唐保祥, 任 韓

(1. 天水師范學院 數學與統(tǒng)計學院, 甘肅 天水 741001； 2. 華東師范大學 數學系, 上海 200062)

1 引言與預備知識

對于圖完美匹配的計數, 目前已有一些精巧的計數方法[1-4], 但還沒有一般的方法求一般圖完美匹配的數目. 文獻[5-8]研究表明, 對于一些特殊圖, 把所研究的圖按照匹配某個頂點的完美匹配分類, 先求出每一類完美匹配數目的遞推關系式, 即可得所研究圖的完美匹配數目計數公式.

定義1如果圖G有一個1-正則生成子圖, 則稱該生成子圖為圖G的完美匹配.

定義2設S1,S2是圖G的兩個完美匹配, 如果S1和S2中有一條邊不同, 則稱S1和S2是圖G兩個不同的完美匹配.

圖1 圖2-2nP5

圖2 圖2-nK1,1,1,3

2 主要結果

定理1令η(2n)是圖2-2nP5的完美匹配數, 則

(1)

證明: 圖2-2nP5顯然存在完美匹配. 要求函數η(2n)的解析式, 先要定義圖G1并求出其完美匹配數的遞推式. 把路pq的端點p,q分別與圖2-2nP5的頂點u11,u13連接一條邊產生的圖記為G1, 如圖3所示. 由圖3可見, 圖G1存在完美匹配, 用μ(2n)表示圖G1的完美匹配數. 設圖G1完美匹配的集合為P, 圖G1含有邊pq,pu11的完美匹配集合分別為P1,P2, 則P1∩P2=?,P=P1∪P2, 故μ(2n)=|P|=|P1|+|P2|. 因為pq∈P1, 所以pu11,qu13?P1, 故由η(2n)的定義知, |P1|=η(2n).

圖3 圖G1

μ(2n)=η(2n)+η(2(n-1))+μ(2(n-1)).

(2)

|S3|=4η(2(n-1))+μ(2(n-1)).

綜上, 有

η(2n)=11η(2(n-1))+2μ(2(n-1)).

(3)

由式(2)得

μ(2(n-1))=η(2(n-1))+η(2(n-2))+μ(2(n-2)),

(4)

把式(4)代入式(3), 得

η(2n)=13η(2(n-1))+2η(2(n-2))+2μ(2(n-2)).

(5)

由式(3)得

η(2(n-1))=11η(2(n-2))+2μ(2(n-2)),

(6)

將式(5),(6)消去μ(2(n-2)), 得

η(2n)=14η(2(n-1))-9η(2(n-2)).

(7)

其中c1,c2為待定常數. 圖4為圖2-2×1P5的完美匹配. 由圖4知,η(2×1)=13,μ(2×1)=15. 從而由式(3)得η(2×2)=173. 故式(1)成立.

圖4 圖2-2×1P5的完美匹配

定理2令λ(n)為圖2-nK1,1,1,3的完美匹配數, 則

(8)

證明: 圖2-nK1,1,1,3顯然存在完美匹配. 要求函數λ(n)的解析式, 先要定義圖G2并求出其完美匹配數的遞推式. 把路wt的端點w,t分別與圖2-nK1,1,1,3的頂點u11,v11連接一條邊生成的圖記為G2, 如圖5所示. 由圖5可見, 圖G2有完美匹配, 用π(n)表示圖G2的完美匹配數. 設圖G2完美匹配的集合為S, 圖G2含有邊wt,wu11的完美匹配集合分別為S1,S2, 則S1∩S2=?,S=S1∪S2, 從而π(n)=|S|=|S1|+|S2|. 因為wt∈S1, 所以wu11,tv11?S1, 故由λ(n)的定義知, |S1|=λ(n).

圖5 圖G2

π(n)=λ(n)+λ(n-1)+π(n-1).

(9)

λ(n)=4λ(n-1)+2π(n-1).

(10)

由式(9)得

π(n-1)=λ(n-1)+λ(n-2)+π(n-2),

(11)

把式(11)代入式(10), 得

λ(n)=6λ(n-1)+2λ(n-2)+2π(n-2).

(12)

由式(10), 得

λ(n-1)=4λ(n-2)+2λ(n-2),

(13)

將式(12),(13)消去π(n-2), 得

λ(n)=7λ(n-1)-2λ(n-2).

(14)

其中c1,c2為待定常數. 圖6為圖2-1K1,1,1,3的完美匹配. 由圖6知,λ(1)=6. 圖7為圖G3的完美匹配, 由圖7知,π(1)=8. 從而由式(10)得λ(2)=40. 故式(8)成立.

圖6 圖2-1K1,1,1,3的完美匹配

圖7 圖G3的完美匹配