以多邊形面積教學(xué)為例，談關(guān)注學(xué)生的貫通培養(yǎng)

趙風(fēng)雷

多邊形面積是數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域中圖形與幾何的內(nèi)容，在整個(gè)圖形與幾何的學(xué)習(xí)中有著承上啟下的功能。教師在這部分內(nèi)容的教學(xué)中關(guān)注學(xué)生的貫通培養(yǎng)，不僅可以幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握多邊形面積的相關(guān)知識(shí)，積累豐富的研究圖形面積的經(jīng)驗(yàn)方法，而且還可以提高學(xué)生的思維水平，為將來(lái)快速適應(yīng)初中的學(xué)習(xí)做好鋪墊。如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行貫通培養(yǎng)呢？筆者有以下三點(diǎn)思考。

一、注重轉(zhuǎn)化思想的滲透，關(guān)注知識(shí)體系的貫通

《義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)步發(fā)展的所必須的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！边@一表述強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思想的重要性和重視數(shù)學(xué)思想的貫徹落實(shí)。而且在日常生活或?qū)W習(xí)中，人們?cè)诿鎸?duì)不易解決的問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)將它轉(zhuǎn)化為比較容易的問(wèn)題進(jìn)行解決。由此可見，轉(zhuǎn)化思想是一種重要且常用的數(shù)學(xué)思想，是眾多數(shù)學(xué)思想方法的基石。

通過(guò)梳理多邊形面積單元學(xué)習(xí)內(nèi)容的前后聯(lián)系，不難發(fā)現(xiàn)圖形與幾何的學(xué)習(xí)是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由新知不斷轉(zhuǎn)化為舊知的過(guò)程。轉(zhuǎn)化思想就像一根無(wú)形的線始終貫穿于幾何圖形的學(xué)習(xí)，是研究幾何圖形的重要指導(dǎo)思想。教師在教學(xué)中注重轉(zhuǎn)化思想的滲透不僅可以加深學(xué)生對(duì)多邊形面積計(jì)算公式的理解，而且有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，在腦海里形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而系統(tǒng)掌握多邊形面積的相關(guān)知識(shí)。

二、注重活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，關(guān)注學(xué)習(xí)方式的貫通

活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，幫助學(xué)生積累研究圖形面積的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是本單元的重要目標(biāo)。在本單元的教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，給學(xué)生充分的動(dòng)手操作空間，讓學(xué)生在探索圖形面積的活動(dòng)中邊做邊思考，在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中沉淀，從而掌握研究圖形面積的方法，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這些在小學(xué)階段積累的經(jīng)驗(yàn)方法，可以為中學(xué)階段圖形性質(zhì)及判定定理的證明的提供思路，有助于突破中學(xué)幾何圖形學(xué)習(xí)中“畫輔助線”的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

比如：在三角形面積這節(jié)課，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，掌握了三角形面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積或長(zhǎng)方形面積的多種方法，積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：

初中階段，在平行四邊形性質(zhì)以及平行四邊形判定定理的證明方法中，通過(guò)連接角線“將平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等的三角形”的操作實(shí)際上就是小學(xué)階段“將兩個(gè)全等三角形拼成一個(gè)平行四邊形”經(jīng)驗(yàn)方法的逆向應(yīng)用。

此外，初中階段中位線定理的證明方法“通過(guò)三角形的全等，把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個(gè)平行四邊形中”，這種方法和學(xué)生在小學(xué)階段研究三角形面積時(shí)“將三角形沿中位線分割、移補(bǔ)轉(zhuǎn)化成一個(gè)平行四邊形”的經(jīng)驗(yàn)方法如出一轍，有異曲同工之妙。

由此可見，小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，學(xué)生在小學(xué)階段積累的經(jīng)驗(yàn)方法，在中學(xué)的學(xué)習(xí)中有可能發(fā)揮重要的作用。這些經(jīng)驗(yàn)方法就像許多數(shù)學(xué)的種子一樣播種在學(xué)生的心里，將來(lái)在初中階段的學(xué)習(xí)中會(huì)繼續(xù)生根、發(fā)芽，結(jié)出美麗的果實(shí)。

• 注重抽象思維的培養(yǎng)，關(guān)注思維方式的貫通

小學(xué)生的思維方式以形象思維為主，圖形與幾何的學(xué)習(xí)在小學(xué)階段注重通過(guò)豐富的操作活動(dòng)，直觀的認(rèn)識(shí)圖形的特征，體會(huì)圖形之間的聯(lián)系。而初中階段要求學(xué)生準(zhǔn)確理解相關(guān)的概念，掌握?qǐng)D形的特征與判定定理，并能夠運(yùn)用演繹推理加以證明，這些對(duì)抽象思維要求較高，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)就比較困難。

通過(guò)對(duì)三個(gè)學(xué)段課程目標(biāo)的梳理，會(huì)發(fā)現(xiàn)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷由認(rèn)識(shí)圖形特征，到圖形性質(zhì)證明，由模糊的認(rèn)識(shí)上升到認(rèn)識(shí)本質(zhì)的過(guò)程。三個(gè)學(xué)段之間是一個(gè)有機(jī)的整體，越往后對(duì)學(xué)生抽象思維的水平要求越高。教師在小學(xué)階段的教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，有利于提高學(xué)生的思維水平，有助于實(shí)現(xiàn)思維方式的貫通。

比如：在學(xué)生掌握平行四邊形面積、三角形面積和梯形面積的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的角度感受梯形與三角形、平行四邊形的關(guān)系：

當(dāng)梯形的上底越來(lái)越短直至為0時(shí)，梯形就轉(zhuǎn)化成了三角形，所以三角形可以看作是上底為0的特殊梯形：

當(dāng)梯形的上底越來(lái)越長(zhǎng)直至等于下底時(shí)，梯形就轉(zhuǎn)化成了平行四邊形，所以平行四邊形可以看作是上下底相等的特殊梯形：

進(jìn)而溝通梯形面積公式與三角形面積、平行四邊形面積公式的聯(lián)系：

當(dāng)上底等于0時(shí)：

梯形面積=（上底+下底）×高÷2=（0+下底）×高÷2=底×高÷2=三角形面積

S_梯形=（a+b）h÷2=（0+b）h÷2=bh÷2=S_三角形

當(dāng)上底等于下底時(shí)：

梯形面積=（上底+下底）×高÷2=（上底+上底）×高÷2=底×2×高÷2=底×高=平行四邊形面積。

S_梯形=（a+b）h÷2=（a+a）h÷2=ah=S_{平行四邊形}

從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形、三角形、梯形面積公式之間是相通的，本質(zhì)上都是“底×高”。這樣的教學(xué)過(guò)程既包含了形象的圖形轉(zhuǎn)化過(guò)程，又包含了抽象的公式推導(dǎo)過(guò)程。將“形”的研究轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的推理，就從形象思維上升到了抽象思維，可以有效提升學(xué)生的思維水平，為學(xué)生將來(lái)在中學(xué)階段運(yùn)用演繹推理證明圖形的性質(zhì)和判定定理做了很好的鋪墊。

綜上所述，教師在對(duì)學(xué)生進(jìn)行貫通培養(yǎng)時(shí)，既要關(guān)注知識(shí)體系的貫通，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有“長(zhǎng)度”;也要關(guān)注學(xué)習(xí)方式的貫通，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有“廣度”;還要關(guān)注思維方式的貫通，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有“高度”。貫通培養(yǎng)是一項(xiàng)系統(tǒng)的工程，需要教師在不斷的探索中前行，貫通培養(yǎng)，我們?nèi)匀辉诼飞?.....