趙麗娟

一、案例背景

本案例選自人教版高中數(shù)學(xué)必修2第二章2.2.1《直線與平面平行的判定》。高中立體幾何課程歷來(lái)以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力為主要目標(biāo)?！缎抡n程標(biāo)準(zhǔn)》要求“認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直覺(jué)，運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力，空間想象能力與一定的推理論證能力”。

二、案例過(guò)程

老師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，今天探究如何判定直線與平面平行的。給兩分鐘時(shí)間，請(qǐng)思考以下問(wèn)題：

1、生活中，哪些現(xiàn)象給我們以直線與平面平行的形象呢？

2、我們應(yīng)該如何判定直線與平面平行關(guān)系呢？你有哪些解決方案？

3、在直線與平面平行的過(guò)程中，蘊(yùn)含著怎樣的思想方法呢？

學(xué)生靜靜思考，并做記錄;教師巡視、觀察。

學(xué)生1：教室看成長(zhǎng)方體模型，棱和對(duì)面平行，因?yàn)椤庇X(jué)告訴我平行。

其他學(xué)生竊竊私語(yǔ)。

學(xué)生2站起來(lái)說(shuō)：我認(rèn)為他說(shuō)的很荒謬，因?yàn)橹庇X(jué)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模３?huì)出差錯(cuò)。但是我也卻無(wú)法反駁他所說(shuō)的實(shí)例……我感覺(jué)我翻開(kāi)課本的時(shí)候，書(shū)的邊沿和桌面也是平行的，因?yàn)榘褧?shū)的邊沿可以放回桌面。

學(xué)生3：我感覺(jué)教室打開(kāi)的門(mén)邊沿和門(mén)框所在面平行，并且無(wú)論門(mén)在什么位置，都和門(mén)框所在平面平行，但是我不知道為什么？

其他學(xué)生發(fā)出驚嘆聲音，不由自主看向門(mén)，主動(dòng)翻翻課本，體驗(yàn)直線和平面平行。

老師評(píng)價(jià)：我也很同意大家所舉實(shí)例。

學(xué)生1說(shuō)：“直覺(jué)”，在數(shù)學(xué)史上不正是有很多大膽的猜測(cè)，直覺(jué)，才引領(lǐng)我們一步步走向真理嗎？學(xué)生2說(shuō)他的原因是“書(shū)可以放回桌面”，這也給我們提供一個(gè)思路;學(xué)生3的觀點(diǎn)是“門(mén)無(wú)論在什么位置”，這也給我們提供一種新的方案。

老師：那么我們判定直線與平面平行的方法有哪些方案呢？

（學(xué)生小組討論，并做記錄;老師不時(shí)指導(dǎo)，巡邏）十分鐘后，小組展示：

小組1（展臺(tái)呈現(xiàn)記錄，并口述）：直線 與平面 平行的定義是直線 和平面 沒(méi)有公共點(diǎn)，定義一般是雙向互推的，可用符號(hào)表示為 ，由此定義可以得到直線 和平面? 平行的基本判定。

小組4（展臺(tái)呈現(xiàn)記錄，并口述）：線在面內(nèi)的判定轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在面內(nèi)的判定，即? ，從而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和面的問(wèn)題，類(lèi)比公理1，我們將判定直線與平面平行問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與平面問(wèn)題，或者直線與平面內(nèi)直線平行問(wèn)題。

小組5（展臺(tái)呈現(xiàn)記錄，并口述）：異面直線所成的角的確定，我們是通過(guò)將兩條異面直線平移至共面來(lái)解決的，即把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題。

小組6（口述）：小組5的方案提醒我，只要說(shuō)明直線和平面夾角是0，也可以判定直線和平面平行。

老師評(píng)價(jià)：想不到同學(xué)們能有這么多的想法，值得鼓勵(lì)，為優(yōu)秀的自己鼓掌。

老師：那么接下來(lái)，實(shí)際操作以上方案，是否可行？先論證小組1的方案，即“已知直線 與平面 無(wú)公共點(diǎn)，證明：直線 與平面 平行”。

學(xué)生：顯然是可以證明的，但是已知條件太苛刻了，平面是無(wú)線延伸的，直線是無(wú)線延伸的，很難說(shuō)明“無(wú)公共點(diǎn)”。理論正確，但是不好操作。

老師：確實(shí)是這樣的，操作性不強(qiáng)，卻理論上可以說(shuō)明直線和平面平行。（老師在副黑板上書(shū)寫(xiě)該證明方法）

老師：小組5的方案，即“已知直線 與平面 夾角0，證明：直線 與平面 平行”。那么如何求直線與平面的夾角？

學(xué)生：直線與平面的夾角計(jì)算量大，不簡(jiǎn)便，并且不利于實(shí)際生活中應(yīng)用。

老師在副黑板寫(xiě)下該證明方法。

老師：小組4的方案，即“已知點(diǎn)A在平面 外，點(diǎn)A在直線 上，求證：直線 與平面 平行”。

學(xué)生4（用筆實(shí)踐，讓其他學(xué)生觀看實(shí)驗(yàn)）：這是錯(cuò)誤結(jié)論。

小組4補(bǔ)充：“已知點(diǎn)A，B在平面 外，點(diǎn)A，B在直線 上，求證：直線 與平面平行”。

學(xué)生4再次用筆實(shí)踐，讓其他同學(xué)觀看，強(qiáng)有力的說(shuō)明該結(jié)論的錯(cuò)誤性。

小組4不肯放棄自己的方案被推翻，再次補(bǔ)充：“已知直線 在平面 內(nèi)，直線 與直線 平行，求證：直線 與平面 平行”。

學(xué)生4靜靜思考……

學(xué)生2：對(duì)啊，翻書(shū)的過(guò)程，書(shū)的邊沿，桌面和書(shū)的交線平行，所以書(shū)的邊沿和整個(gè)桌面是平行的，類(lèi)似的開(kāi)門(mén)也是這個(gè)道理啊。

其他學(xué)生也紛紛表示贊同。

老師：同學(xué)們的討論很激烈。那么，平面內(nèi)的直線，是任意一條？無(wú)數(shù)條？還是兩條？還是一條就可以？針對(duì)以上情況，請(qǐng)說(shuō)明你的理由或者舉出反例反駁。

學(xué)生思考，全班陷入沉寂。

這時(shí)老師緊抓“條數(shù)”問(wèn)題展開(kāi)探究。

老師：由上面的圖形分析，不必證明任意一條，無(wú)數(shù)條，只需要證明平面內(nèi)的一條直線與另一直線平行即可。

老師在副黑板上繼續(xù)寫(xiě)出此定理，口述：“若一條直線與平面的一條直線平行，則該直線與此平面平行”。

老師繼續(xù)提問(wèn)：同學(xué)們，上面命題有什么補(bǔ)充嗎？請(qǐng)實(shí)際操作說(shuō)明。

學(xué)生很快尋找出漏洞，老師補(bǔ)充完整，并在主黑板上書(shū)寫(xiě)“直線與平面平行的判定”，即：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與平面平行。

作用：判定或證明線面平行。

關(guān)鍵點(diǎn)：在平面內(nèi)找（或作）出一條直線與平面外的直線平行。

思想：空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。

老師繼續(xù)追問(wèn)：如圖，平面 外的直線 平行于平面 內(nèi)的直線 ，則這兩條直線共面嗎？直線 與平面 可能相交嗎？

學(xué)生反映很靈敏，能夠準(zhǔn)確說(shuō)出答案。

老師：請(qǐng)思考如何具體尋找出平面內(nèi)的直線呢？現(xiàn)在立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題，結(jié)合初中所學(xué)知識(shí)和你的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，尋找直線與直線平行的判定，總結(jié)記錄下來(lái)。

學(xué)生小組討論，展臺(tái)展示，并舉例。

接下來(lái)，老師設(shè)計(jì)兩個(gè)例題，意在：1、幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解并牢記線面平行的判定定理，緊抓條件和結(jié)論，著重注意其中的關(guān)鍵詞;2、幫助學(xué)生總結(jié)解題技巧，平行四邊形和中位線是判定線線平行的有效工具，強(qiáng)調(diào)學(xué)生總結(jié)線線平行的判定。

例1：判斷下列命題的真假？說(shuō)明理由：

①如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與平面平行（）

②過(guò)直線外一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行（）

③一直線上有二個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線與平面平行（）

例2：（見(jiàn)課本60頁(yè)已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，

求證：EF || 平面BCD

練習(xí)：如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與C1D1中點(diǎn)，求證：EF||平面BD1B1

老師：請(qǐng)回憶本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回顧探索直線與平面平行的判定過(guò)程，總結(jié)判定直線與平面平行的方法，歸納判定線線平行的技巧。