魏宗康,徐白描

(北京航天控制儀器研究所·北京·100854)

0 引 言

三軸穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)由臺(tái)體、內(nèi)框架、外框架和基座組成，相對(duì)于捷聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)在于通過(guò)框架隔離載體的角運(yùn)動(dòng)，使平臺(tái)臺(tái)體相對(duì)于慣性空間始終保持穩(wěn)定，為導(dǎo)航解算用的加速度計(jì)提供一個(gè)良好的工作環(huán)境?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)[1-2]認(rèn)為，臺(tái)體相對(duì)慣性空間穩(wěn)定的三軸平臺(tái)存在“框架鎖定”現(xiàn)象，即內(nèi)框架角為90°時(shí)平臺(tái)臺(tái)體軸和外框架軸相重合從而使平臺(tái)失去一個(gè)自由度。在發(fā)生框架鎖定時(shí)，如果平臺(tái)基座沿垂直于臺(tái)體軸和外框架軸的第三個(gè)正交軸存在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則通過(guò)平臺(tái)外框架軸和內(nèi)框架軸的軸承約束，將帶動(dòng)整個(gè)臺(tái)體繞該第三個(gè)正交軸轉(zhuǎn)動(dòng)從而使其不能相對(duì)慣性空間保持穩(wěn)定。為此，三軸平臺(tái)在工程應(yīng)用中在內(nèi)框架軸上增加限位擋釘以避免內(nèi)框架角工作于大角度，這就使得三軸平臺(tái)只能應(yīng)用于機(jī)動(dòng)姿態(tài)有限的載體上。

但隨著飛機(jī)、運(yùn)載火箭和彈道式導(dǎo)彈對(duì)機(jī)動(dòng)變軌飛行需求的增加，要求慣性平臺(tái)在全姿態(tài)、大機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)臺(tái)體仍能保持穩(wěn)定。為此，在原來(lái)兩框架三軸平臺(tái)的基礎(chǔ)上，通過(guò)在最外面增加一個(gè)隨動(dòng)框架構(gòu)成四軸平臺(tái)用來(lái)避免“框架鎖定”現(xiàn)象的發(fā)生。為了使四軸平臺(tái)的內(nèi)框架工作于0°，文獻(xiàn)[3-4]提出了一種全方位四軸平臺(tái)隨動(dòng)回路方案。當(dāng)外框架角為±90°時(shí)，可通過(guò)將隨動(dòng)框架轉(zhuǎn)動(dòng)90°的方法使內(nèi)框架角回零，同時(shí)使外框架離開±90°位置，使四軸平臺(tái)重新具備閉合隨動(dòng)回路的工作條件。這就帶來(lái)一個(gè)新的問題是，既然內(nèi)框架角始終工作于0°，那么四軸平臺(tái)就退化為一個(gè)由臺(tái)體軸、外框架軸和隨動(dòng)框架軸構(gòu)成的三軸平臺(tái)了，是不是三軸平臺(tái)也能實(shí)現(xiàn)全姿態(tài)、大機(jī)動(dòng)狀態(tài)下的工作？

國(guó)內(nèi)對(duì)三軸平臺(tái)內(nèi)框架限幅的主要依據(jù)是參考文獻(xiàn)[1]，所建立的三軸平臺(tái)運(yùn)動(dòng)模型中包含了內(nèi)框架角的正切函數(shù)和正割函數(shù)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和力矩變換的計(jì)算公式中也包含了內(nèi)框架角度的正切值或正割值，因此當(dāng)內(nèi)框架角度為±90°時(shí)，計(jì)算的結(jié)果趨于無(wú)窮大，但該結(jié)論不符合物理規(guī)律。因此，本文建立了一種新的三軸平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程、伺服回路模型，并提出了一種適應(yīng)全姿態(tài)的解耦方法，可對(duì)回路中的力矩耦合和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量耦合進(jìn)行解耦，實(shí)現(xiàn)了三條回路的獨(dú)立控制。針對(duì)伺服回路系統(tǒng)中的變參數(shù)問題，本文提出了變?cè)鲆婵刂撇呗裕抡娼Y(jié)果表明該控制方法可保證伺服回路性能不變，具有更好的魯棒性。

1 三軸陀螺穩(wěn)定平臺(tái)的框架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

包含臺(tái)體、內(nèi)框架、外框架和基座的三軸平臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖1所示，設(shè)βzk為內(nèi)框架相對(duì)臺(tái)體的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，βyk為外框架相對(duì)內(nèi)框架的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，βxk為基座相對(duì)外框架的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。在βzk=0、βyk=0、βxk=0時(shí)，臺(tái)體坐標(biāo)系OXpYpZp、內(nèi)框架坐標(biāo)系OXp1Yp1Zp1、外框架坐標(biāo)系OXp2Yp2Zp2和基座坐標(biāo)系OX1Y1Z1重合。此時(shí)，平臺(tái)框架可以隔離基座的角運(yùn)動(dòng)，臺(tái)體相對(duì)慣性空間穩(wěn)定。

圖1 框架歸零時(shí)的三軸平臺(tái)結(jié)構(gòu)Fig.1 Three axes platform structure when frame angle values are zeros

圖2 三軸平臺(tái)4個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系Fig.2 The relation within four coordinates of three axes platform

在建立平臺(tái)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，定義ωxp、ωyp、ωzp分別為臺(tái)體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在Xp、Yp、Zp軸上的投影分量；ωxp1、ωyp1、ωzp1分別為內(nèi)框架坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在Xp1、Yp1、Zp1軸上的投影分量；ωxp2、ωyp2、ωzp2分別為外框架坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在Xp2、Yp2、Zp2軸上的投影分量；ωx1、ωy1、ωz1分別為載體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在X1、Y1、Z1軸上的投影分量。

采用歐拉法分別列寫出臺(tái)體、內(nèi)框架和外框架的動(dòng)力學(xué)方程。

(1) 臺(tái)體的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

式中，Jxp、Jyp、Jzp為臺(tái)體(包括陀螺儀殼體)對(duì)Xp、Yp、Zp軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Mxp、Myp、Mzp為臺(tái)體Xp、Yp、Zp軸上的外力矩；MDzp為臺(tái)體軸力矩電機(jī)的反饋力矩。

(2) 內(nèi)框架的動(dòng)力學(xué)方程：

(2)

式中，Jxp1、Jyp1、Jzp1為內(nèi)框架對(duì)Xp1、Yp1、Zp1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Mxp1、Myp1、Mzp1分別為內(nèi)框架軸上的外力矩，不包括電機(jī)力矩的反饋力矩；MDy1為內(nèi)框架軸力矩電機(jī)反饋力矩。

(3) 外框架的動(dòng)力學(xué)方程為：

(3)

式中，Jxp2、Jyp2、Jzp2為內(nèi)框架對(duì)Xp2、Yp2、Zp2軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Mxp2、Myp2、Mzp2分別為外框架軸上的外力矩，不包括電機(jī)力矩的反饋力矩；MDx2外框架軸力矩電機(jī)反饋力矩。

(4) 基座隨著載體運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)外框架施加的力矩為

(4)

式中，Mx1、My1、Mz1為基座受到載體的作用力矩。

2 存在奇異值的三軸平臺(tái)臺(tái)體合成動(dòng)力學(xué)方程

式(1)～(4)是分析平臺(tái)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)，對(duì)其求解可得三軸平臺(tái)的臺(tái)體三軸動(dòng)力學(xué)方程。在具體求解過(guò)程中，忽略二階慣性干擾力矩，可以列寫出各框架力矩作用到臺(tái)體三個(gè)軸Xp、Yp、Zp的動(dòng)力學(xué)方程。根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]的推導(dǎo)思路，依據(jù)內(nèi)框架動(dòng)力學(xué)方程，有

(5)

(6)

以及外框架OXp2軸動(dòng)力學(xué)方程

Mxp1=

(7)

需要注意，當(dāng)βyk=90°時(shí)，上式中的1/cosβyk將趨于無(wú)窮大，βyk為奇異值。把式(6)代入式(7)，再把式(7)代入式(5)，并把式(5)代入式(1)，即可求得三軸穩(wěn)定慣性平臺(tái)系統(tǒng)的臺(tái)體合成動(dòng)力學(xué)方程為

(8)

其中，

Jzp1cos2βzktan2βyk+Jxp2cos2βzksec2βyk；

Jzp1sin2βzktan2βyk+Jxp2sin2βzksec2βyk；

Jxp2sec2βyk)sin2βzk。

根據(jù)該動(dòng)力學(xué)方程，三軸平臺(tái)伺服回路如圖3所示。圖中，由框架至臺(tái)體的干擾力矩的耦合矩陣為

(9)

在現(xiàn)有平臺(tái)系統(tǒng)中只采用了平面坐標(biāo)分解器進(jìn)行力矩解耦，平面分解器的表達(dá)式為

(10)

但上述結(jié)果存在以下問題：

(1) 當(dāng)βyk趨于±90°時(shí)，如果外框架Xp2、臺(tái)體Zp軸上存在有限力矩Mxp2和Mzp，臺(tái)體Xp和Yp軸將接收到趨于無(wú)限大的被動(dòng)力矩。從物理意義上來(lái)說(shuō)，在框架軸輸入有限能量時(shí)將在臺(tái)體產(chǎn)生無(wú)限能量，顯然不符合客觀規(guī)律。

分析錯(cuò)誤的原因，根源在于兩個(gè)方面，其一是式(6)中把內(nèi)框架Mzp1用臺(tái)體軸力矩Mzp-MDzp表示，即該方法認(rèn)為內(nèi)框架的干擾力矩是由臺(tái)體的運(yùn)動(dòng)造成的；其二是式(7)，在求解Mxp1時(shí)只用到外框架OXp2軸的動(dòng)力學(xué)方程，而沒有用到OZp2軸的動(dòng)力學(xué)方程。

圖3 基于平面坐標(biāo)分解器的三軸平臺(tái)伺服回路Fig.3 Three axes platform servo based on plane coordinate resolver

3 適應(yīng)全姿態(tài)的三軸平臺(tái)系統(tǒng)臺(tái)體合成動(dòng)力學(xué)方程

通過(guò)把內(nèi)框架力矩Mzp1用外框架力矩Mxp2和Mzp2的合成來(lái)表示，采用表達(dá)式

Mzp1=[M7-(Mxp2-MDx2)]sinβyk- (M9-Mzp2)cosβyk

(11)

把上式代入式(7)，有

Mxp1=-[M7-(Mxp2-MDx2)]cosβyk-

(M9-Mzp2)sinβyk

(12)

忽略二階小量，具體推導(dǎo)過(guò)程見圖4。

圖4 三軸平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)流程Fig.4 Derivation flow of kinematic equation of three axes platform

(13)

其中，

4 三軸平臺(tái)系統(tǒng)伺服回路全姿態(tài)解耦設(shè)計(jì)

在慣性穩(wěn)定平臺(tái)伺服系統(tǒng)工作時(shí)，作為伺服回路執(zhí)行機(jī)構(gòu)的三個(gè)力矩電機(jī)分別裝在臺(tái)體軸、內(nèi)框架軸和外框架軸上，在不同框架角時(shí)伺服回路會(huì)存在著力矩耦合?？蚣芟到y(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最終通過(guò)慣性干擾力矩對(duì)臺(tái)體的作用體現(xiàn)出來(lái)，包括轉(zhuǎn)動(dòng)慣量間的耦合、慣量積的耦合等，但最關(guān)鍵的是框架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在臺(tái)體上的耦合。為此，在設(shè)計(jì)三軸慣性穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)的伺服回路控制器時(shí)，需要進(jìn)行解耦。

目前的三軸平臺(tái)的內(nèi)框架角工作范圍較小，一般不會(huì)超過(guò)±40°的范圍，所以對(duì)伺服回路進(jìn)行解耦時(shí)只考慮了力矩解耦，即所謂的坐標(biāo)分解器。隨著內(nèi)框架角工作范圍達(dá)到±180°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量耦合對(duì)伺服回路的影響不可忽略，主要表現(xiàn)為兩個(gè)方面：(1)三個(gè)回路交鏈的耦合作用會(huì)直接影響靜態(tài)精度和動(dòng)態(tài)精度；(2)三個(gè)回路增益大小的變化會(huì)影響相位裕度。這些都會(huì)影響平臺(tái)臺(tái)體相對(duì)慣性空間的穩(wěn)定性和精度。為此，本文提出了一種新的三軸穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)伺服回路解耦方法，如圖5所示。圖中，由框架至臺(tái)體的干擾力矩的耦合矩陣為

(14)

(15)

(16)

圖5 基于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和力矩解耦的三軸平臺(tái)伺服回路Fig.5 Three axes platform servo based on moment of inertia and moment decoupling

圖6 解耦后的X軸平臺(tái)伺服回路Fig.6 Decoupled servo loop of X-axis platform

5 三軸平臺(tái)系統(tǒng)伺服回路變?cè)鲆婵刂圃O(shè)計(jì)

圖在不同框架角時(shí)的值Fig.7 The value of according to different frame angle

本文提出一種三軸慣性穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)伺服回路變?cè)鲆婵刂品椒?，?shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)根據(jù)臺(tái)體上安裝的陀螺儀輸出的角速度，得到臺(tái)體在Xp軸、Yp軸和Zp軸上的角速度分量ωxp、ωyp、ωzp；

(2)經(jīng)過(guò)解耦后，得到臺(tái)體Zp軸的合成轉(zhuǎn)動(dòng)角速度βz、內(nèi)框架Yp1軸的合成轉(zhuǎn)動(dòng)角速度βy；外框架Xp2軸的合成轉(zhuǎn)動(dòng)角速度βx；

性能指標(biāo)要求包括靜態(tài)精度指標(biāo)、動(dòng)態(tài)精度指標(biāo)和對(duì)象不確定性指標(biāo)：(1)靜態(tài)精度指標(biāo)為伺服回路為一個(gè)II型系統(tǒng)，因此，需增加一個(gè)積分環(huán)節(jié)；(2)動(dòng)態(tài)精度主要考慮在低頻段盡量增加伺服回路的力矩剛度；(3)對(duì)象不確定性主要考慮高頻未建模特性。由于精度指標(biāo)和對(duì)象不確定性指標(biāo)是一對(duì)矛盾量，因此，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)需要在上述兩個(gè)指標(biāo)之間取折中[7-8]。

在具體設(shè)計(jì)時(shí)，以X軸伺服回路為例，采用H∞控制設(shè)計(jì)的βyk=0°、βzk=0°時(shí)的控制器為[11-12]

Cx,0(s)=

(19)

伺服回路開環(huán)傳遞函數(shù)如圖8所示，可以看出，在帶寬范圍內(nèi)的低頻段，開環(huán)傳遞函數(shù)幅值大于性能界函數(shù)的值，而在帶寬范圍外的高頻段，開環(huán)傳遞函數(shù)幅值小于對(duì)象不確定性的值；伺服回路的帶寬為163.2(rad/s)，相位裕度為53.9°，滿足設(shè)計(jì)要求。

圖8 X軸伺服回路開環(huán)伯德圖Fig.8 The magnitude versus phase plot of X-axes servo loop

圖9 X軸伺服回路開環(huán)幅值伯德圖Fig.9 The magnitude plot of X-axes servo loop

為比較變?cè)鲆娴男Ч豢紤]系統(tǒng)中的飽和特性，設(shè)框架角βyk=90°、βzk=0°，外框架受到一個(gè)常值干擾力矩Mx1=1(N·m)的作用，電機(jī)力矩MDx2的響應(yīng)過(guò)程見圖10中的上圖，控制器輸出ux的電流見圖10中的下圖。無(wú)增益補(bǔ)償時(shí)的伺服回路單位階躍響應(yīng)如圖10中紅線所示，黑線為采用變?cè)鲆婵刂频乃欧芈穯挝浑A躍響應(yīng)，可以看出，變?cè)鲆婵刂凭哂许憫?yīng)時(shí)間快、超調(diào)量小、精度高的優(yōu)點(diǎn)。

圖10 X軸伺服回路單位階躍響應(yīng)Fig.10 The step response plot of X-axes servo loop

6 結(jié) 論

本文針對(duì)載體全姿態(tài)、大機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用需求，探討了三軸平臺(tái)在臺(tái)體相對(duì)于慣性空間穩(wěn)定時(shí)的全姿態(tài)伺服控制方法，有如下結(jié)論：

(1) 傳統(tǒng)上認(rèn)為三軸平臺(tái)存在“框架鎖定”而不能實(shí)現(xiàn)全姿態(tài)功能的觀點(diǎn)是有局限性的，主要原因?yàn)槔碚撏茖?dǎo)有不足之處，在工程實(shí)際中又采用限位擋釘使內(nèi)框架角工作于小角度等具體措施；本文建立了新的三軸平臺(tái)伺服回路動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了三軸平臺(tái)任意框架角時(shí)的全姿態(tài)運(yùn)動(dòng)描述。

(2)工程實(shí)現(xiàn)中三軸平臺(tái)采用平面坐標(biāo)分解器實(shí)現(xiàn)伺服回路解耦有其局限性，解耦的條件是假設(shè)內(nèi)框架角工作于小角度；本文提出了一種新的伺服回路解耦方法，不僅可實(shí)現(xiàn)全姿態(tài)條件下框架力矩耦合的解耦，還可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量耦合的解耦，實(shí)現(xiàn)了真正物理意義上的解耦。

(3) 現(xiàn)有的伺服回路控制器為固定參數(shù)超前滯后頻率域控制器，具有較好的魯棒穩(wěn)定性，但在全姿態(tài)條件下個(gè)別性能會(huì)下降；本文提出了一種變?cè)鲆婵刂品椒?，?shí)時(shí)補(bǔ)償伺服回路在不同框架角時(shí)的增益變化，確保了伺服回路的性能不變。