況艷玲

（浙江省金華市外國語學(xué)校，321015）

面對高考的壓力，高三復(fù)習(xí)教學(xué)的常見做法是壓縮知識教學(xué)，進行“刷題”式訓(xùn)練，在一定程度上對于提高學(xué)生成績，短期看來是有效的，但這樣的復(fù)習(xí)脫離了實際，固化了學(xué)生的認(rèn)識空間，使學(xué)生誤以為數(shù)學(xué)就是“做題”，“學(xué)數(shù)學(xué)就是考試”.長此以往，這將導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)的感覺是疲憊和無趣的，對數(shù)學(xué)的印象單一，對數(shù)學(xué)的價值認(rèn)識膚淺，對數(shù)學(xué)的精神、思想以及文化等方面體悟更少，無法陶冶學(xué)生的情操，更不能有效提高學(xué)生的綜合素質(zhì).本文借助案例探索如下：

一、激發(fā)興趣

學(xué)生學(xué)會思考，首要的是要對未知有好奇心，沒有好奇心就無法激發(fā)學(xué)生探索的興趣.在高三復(fù)習(xí)課上，有趣的數(shù)學(xué)問題能提高學(xué)生的興趣，促使學(xué)生參與，促進學(xué)生思考.

案例1 貓吃老鼠

在復(fù)習(xí)重復(fù)排列問題時，教師經(jīng)常舉這樣的例子：“4封信，投入3個不同的郵筒，有多少種投法？”.這樣的例子過于單一，使學(xué)生感覺單調(diào).筆者將該問題變?yōu)椋骸?只老鼠，3只貓，貓吃老鼠有多少種吃法（一只老鼠被一只貓吃）？”并引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)果思考，因為最終的結(jié)果是“老鼠在貓的肚子里”，所以逆向思考，“貓排成一行，編號貓1，貓2，貓3，張著嘴，老鼠選擇貓的肚子鉆進去”.課堂上，“貓吃老鼠”的例子使學(xué)生興趣盎然，為枯燥的復(fù)習(xí)增添幾分色彩.

二、擴充知識

案例2 一元三次方程的韋達定理

例1 已知函數(shù)f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R.若f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）處取到極值，且a+c=2b2，求f（x）的極值點.

由f′（x）= （x3-3x2-9x+t+3）ex，可得f（x）的極值點是x3-3x2-9x+t+3=0的三根a，b，c.求解a，b，c需要用到三次方程的韋達定理.筆者類比二次方程的情形推導(dǎo)一元三次方程的韋達定理，類比讓學(xué)生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，擴大了學(xué)生的知識視野.學(xué)生提問三次函數(shù)有沒有求根公式，筆者抓住契機，簡要講述了三次求根公式的發(fā)現(xiàn)過程——塔塔利亞、卡丹與費拉里之間的恩怨故事.課后，學(xué)生主動利用互聯(lián)網(wǎng)了解三次求根公式的推導(dǎo)過程，部分學(xué)生甚至去了解一元五次方程為什么沒有求根公式？這就達到了“學(xué)生課堂上帶著問題去思考，課后帶著好奇心去探究”的效果，擴充了學(xué)生的知識，培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神.

三、探索方法

數(shù)學(xué)中許多重要的方法和概念起源于趣味數(shù)學(xué)，如哥尼斯堡問題誕生了圖論與拓撲學(xué).因此教學(xué)中應(yīng)充分挖掘數(shù)學(xué)趣味題背后的數(shù)學(xué)方法.

案例3 高斯求和

高斯求和的故事廣為流傳，高中生幾乎都知曉.在復(fù)習(xí)時，筆者認(rèn)為有必要深入探索高斯求和所蘊含的方法.

圖1

圖2

運用類比促進學(xué)生對不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)現(xiàn)與領(lǐng)悟，幫助學(xué)生從不同的角度記憶和理解，激發(fā)了學(xué)生自主探索新知識的熱情.

二探 倒序相加的關(guān)鍵是通過合理的配對使某兩項的和相加為定值，簡化計算.

再探 倒序相加在解題中是一個重要方法，筆者利用適當(dāng)?shù)睦}，讓學(xué)生遷移得到一種新的方法“倒序相乘法”.

例4 （1）（tan 1°+1）（tan 44°+1）的值為_______ ；

（2）（tan 1°+1）（tan 2°+1）…（tan 44°+1）的值為_______.

本案例從趣味數(shù)學(xué)入手，充分探尋數(shù)學(xué)方法，密切關(guān)聯(lián)數(shù)列、函數(shù)等重要內(nèi)容，強調(diào)知識間聯(lián)系的廣度、深度和關(guān)聯(lián)度.豐富的學(xué)習(xí)內(nèi)容促使學(xué)生深度思考，促進學(xué)生批判性思維水平的提升，實現(xiàn)知識的意義生成和多樣性價值.

四、領(lǐng)悟思想

趣味數(shù)學(xué)包含的思維，不僅“思維巧”，而且具有“大眾性”.不同層次的學(xué)生都能參與其中，通過平等對話，相互切磋，培養(yǎng)了爭鳴的學(xué)術(shù)意識.筆者利用趣味數(shù)學(xué)促使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，將“巧思”逐步一般化，提升學(xué)生的認(rèn)知水平.

案例4 切西瓜問題

例5 如何將一個西瓜三刀切成八塊？

這是一道小學(xué)趣味題，切西瓜問題可抽象為三個平面最多將空間分成8部分，由此引申出以下問題5.

例6 空間內(nèi)有n個平面，設(shè)這n個平面最多將空間分成an個部分.

（1）求a1，a2，a3，a4；

（2）求an關(guān)于n的表達式.

為了回答這個問題，我們先降維，由此得到下列問題.

例7n個點最多將1條直線分成多少部分？

例8n條直線最多將1個平面分成多少部分？

筆者引導(dǎo)學(xué)生逐次思考：

① 先考慮“點”分“線”.

直線上n個點最多將直線分為n+1部分.

② 再考慮“線”分“面”.

記n條直線將平面最多分成bn部分，平面上1條直線將平面分成2部分，再添1條直線，該直線與原直線有1個交點，1個交點將新的直線分成2部分，這兩部分都將原有的平面分成兩個，所以b2=b1+2.n-1條直線將平面最多分成bn-1部分，再添1條直線，這條直線與原來n-1條直線都不平行且沒有共同的交點，故有n-1個交點，n-1個交點將第n直線分成n部分，這n部分直線每一個都將原有的平面劃分為二個區(qū)域，所以bn=bn-1+n，

③ 最后考慮“面”分空間.

記n個平面將空間最多分成an部分，類似“直線分平面”可得

從上述探索過程看，我們是將問題劃分為不同的情形來考慮，情形之間有著密切的邏輯聯(lián)系和明顯的層次性差別，這種思維模式被稱為爬坡思維.爬坡思維的各種情形次序不能顛倒，后者依賴前者，像爬坡一樣逐級上升，每一次推理都是建立在前一步基礎(chǔ)上的，步步上升，最終達到目標(biāo)，體現(xiàn)從特殊到一般、從低維到高維的數(shù)學(xué)思想.

五、感悟文化

數(shù)學(xué)對文化、理性精神、現(xiàn)代人類思想的產(chǎn)生和發(fā)展有著深刻的影響.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》要求教師應(yīng)有意識結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容將數(shù)學(xué)文化融入日常教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng).

案例5 河圖洛書（圖3）

問題 將數(shù)字1到9排成三行三列的數(shù)陣，使得無論是縱向、橫向、斜向三條線上的三個數(shù)字的和都等于15.

文化背景 《易·系辭上》稱：“河出圖，洛出書，圣人則之”.相傳上古伏羲氏時，洛陽東北孟津縣境內(nèi)的黃河浮出龍馬，背負“河圖”，獻給伏羲.伏羲依此而演成八卦，后為《周易》來源.又傳大禹時，洛陽西的洛寧縣洛河浮出神龜，背馱“洛書”，獻給大禹.大禹依此治水成功，劃分天下為九州，定九章大法，治理社會.

河圖洛書是中華文化的源頭，在文化發(fā)展史上有著重要地位，對哲學(xué)、政治學(xué)、美學(xué)以及文學(xué)等領(lǐng)域有著深遠的影響.復(fù)習(xí)矩陣時，筆者利用該問題和兩個上古神話引入矩陣，一方面使學(xué)生有新鮮感，另一方面引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)是一種文化，數(shù)學(xué)文化是文化的重要組成部分.學(xué)生得到答案后，筆者再給出南宋楊輝的解答“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”，進一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的豐富以及深奧.

圖3

六、體悟生活

在教學(xué)中運用具體、生動、形象的事例解釋數(shù)學(xué)，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的學(xué)風(fēng).如復(fù)習(xí)選修4-4“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”時，筆者用一則故事和一則廣告引入極坐標(biāo)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)之用.

案例6 心形曲線

一則故事 一天，一同事（語文教師）談到“華潤超市做活動，畫出r=a（1-sinθ）的圖像有獎品”.

一則廣告 百歲山礦泉水的廣告.52歲的笛卡爾邂逅了18歲的瑞典公主克里斯汀.他們相戀了，國王知道后，將笛卡爾流放.笛卡爾給克里斯汀寄出一封信，這封信內(nèi)容只有一個公式：r=a（1-sinθ）.國王看不懂，將信轉(zhuǎn)交給公主.公主畫出圖象，這就是著名的“心形線（圖4）”.廣告就是把百歲山的水比喻成這封另類情書，意喻“經(jīng)典、浪漫、難忘、矚目”.

圖4

運用趣味數(shù)學(xué)進行復(fù)習(xí)，對教師提出了更高的要求.教師至少要做到以下三點：一是積累.積累數(shù)學(xué)趣味問題和數(shù)學(xué)史料，運用趣味數(shù)學(xué)教學(xué)的案例以及包含文化背景的高考試題；二是挖掘.挖掘趣味數(shù)學(xué)中蘊含的知識、方法和思想，挖掘其中的人文意蘊；三是思考.思考如何將趣味數(shù)學(xué)適當(dāng)且有效地融入數(shù)學(xué)課堂.總之，作為一線高三教師，應(yīng)該使復(fù)習(xí)的課堂充滿趣味，充滿思考，有方法的碰撞，有思想的交流，有文化的底蘊，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).