一個寬上限相依隨機變量的概率不等式

于海芳

（朝陽師范高等專科學校 數(shù)學計算機系，遼寧 朝陽 122000）

0 引言

隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，概率理論與數(shù)理統(tǒng)計理論作為大數(shù)據(jù)理論學習的基礎(chǔ)知識顯得越來越重要。概率不等式是概率理論的重要研究部分，概率不等式在證明精確大偏差、強大數(shù)定律、完備收斂等概率理論中起到重要作用。尤其是在概率理論的大偏差方向，一個好的隨機變量的概率不等式對于在求解精確大偏差的上、下界中的作用更為顯著。一個好的相依隨機變量的概率不等式，能得到比較好的精確大偏差的上界和下界。本文設{ξi,i=1,2,…}是一個隨機變量序列是 {ξ,i=1,2,… }的前n項部分和。當 {ξ,i=1,2,… }是一個隨機變量ii序列，各自對應的分布為 {Fi(x),i=1,2,… }（其中Fi(x)=P(ξi≤x)，x∈ R）。文獻［1］提出：設{yi＞ 0,i= 1,2,…}，y＞ max1≤i≤n{yi}，0

證明過程詳見文獻［1］。在引入相應的概率不等式后，文獻［2］給出了D族END隨機變量的隨機和的精確大偏差，文獻［3］得到了索賠盈余風險模型中精確大偏差，文獻［4］推廣了延拓負相依風險模型中的精確大偏差，文獻［5］和［6］分別給出了延拓負相依和寬相依隨機變量序列條件下的精確大偏差的結(jié)論，文獻［7］和［8］在帶有隨機利率條件和NA條件下得到了精確大偏差的漸近結(jié)論。本文主要研究了帶寬上限相依的隨機變量序列，得到了一個寬上限相依隨機變量的概率不等式，旨在為概率論不等式理論提供一個新的有用的結(jié)論，并將在研究精確大偏差、破產(chǎn)概率等概率理論中起到重要作用。

1 預備知識

設{ξi,i=1,2,…}是一個存在有限期望的、非負的、不同分布的隨機變量序列，對應的分布為 {Fi(x),i=1,2,… }，對應的期望為 {μi,i=1,2,… }，且 {ξi,i=1,2,… }滿足如下條件。

定義1［6］設{ξi,i=1,2,…}是一個隨機變量序列，對于每一個有限的正整數(shù)n，存在某個有限的正數(shù)gU(n)，使得對所有的xi∈ (0,∞)，i=1,2,…,n，當

成立時，稱{ξi,i=1,2,…}是寬上限相依的隨機變量序列，稱gU(n)為{ξi,i=1,2,…}控制系數(shù)。

定義2［5］設ξ是一個取值非負的隨機變量，對應的分布為F(x)，稱

引理1［6］當{ξi,i=1,2,…}是一個非負的、寬上限相依的隨機變量序列，則有：

① 如果{fi(·),i≥ 1}是非降的函數(shù)序列，則{fi(ξi),i≥ 1}也是一個寬上限相依；

②對于每一個正整數(shù)n，有

特別地，如果{ξi,i=1,2,…}是一個寬上限相依的隨機變量序列，則對于每一個正整數(shù)n和任意的s＞ 0，有

2 寬上限相依隨機變量的概率不等式

定理1設ξ是一個取值非負的隨機變量，對應的分布為F(x)，存在有限的期望μ；設{ξi,i=1,2,…}是一個非負的、寬上限相依的、不同分布的隨機變量序列，控制系數(shù)為gU(n)，對應的分布為{Fi(x),i=1,2,…}，對應的期望為{μi,i=1,2,…}，滿足下列假設條件：

H1 存在某個正數(shù)θ∈(0,1)，使得

則對于任意的v＞ 0，存在與x和n無關(guān)的r3=r3(v)＞ 0，使得對于所有的n∈Z+和充分大的x，有

證明對于任意的v＞ 0和任意的θ∈(0,1)，n∈ Z+，記由假設條件 H2 知當x充分大時，則有

此處利用截斷誤差的方法來估計（1）式中P(S?n＞x)的上界。對于任意的ε∈(0,1)，設

則當n→∞時有x→∞，從而有h↓ 0，h將在后面用到。由馬爾科夫不等式可得

由{ξi,i=1,2,…}是一個寬上限相依的隨機變量序列和引理1的①可知，{ξ?n,n=1,2,…}仍是一個寬上限相依的隨機變量序列。由引理1的②則有

對于任意的ε∈(0,1)，當n充分大時，x充分大，則有

將（3）式代入（2）式，整理可得

由于不等式ln(a+x)

由假設條件H3，當n較充分大時可有

由（4）式有

將（5）式代入（1）式中，當x充分大時可得