源于標(biāo)準(zhǔn),基于考綱,回歸本質(zhì),關(guān)注素養(yǎng)
——例析二次函數(shù)為背景的中考選擇題命題

新疆烏魯木齊市教育研究中心

隨著教育部《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》的頒布與實施,聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為近年中考數(shù)學(xué)命題的落腳點.二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容之一,也是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)聯(lián)系的紐帶,關(guān)于二次函數(shù)的相關(guān)試題能夠比較廣泛地考查到學(xué)生函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合,分類討論及轉(zhuǎn)化等思想方法,無論是在知識、思維和綜合方面都一直處在中考中的重要位置,所以近年來以二次函數(shù)為背景的中考題層出不窮,下面以幾道中考題為例,分析以二次函數(shù)為背景的選擇題的命題方向及解題思路.

1 對比課標(biāo)要求分析中考試題的命題誤區(qū)

近年來對二次函數(shù)為背景的中考試題在命題方向上還是存在著一些誤區(qū),這些試題并沒有從根本上明確課程標(biāo)準(zhǔn)對函數(shù)的要求,盲目追求人為設(shè)定的解題技巧即所謂“綜合能力”,其實往往偏離了對概念本質(zhì)的導(dǎo)向,也會影響一線教師在日常教學(xué)中對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

我們首先來看一下《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(下文簡稱課標(biāo))中對“函數(shù)”及“二次函數(shù)”內(nèi)容的要求:

函數(shù):

(1)探索簡單實例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,了解常量、變量的意義.(2)結(jié)合實例,了解函數(shù)的概念和三種表示法,能舉出函數(shù)的實例.(3)能結(jié)合圖像對簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析.(4)能確定簡單實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍,并會求出函數(shù)值.(5)能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關(guān)系.(6)結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析,能對變量的變化情況進(jìn)行初步討論.

二次函數(shù):

(1)通過對實際問題的分析,體會二次函數(shù)的意義.(2)會用描點法畫出二次函數(shù)的圖像,通過圖像了解二次函數(shù)的性質(zhì).(3)會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo),說出圖像的開口方向,畫出圖像的對稱軸,并能解決簡單實際問題.(4)會利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解.(5)知道給定不共線三點的坐標(biāo)可以確定一個二次函數(shù).

下面我們比對課標(biāo)來看一看以下幾道中考題的命題方向.

例1【2018·蘭州中考數(shù)學(xué)題】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖1所示,有下列5個結(jié)論:abc＞0;b-a＞c;4a+2b+c＞0;3a＞-c;a+b＞m(am+b)(m1的實數(shù)).其中正確結(jié)論的有( )

圖1

圖2

例2 【2018·湖南衡陽中考數(shù)學(xué)題】如圖2,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(-1,0),頂點坐標(biāo)(1,n),與y軸的交點在(0,2),(0,3)之間(包含端點),則下列結(jié)論:3a+b＜0;-1≤a≤-;對于任意實數(shù)m,a+b≥am2+bm總成立;關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1 有兩個不相等的實數(shù)根.其中結(jié)論正確的個數(shù)為( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

圖3

圖4

例3【2015·烏魯木齊中考數(shù)學(xué)題】如圖3,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=-1,且過點有下列結(jié)論:abc＞0;a-2b+4c=0;25a-10b+4c=0;3b+2c＞0;a-b≥m(am-b),其中所有正確的結(jié)論是____.(填寫正確結(jié)論序號)

例4【2017·山東煙臺中考數(shù)學(xué)題】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖4所示,對稱軸是直線x=1,下列結(jié)論:ab＜0;b2＞4ac;+b+2c＜0;3a+c＜0.其中正確的是( )

例舉的這四道中考題是近年來非常流行的考查方式,但這種考查方式過度“解析化”,過度強調(diào)所謂的“數(shù)形結(jié)合”,學(xué)生并未從函數(shù)建模的本質(zhì)出發(fā),均是直接給定函數(shù)圖象與對稱軸或者交點坐標(biāo),讓學(xué)生判斷含有二次函數(shù)解析式系數(shù)的式子的范圍或取值.表面上考查了二次函數(shù)的解析式系數(shù)與圖象的關(guān)系,函數(shù)與方程,函數(shù)與不等式等相關(guān)知識,但實則單純一味拼湊了一系列“套路”,掐頭去尾的設(shè)定,學(xué)生則為了解題而解題,對二次函數(shù)的來源和應(yīng)用關(guān)注不足,這種命題方向并未體現(xiàn)課標(biāo)中對“變量與函數(shù)”部分的本質(zhì)導(dǎo)向.

從課標(biāo)可以看出,二次函數(shù)的學(xué)習(xí)還是要源于生活,最終落實在能解決簡單的實際問題,所以,基于課標(biāo)的二次函數(shù)命題應(yīng)更重視函數(shù)的應(yīng)用意識和綜合能力的考查.

2 回歸概念本質(zhì)看二次函數(shù)解題思路

由于中考試題的導(dǎo)向性,一線教師也有針對性的對此類二次函數(shù)的試題總結(jié)出了一整套的“套路”,比如:“一看開口決定a,左同右異確定b,c看y軸的交點”等等,但這種方法往往是剝離了基礎(chǔ)概念,講解題而不講怎樣解題,不講如何想到這種解法,一味給學(xué)生灌輸某種已經(jīng)歸納概括后的揭發(fā)技巧,選取例題時也會往“偏、奇、巧”等方向偏移,不但沒有培養(yǎng)學(xué)生的能力,還會禁錮學(xué)生的思維,應(yīng)慢慢回歸本質(zhì),在解題思路方面要從函數(shù)解決問題的本質(zhì)出發(fā),提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

比如上題也可以從二次函數(shù)的概念本質(zhì)出發(fā),將各種含二次函數(shù)解析式系數(shù)的式子回歸到對二次函數(shù)解析式的系數(shù)的分析上,只要能得到二次函數(shù)解析式,明確了系數(shù)之后,題目也自然豁然開朗了.

例1 解設(shè)此拋物線與x軸的負(fù)半軸的交點坐標(biāo)為(t,0),則另一交點為(2-t,0),易知-1＜t＜0,設(shè)拋物線解析式為y=a(x-t)(x-2+t)

=ax2-2ax+t(2-t)a(a＜0)

∴a=a,b=-2a,c=t(2-t)a,

∵-1＜t＜0,

∴2-t＞0,

又∵a＜0,

∴abc＜0,故錯誤;

∵a＜0,-1＜t＜0,

∴b-a-c＞0 故正確;

∵a＜0,m1,

∴-a(m-1)2＞0,故正確;故正確的為.

例2 解∵頂點坐標(biāo)為(1,n),與x軸一個交點為A(-1,0),則另一個交點為(3,0)

∴拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a.

∴a=a,b=-2a,c=-3a.

∴2≤-3a≤3,-1≤a正確;

∵Δ=-4a＞0,正確.

例3 解∵對稱軸是x=1,與x軸交于點由對稱性易知另一個交點為

∴拋物線解析式為y=a即y=

∴a=a,b=2a,c=且a＜0.于是abc=a·2a·正確;

例4 解設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點坐標(biāo)為(n,0)(易知-1＜n＜0)

∵對稱軸是x=1,

∴與x軸正半軸交點的坐標(biāo)為(2-n,0)則此拋物線解析式為y=a(x-n)(x-2+n),即y=ax2-2axan(n-2),

∴a=a,b=-2a,c=-an(n-2)

∵-1＜n＜0,

又∵a(＞0,

∴-2a

∴a+b+2c＜0,故正確;

第二種方法:2n2-4n+1=2(n-1)2-1,

∵-1＜n＜0,

∴1＜(n-1)2＜4,

∴1＜2(n-1)2-1＜7,

即當(dāng)-1＜n＜0時,2n2-4n+1＞0,

∴-a(2n2-4n+1)＜0,故正確;

∵a＞0,-1＜n＜0,

∴n-3＜0,n+1＞0,

∴3a+c＞0,故錯誤.

初中階段的函數(shù)概念是動態(tài)的,重點在于運動變化的過程中變量之間的關(guān)系,在遇到實際問題時,需要學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)運動變化中的變量關(guān)系,在關(guān)系發(fā)現(xiàn)的過程中潛移默化的滲透數(shù)學(xué)抽象,模型思想,即便這幾題均沒有實際問題的背景,但在教學(xué)過程中也要把問題回歸到函數(shù)概念生成的原點,關(guān)注二次函數(shù)概念的本質(zhì).上面解題使用的方法,拋離了總結(jié)的所謂“套路”,雖然看似解法變復(fù)雜了,但實則回歸了二次函數(shù)概念的本質(zhì),把此類問題劃歸為對二次函數(shù)解析式的確定,明確二次函數(shù)解析式中的待定系數(shù),用更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和更規(guī)范的表達(dá),體會解決二次函數(shù)問題的一般方法.