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      例析處理恒成立與有解問題的若干策略

      2020-07-03 03:42:54福建省莆田第二中學351131謝新華
      中學數(shù)學研究(江西) 2020年5期
      關鍵詞:值域等價實數(shù)

      福建省莆田第二中學 (351131) 謝新華

      在方程或不等式中,常遇到恒成立與有解問題,在恒成立或有解條件下求參數(shù)的取值范圍問題.此類問題滲透著換元、化歸與轉化、分類與整合、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法.其解題的基本思路是:根據已知條件將問題向基本類型轉化,正確選用分離參數(shù)法、函數(shù)圖像與性質法、數(shù)形結合法等解題方法求解.本文通過幾個典型題目解析供參考.

      例1 不等式x2+ax+2a+5>0在x∈R上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

      解析:依題意由Δ=a2-4(2a+5)<0得-2

      評析:本題化歸為二次函數(shù)型問題,結合拋物線圖像特征求解.一般地,設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,則f(x)>0在x∈R上恒成立?a=b=0,c>0或a>0且Δ<0;f(x)<0在x∈R上恒成立?a=b=0,c<0或a<0,Δ<0.

      例2 不等式x2+ax+2a+5>0在x∈(-2,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

      解析2通過分離參數(shù)法,將問題轉化為a>g(x)恒成立,再運用基本不等式求函數(shù)的最值,使問題獲解.一般地,若不等式A>f(x)在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上有A>fmax(x)成立;若不等式B>f(x)在區(qū)間D上有解,則等價于在區(qū)間D上有B>fmin(x)成立.

      例3 不等式x2+ax+2a+5>0在a∈(-6,-2)上恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.

      (1)?x∈[1,2],都有f(x)>g(x),求實數(shù)a的取值范圍.

      (2)?x1∈[1,2],?x2∈[1,2],使得f(x1)>g(x2),求實數(shù)a的取值范圍.

      當0

      當1

      評析:第(1)問等價轉化為函數(shù)f(x)-g(x)>0恒成立,接著通過分離參數(shù)法,將問題轉化為a<φ(x)恒成立,再運用導數(shù)法求函數(shù)的最值,使問題獲解.第(2)問對不同變量對應的兩個函數(shù)f(x)和g(x)分別求最值,即只需滿足fmin(x)>gmin(x)即可獲解.

      (1)若?x0∈(2,+∞),使f(x0)=m成立,求實數(shù)m的取值范圍;

      (2)若?x1∈(2,+∞),?x2∈(2,+∞),使得f(x1)=g(x2),求實數(shù)a的取值范圍.

      評析:一般地,?x∈D,使得f(x)=m,等價于m的取值范圍是函數(shù)f(x)在D上的值域;對?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等價于函數(shù)f(x)在D1上的值域A是函數(shù)g(x)在D2上的值域B的子集,即A?B.

      因為g(x)=ax-2a+2(a>0)在[3,4]為增函數(shù),則g(3)≤g(x)≤g(4),即a+2≤g(x)≤2a+2,即g(x)的值域為B=[a+2,2a+2].

      評析:一般地,?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等價于函數(shù)f(x)在D1上的值域A與函數(shù)g(x)在在D2上的值域B的交集非空,即A∩B≠?.

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