福建省莆田第二中學 (351131) 謝新華
在方程或不等式中,常遇到恒成立與有解問題,在恒成立或有解條件下求參數(shù)的取值范圍問題.此類問題滲透著換元、化歸與轉化、分類與整合、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法.其解題的基本思路是:根據已知條件將問題向基本類型轉化,正確選用分離參數(shù)法、函數(shù)圖像與性質法、數(shù)形結合法等解題方法求解.本文通過幾個典型題目解析供參考.
例1 不等式x2+ax+2a+5>0在x∈R上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解析:依題意由Δ=a2-4(2a+5)<0得-2 評析:本題化歸為二次函數(shù)型問題,結合拋物線圖像特征求解.一般地,設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,則f(x)>0在x∈R上恒成立?a=b=0,c>0或a>0且Δ<0;f(x)<0在x∈R上恒成立?a=b=0,c<0或a<0,Δ<0. 例2 不等式x2+ax+2a+5>0在x∈(-2,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. 解析2通過分離參數(shù)法,將問題轉化為a>g(x)恒成立,再運用基本不等式求函數(shù)的最值,使問題獲解.一般地,若不等式A>f(x)在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上有A>fmax(x)成立;若不等式B>f(x)在區(qū)間D上有解,則等價于在區(qū)間D上有B>fmin(x)成立. 例3 不等式x2+ax+2a+5>0在a∈(-6,-2)上恒成立,求實數(shù)x的取值范圍. (1)?x∈[1,2],都有f(x)>g(x),求實數(shù)a的取值范圍. (2)?x1∈[1,2],?x2∈[1,2],使得f(x1)>g(x2),求實數(shù)a的取值范圍. 當0