒等變形統(tǒng)一函數(shù)名,然后又用換元法,將解三角方程問(wèn)題變成求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值問(wèn)題,這就避免了解三角方程.值得注意的是,該方法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和運(yùn)算量的要求都比較高.

      2.3 巧取平方,構(gòu)造不等式法

      不等式是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)模塊,在高中數(shù)學(xué)和高考數(shù)學(xué)中占有重要的地位.縱觀(guān)近年高考試題的風(fēng)格和題目的類(lèi)型,不難發(fā)現(xiàn),高考數(shù)學(xué)對(duì)不等式的考查,有逐年加強(qiáng)的趨勢(shì).例如,選做題中就常常出現(xiàn)不等式的證明和求最值(條件最值)的試題,這類(lèi)不等式試題看似形式簡(jiǎn)單,實(shí)則靈活多變,考試的得分情況也不盡人意.因此,在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)該注重對(duì)不等式的講解和練習(xí).

      分析3 通過(guò)分析2,可以得出f2(x)=4(1-cos2x)(1+cosx)2,將等式的右邊因式分解,可得f2(x)=4(1-cosx)(1+cosx)3,將因子“(1-cosx)”前面湊一個(gè)系數(shù)“3”,再恒等變形,可知f2(x)=4 3(3-3cosx)(1+cosx)3.顯然,等式右邊因子“3-3cosx”和“3(1+cosx)”相加為定值“6”,考慮使用四元均值不等式,即

      f2(x)=4 3(3-3cosx)(1+cosx)3

      =4 3(3-3cosx)(1+cosx)(1+cosx)(1+cosx)

      ≤4 3·(3-3cosx+1+cosx+1+cosx+1+cosx 4)4

      =4 3·(3 2)4

      =27 4.

      所以-3 3 2≤f(x)≤3 3 2.

      故函數(shù)的最小值為-3 3 2.

      當(dāng)且僅當(dāng)“3-3cosx=1+cosx”時(shí),即當(dāng)cosx=1 2時(shí),等號(hào)成立.

      評(píng)注 該方法主要考查三角恒等變形、均值不等式(四元)、“配湊”法等基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法.四元均值不等式,實(shí)際上已經(jīng)超出了高中數(shù)學(xué)所學(xué)知識(shí)的范圍,但是這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)具有重要的價(jià)值.其實(shí),學(xué)生可以通過(guò)已有的二元均值不等式的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),探索并證明四元均值不等式,如高中已經(jīng)講過(guò)二元均值不等式xy≤(x+y 2)2,四元均值不等式是可以在此經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上延伸出來(lái)的,不妨再來(lái)一組,如zw≤(z+w 2)2,利用不等式的運(yùn)算性質(zhì),將兩個(gè)不等式相乘,可得xyzw≤(x+y 2)2(z+w 2)2,顯然不等式右邊用二元均值不等式,有(x+y 2·z+w 2)2≤((1 2(x+y 2+z+w 2))2)2=(x+y+z+w 4)4,可得xyzw≤(x+y+z+w 4)4,如此下去,用歸納法就可以得到n元均值不等式,即a1a2…an≤(a1+a2+…+an n)n.這就需要學(xué)生具有良好的類(lèi)比推理、邏輯運(yùn)算以及大膽猜測(cè)、敢于探索等數(shù)學(xué)綜合能力素養(yǎng).由此可見(jiàn),該方法對(duì)學(xué)生的思維量要求相對(duì)較高,運(yùn)算量要求較低.

      3 深入問(wèn)題本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)思想、優(yōu)化思維品質(zhì)

      深入問(wèn)題本質(zhì),不是就題論題,而是要挖掘試題的背景、內(nèi)涵、命題意圖、條件呈現(xiàn)方式、問(wèn)題設(shè)置方式、考查的知識(shí)點(diǎn)等,這樣才能更好地講出試題背后的思想、方法及精髓.將問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚,可以更好地引導(dǎo)學(xué)生去觀(guān)察、分析、辨別、解決、反思、總結(jié)問(wèn)題,進(jìn)而感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.數(shù)學(xué)思想是靠“悟”出來(lái)的,而不是靠教出來(lái)的.數(shù)學(xué)思想具有模糊性、潛在性和隱藏性等特點(diǎn),很難直接教,但可以通過(guò)教師在教學(xué)的過(guò)程中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想,或是引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題的解決過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想.

      在數(shù)學(xué)中,數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想,是溝通直觀(guān)與抽象的橋梁.正如華羅庚先生曾講“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān),形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分解萬(wàn)事休”.華先生強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要性,“形”可以為問(wèn)題的解決提供直觀(guān)的想象或思路,“數(shù)”可以精確地刻畫(huà)“形”的本質(zhì)特征,如一些不直觀(guān)的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)等,可借助數(shù)來(lái)描述其中的關(guān)系.

      分析4 注意到,此處的函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x為兩個(gè)奇函數(shù),相加之后的結(jié)果仍然是奇函數(shù),不妨先來(lái)看看最簡(jiǎn)單的三角函數(shù)g(x)=sinx的圖象有什么樣的直觀(guān)幾何特性?不難發(fā)現(xiàn),有如下的關(guān)系:

      對(duì)任意的-π≤x1,x2≤0,有不等式g(x1)+g(x2)≥2g(x1+x2 2)成立,

      當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),等號(hào)成立;

      對(duì)任意的0≤x1,x2≤π,有不等式g(x1)+g(x2)≤2g(x1+x2 2)成立,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),等號(hào)成立.

      類(lèi)似地,可以得出,對(duì)任意的-π≤x1,x2,x3≤0,有不等式g(x1)+g(x2)+g(x3)≥3g(x1+x2+x3 3)成立,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3時(shí),等號(hào)成立;

      對(duì)任意的0≤x1,x2,x3≤π,有不等式g(x1)+g(x2)+g(x3)≤3g(x1+x2+x3 3)成立,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3時(shí),等號(hào)成立.

      這樣的性質(zhì),可以借助正弦函數(shù)圖象的“形”看出來(lái),然后利用代數(shù)符號(hào)(數(shù))來(lái)刻畫(huà),這種性質(zhì),在高等數(shù)學(xué)中常常用來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的凹凸性.從幾何的直觀(guān)性質(zhì)出發(fā),到最后用代數(shù)符號(hào)表征出正弦函數(shù)的局部性質(zhì),集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

      為了方便研究函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x的最值,可以將函數(shù)的自變量范圍限制在一個(gè)更小的區(qū)間上,不妨假設(shè)00,sin2x>0.

      又注意到,在正弦函數(shù)中,sinx=sin(π-x).

      所以f(x)=2sinx+sin2x

      =sin(π-x)+sin(π-x)+sin2x

      ≤3sinπ-x+π-x+2x 3

      =3sin2π 3

      =3 3 2.

      當(dāng)且僅當(dāng)“π-x=2x”時(shí),即x=π 3時(shí),等號(hào)成立.

      因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以函數(shù)f(x)的最小值為-3 3 2.

      評(píng)注 結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),借助正弦函數(shù)的幾何直觀(guān),觀(guān)察正弦函數(shù)的幾何特征,將幾何性質(zhì)代數(shù)化處理,便得出上面的不等式,這需要學(xué)生有深刻的數(shù)學(xué)思維和敏銳的洞察力,這個(gè)不等式是不容易被直接發(fā)現(xiàn)的,但可以通過(guò)教師的逐步引導(dǎo)來(lái)實(shí)現(xiàn).讓學(xué)生在不等式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中感悟數(shù)形結(jié)合的思想,在問(wèn)題的解決過(guò)程中感受數(shù)學(xué)本質(zhì)和高等數(shù)學(xué)的魅力.可見(jiàn),該試題蘊(yùn)含高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的凹凸性質(zhì),詹森(Jensen)不等式的特例,也稱(chēng)琴生不等式.

      4 問(wèn)題推廣,促進(jìn)知識(shí)遷移、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

      張景中院士指出:“推廣是數(shù)學(xué)研究極重要的手段之一,數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴(lài)于推廣.數(shù)學(xué)家總是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上,向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展,從實(shí)際的概念及問(wèn)題中推廣出各種各樣的新概念、新問(wèn)題[5].”推廣,可以將一個(gè)具體的問(wèn)題一般化,通過(guò)對(duì)一個(gè)問(wèn)題的解決,來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)一類(lèi)問(wèn)題或者是一串問(wèn)題的解決,這對(duì)促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)遷移和思維的發(fā)展具有重要的意義.除此之外,推廣可以得出各種各樣的新概念、新問(wèn)題,因此,推廣還孕育著數(shù)學(xué)創(chuàng)新,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)、學(xué)習(xí)一般化的思維策略、提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)等都具有重要的教育價(jià)值.接下來(lái),將從不同維度,對(duì)該三角函數(shù)最值試題進(jìn)行推廣、分析以及評(píng)注.

      推廣1 已知函數(shù)f(x)=3sinx+sin3x,求函數(shù)f(x)的最小值.

      分析 可以類(lèi)比前面一種解法,不妨假設(shè)0≤x≤π 3,顯然f(x)=3sinx+sin3x滿(mǎn)足上述不等式的性質(zhì).

      則有f(x)=3sinx+sin3x

      =sinx+sinx+sinx+sin3x

      =sin(π-x)+sin(π-x)+sin(π-x)+sin3x

      ≤4sin3(π-x)+3x 4

      =4sin3π 4

      =22.

      當(dāng)且僅當(dāng)“π-x=3x”時(shí),即當(dāng)x=π 4時(shí),等號(hào)成立.

      由奇函數(shù)的性質(zhì),可知函數(shù)f(x)的最小值為-22.

      評(píng)注 此推廣是將原問(wèn)題的系數(shù)增加1,其余的不變,可以用上述探究1,2,3的方法來(lái)解決,也可以利用上述解法中函數(shù)的凹凸性質(zhì)來(lái)解決.

      推廣2 已知函數(shù)f(x)=nsinx+sinnx,求函數(shù)的最小值.

      評(píng)注 推廣2,將原問(wèn)題的系數(shù)一般化處理,解決方法類(lèi)比推廣1,此處不再給出具體的解答過(guò)程,有興趣的可以嘗試去求解.

      推廣 3 已知函數(shù)f(x)=2psinnx+psin2nx,其中p∈R+,求函數(shù)的最小值.

      分析 利用二倍角公式,將函數(shù)名稱(chēng)統(tǒng)一起來(lái),得f(x)=2psinnx(1+cosnx).然后將兩邊同時(shí)平方,可得f2(x)=4p2·sin2nx·(1+cosnx)2=4p2·(1-cos2nx)(1+cosnx)2.

      于是,有f2(x)=4 3p2·(3-3cosnx)(1+cosnx)3

      ≤4 3p2·(3-3cosnx+3(1+cosnx) 4)4

      =4 3p2·(6 4)4.

      由奇函數(shù)性質(zhì),可知函數(shù)f(x)的最小值為-3 3p 2.

      當(dāng)且僅當(dāng)“3-3cosnx=1+cosnx”時(shí),即當(dāng)cosnx=1 2時(shí),等號(hào)成立.

      評(píng)注 此推廣引入?yún)?shù)p,將原問(wèn)題中的常數(shù)一般化處理,解決方法和探究3相同.

      推廣4 已知函數(shù)f(x)=psinnx(1+cosx),其中p∈R+,求函數(shù)的最小值.

      分析 先將等式的兩端平方,統(tǒng)一函數(shù)名,可得f2(x)=p2·(1-cosx)n(1+cosx)n+2.

      可以考慮換元法,將其轉(zhuǎn)化成高次函數(shù)的最值問(wèn)題,從而用導(dǎo)數(shù)解決,亦可以先配湊,再用不等式的方法來(lái)解決.

      評(píng)注 此推廣將三角函數(shù)的指數(shù)進(jìn)行了推廣,變成高次三角函數(shù)最值問(wèn)題.這種試題,對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)具有一定的難度,可以在教學(xué)過(guò)程中作為課后思考習(xí)題使用.

      推廣5 已知∑n i=1xi=c,0

      分析 利用函數(shù)g(x)=sinx在區(qū)間0

      f(x)=∑n i=1sinxi≤nsinx1+x2+…+xn n=nsinc n.

      當(dāng)且僅當(dāng)“x1=x2=…=xn=c n”時(shí),等號(hào)成立.

      所以函數(shù)f(x)=∑n i=1sinxi在區(qū)間0

      評(píng)注 此推廣是詹森不等式的一般形式,可以利用函數(shù)的凹凸性證明,如果要用常規(guī)方法來(lái)解決該問(wèn)題,比較困難,可以尋找時(shí)機(jī),適當(dāng)補(bǔ)充詹森不等式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面.

      推廣6 已知函數(shù)f(x)=sinx,其中00,且∑n i=1λi=1.證明:不等式∑n i=1if(xi)≤f(∑n i=1λixi)成立.

      分析 該不等式,可以用數(shù)學(xué)歸納法證明,過(guò)程比較繁瑣,如有興趣,可以參考文[6].

      評(píng)注 此推廣為詹森不等式,是描述函數(shù)凹凸性最一般的代數(shù)形式,該不等式在競(jìng)賽數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中具有重要的價(jià)值和廣泛的應(yīng)用,應(yīng)該值得關(guān)注.

      5 教學(xué)啟示

      數(shù)學(xué)深度教學(xué)是指向數(shù)學(xué)思維的教學(xué),更是指向由教師教會(huì)學(xué)生思維轉(zhuǎn)向?qū)W生學(xué)會(huì)自主思維的教學(xué).

      (1)重視問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)之間的并聯(lián).通過(guò)問(wèn)題串(并聯(lián))的引領(lǐng),引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深度思考.

      (2)注重引導(dǎo).在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生在主動(dòng)探究問(wèn)題、解決問(wèn)題、反思問(wèn)題的過(guò)程中,激活數(shù)學(xué)深度思維.

      (3)深入問(wèn)題本質(zhì).在把握問(wèn)題的本質(zhì)過(guò)程中,感悟試題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

      (4)注重問(wèn)題的推廣.在問(wèn)題的推廣過(guò)程中,促進(jìn)知識(shí)遷移、孕育創(chuàng)造性思維.

      (5)多視角探究問(wèn)題.分析1從通性通法開(kāi)始,這符合學(xué)生的常規(guī)想法;分析2是對(duì)避免解三角方程引起的思考,可以通過(guò)換元法去避免解三角函數(shù)方程;分析3是在分析2的基礎(chǔ)之上引發(fā)的再思考,通過(guò)對(duì)等式的右邊“配湊”,讓“配湊”后各個(gè)因式的和為定值,則乘積有最值,這可以通過(guò)已有的二元均值不等式取等條件的經(jīng)驗(yàn)想到,想法比較自然,運(yùn)算量較小,但是對(duì)思維的要求比較高.

      (6)注意思維的梯度.通過(guò)觀(guān)察正弦函數(shù)的半個(gè)周期的圖象,經(jīng)歷從“形”直觀(guān)的感性認(rèn)識(shí)到“數(shù)”的理性認(rèn)識(shí),感受數(shù)學(xué)的本質(zhì),感悟數(shù)形結(jié)合的思想魅力,最終利用代數(shù)表征幾何圖形的性質(zhì),突顯出函數(shù)凹凸性質(zhì)的強(qiáng)大力量,極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

      總之,數(shù)學(xué)深度教學(xué),是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的重要而基礎(chǔ)的環(huán)節(jié),這不僅僅需要在解題教學(xué)的過(guò)程中體現(xiàn),還需要貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教育活動(dòng)的全部過(guò)程,這樣才能夠真正地讓學(xué)生思維得到鍛煉,進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生一般性思維策略的發(fā)展,優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

      參考文獻(xiàn):

      [1]張曉娟,呂立杰.SPOC平臺(tái)下指向深度學(xué)習(xí)的深度教學(xué)模式建構(gòu)[J].中國(guó)電化教育,2018(04):96-101+130.

      [2]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”十講之二:“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的具體涵義[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2019(09):10-12.

      [3]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的理論與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2019,28(05):24-32.

      [4]郭元祥.論深度教學(xué):源起、基礎(chǔ)與理念[J].教育研究與實(shí)驗(yàn),2017(03):1-11.

      [5]朱華偉,張景中.論推廣[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2005,44(04):55-57+28.

      [6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

      (收稿日期:2020-01-03)

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