玻色-愛因斯坦凝聚與箱中自由粒子模型

李立本　王趙武　尹傳磊　郝世明

摘 要 在分析玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象時有兩個基本前提：要求零能級存在和自由粒子模型成立，本文分析了這兩個前提可能出現(xiàn)的矛盾。指出：嚴(yán)格的無限深勢阱模型不容許存在零能級;有限體積的周期邊界模型中的零能級違背不確定關(guān)系。對于勢阱模型，若認(rèn)為勢阱勢壘不是無限高，則不僅零能級可以存在且與不確定關(guān)系兼容;對于周期邊界條件模型，若認(rèn)為箱子體積趨于熱力學(xué)極限，零能級也就兼容了不確定關(guān)系。同時還簡單討論了與此相關(guān)的簡并態(tài)與不確定關(guān)系、多粒子波函數(shù)構(gòu)建、兩種模型的態(tài)密度一致性問題。

關(guān)鍵詞 玻色-愛因斯坦凝聚 玻色子 自由粒子 能級

中圖分類號：O414.13?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.05.012

Abstract When analyzing the Bose-Einstein condensation phenomenon， there are two basic premises that a zero-level existence and a free particle model are required. This article analyzes the possible contradictions between these two premises. It is pointed out that the strict infinite deep well model does not allow zero energy levels; the zero energy levels in the periodic boundary model of finite volume violates the uncertainty relationship. If the potential well barrier is not considered to be infinitely high for the potential well model， not only the zero energy level can exist but be compatible with the uncertainty relationship; for the periodic boundary condition model， if the box volume is approached to the thermodynamic limit， the zero energy level is also compatible uncertainty relationship. At the same time， the related degenerate states and uncertainties， the construction of multi-particle wave functions， and the consistency of the state density of the two models are briefly discussed.

Keywords Bose-Einstein condensation; boson; free particle; energy level

1 問題提出

玻色-愛因斯坦凝聚已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)證實(shí)[1]并在2001年獲諾貝爾物理學(xué)獎。預(yù)期該現(xiàn)象從計算體積為V的箱子中N個玻色氣體的統(tǒng)計行為出發(fā)。[2]在溫度為T和化學(xué)勢為 的情況下，系統(tǒng)的總粒子數(shù)用下式計算

對于實(shí)際的箱子可以視為零。[8]然而按照汪志誠先生的表述，嚴(yán)格的零能級，才導(dǎo)致化學(xué)勢不大于零，這是出現(xiàn)玻色-愛因斯坦凝聚的重要論據(jù)。任何一個小能量值，在溫度趨于絕對零度時都會被放大為不能忽略。

4 問題解決

如果認(rèn)為箱壁是很高的勢壘，但仍有一定概率穿透，那么零能級解是存在的。[11]而且由于此時粒子原則上可以出現(xiàn)在無窮遠(yuǎn)處，所以零動量并不與不確定關(guān)系矛盾。

針對周期性邊界條件情況，我們依然可以認(rèn)為粒子活動區(qū)域趨于無窮，這符合熱力學(xué)極限。這樣零能級也是合理的。

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f，上述矛盾的出現(xiàn)源自沒有考慮玻色子間的相互作用，實(shí)際上玻色子間有（等效的）吸引，這會使系統(tǒng)出現(xiàn)零能級，從而使描述系統(tǒng)整體性質(zhì)的化學(xué)勢不大于零。

5 其它問題

（1）對于如式（10）表達(dá)的次低能級，其中， 對應(yīng)的動量也是確定的，為什么不受不確定關(guān)系的約束？實(shí)際上次低能級還有兩個簡并態(tài)，例如，粒子究竟處于哪個態(tài)是不確定的，因而有一個動量不確定度，不確定關(guān)系在箱中是成立的。

（2）對于多粒子系統(tǒng)，欲寫出系統(tǒng)的波函數(shù)，會涉及粒子的位置交換對稱性。例如電子（費(fèi)米子），可以用Slater行列式構(gòu)建一個反對稱波函數(shù)：[3]

（3）（7）式和（10）式量子數(shù)的取值范圍分別為自然數(shù)和整數(shù)，對應(yīng)能量等能面在量子數(shù)空間分別畫出是一個球面和第一象限的八分之一球面。這似乎會導(dǎo)致態(tài)密度不同，但注意到兩式中的波矢相差2倍，所以最終態(tài)密度的表達(dá)是一致的，不因模型不同而有所差異。[7]

6 結(jié)語

采用有限高的箱壁勢壘模型或者無限大的體積的周期邊界模型，自由粒子才存在零能級，使玻色-愛因斯坦凝聚的理論解釋內(nèi)部自洽。

基金資助：單一氧化物超級電容器填充材料微結(jié)構(gòu)對提高儲能效率影響研究，河南省科技廳工業(yè)公關(guān)項(xiàng)目， 182102210298;基于莫爾條紋的工藝品設(shè)計，國家級大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目，S201810464012;基于莫爾條紋編碼的防偽技術(shù)研究，河南科技大學(xué)大學(xué)生研究訓(xùn)練計劃項(xiàng)目2019213

參考文獻(xiàn)

[1] M. H. Anderson，et al. Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor[J]， Science， 1995， 269， P198; K. B. Davis， et al.， Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms[J]， Phys. Rev. Lett. 1995， 75， P3969.

[2] 包景東.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2011.11：104-105.

[3] [德]W.顧萊納 L.奈斯 H.斯托克著.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理[M].鐘云霄，譯.北京：北京大學(xué)出版社，2001.12：239.

[4] Ashley H. Cater， Classical and Statistical Thermodynamics[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.12：226-228.

[5] Kittel Charles， Thermal physics[M]， W. H. Freeman and Company（US）， Twenty-first printing， 2000， P72.

[6] Walter A. Harrison， Applied Quantum Mechanics[M]， World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.（Singapore）， 2000 first published， P16-24.

[7] 汪志誠.熱力學(xué)·統(tǒng)計物理[M].北京：高等教育出版社，2013.1：230-233.

[8] 林宗涵.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理[M].北京：北京大學(xué)出版社，2007.1：254.

[9] 梁希俠，班士良.統(tǒng)計熱力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社：9.

[10] M.Toda， R.Kubo， N.Saito， Statistical Physics[M]， Springer-Verlag， Beijing， Second Corrected Pringting，1995：31-32.

[11] L.I.席夫著.量子力學(xué)[M].李淑嫻，陳崇光，譯.北京：人民教育出版社，1981.9：40-45.