王燕飛，金玉子

(吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林 132022)

著名的德國(guó)思想家恩格斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，在表面上體現(xiàn)出來(lái)的偶然性實(shí)質(zhì)是內(nèi)部的必然性在起作用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是通過(guò)看似偶然的隨機(jī)現(xiàn)象，研究其內(nèi)在必然的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這需要探討試驗(yàn)次數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)的極限情況。大數(shù)定律和中心極限定理正是透過(guò)大量隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來(lái)的兩個(gè)極限理論。它們?cè)谡麄€(gè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中占有非常重要的地位，是現(xiàn)代概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、理論科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基石。大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式體現(xiàn)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性。它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的具體表現(xiàn)，是概率論的中心課題之一，它的解決標(biāo)志著測(cè)度論在概率論研究中的有力滲透，成為概率論公理化的前奏。

目前，針對(duì)大數(shù)定律這部分內(nèi)容，大多數(shù)教材及教學(xué)研究，都只是圍繞伯努利、切比雪夫、辛欽這三個(gè)大數(shù)定律，很少有人提及泊松和馬爾可夫這兩個(gè)大數(shù)定律的結(jié)果[1-8]。事實(shí)上，從發(fā)展歷史的角度來(lái)看，后者也是必不可少的，特別是研究5個(gè)大數(shù)定律之間錯(cuò)綜復(fù)雜的也是至關(guān)重要的。為此，本文首先按照歷史沿革的順序分別介紹5個(gè)大數(shù)定律的滿足條件、產(chǎn)生背景及其應(yīng)用價(jià)值。然后利用邏輯思維圖的方法分析它們的之間的關(guān)系。拓寬該知識(shí)點(diǎn)的寬度、廣度和深度，從而為教師提供清晰明朗的講解思路，也使得學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容更容易理解透徹，掌握得更加扎實(shí)。另外，從課程思政[9]的角度挖掘大數(shù)定律的深刻意義。

一、大數(shù)定律的一般形式

首先，我們先來(lái)了解一種特殊的收斂，由此定義大數(shù)定律的結(jié)果。

(一) 依概率收斂

若隨機(jī)變量序列{Xn}滿足：對(duì)于任意小的正數(shù)ε>0，有：

(1)

或者

(2)

依概率收斂是一種從概率的角度刻畫(huà)的收斂[10]。它指的是當(dāng)n充分大時(shí)，Xn與X的距離任意小這一事件的概率幾乎接近于1，等價(jià)于其對(duì)立事件的概率幾乎接近于0。概率接近0，但仍有可能發(fā)生,只是發(fā)生的概率很小而已。

(二) 大數(shù)定律的定義

(3)

二、常見(jiàn)的大數(shù)定律

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量序列來(lái)說(shuō)，我們比較關(guān)心的是，在什么情況下，隨機(jī)變量序列才能服從大數(shù)定律呢？為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們不斷探索研究，得出了很多種條件，其中比較著名的有5種。下面我們按照大數(shù)定律的發(fā)展歷程分別介紹它們滿足的條件。

(一) 伯努利大數(shù)定律

在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)ηn為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P(A)=p，則有：

(4)

即A發(fā)生的頻率依概率收斂于其概率值。它以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了“頻率穩(wěn)定于概率”這一看似顯而易見(jiàn)的事實(shí)。這一結(jié)果是由概率論的先驅(qū)人——瑞士數(shù)學(xué)家伯努利，在1713年出版的《猜度術(shù)》中提出并證明的。它是有史以來(lái)的第一個(gè)大數(shù)定律。它的出現(xiàn)無(wú)論是理論還是應(yīng)用都具有重要意義，其影響深遠(yuǎn)，至今未衰。由于其極端重要性，1913年12月彼得堡科學(xué)院舉行了慶祝大會(huì)，紀(jì)念這一結(jié)果誕生200周年。

圖1 伯努利大數(shù)定律的直觀演示圖

伯努利大數(shù)定律為概率的統(tǒng)計(jì)定義提供了強(qiáng)有力的理論依據(jù)，使得我們可以如此理直氣壯地利用頻率近似概率。而這樣的應(yīng)用也極為廣泛。比如：

在蒲豐投針試驗(yàn)(圖2)中，主要的解決思路就是用大量投針試驗(yàn)的針與線相交的頻率近似其概率值，從而求得π的近似值。

后來(lái)，人們利用計(jì)算機(jī)模擬所設(shè)計(jì)的試驗(yàn)，以事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)事件的概率，并將其作為問(wèn)題的解。這種方法就是著名的蒙特-卡羅法，它廣泛地應(yīng)用于金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物醫(yī)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)等領(lǐng)域。

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)期望的定義時(shí)，我們知道，當(dāng)隨機(jī)變量取值個(gè)數(shù)為有限時(shí)，算術(shù)平均值等于取值乘以頻率的加權(quán)和.將以頻率作為權(quán)重替換為以概率作為權(quán)重，從而獲得了隨機(jī)變量更為穩(wěn)定的平均值——數(shù)學(xué)期望。

后來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松將n重伯努利試驗(yàn)修改為n次獨(dú)立試驗(yàn)，使得每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率可能不同，進(jìn)而得到了條件更為一般的泊松大數(shù)定律。

(二) 泊松大數(shù)定律

在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，設(shè)ηn為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，第i次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為pi(i=1,2,…,n)，則有：

(5)

著名的俄羅斯數(shù)學(xué)家切比雪夫嚴(yán)格地證明了伯努利和泊松兩個(gè)大數(shù)定律。1866年，他發(fā)表了《論平均數(shù)》這篇論文，從切比雪夫不等式出發(fā)，得到了切比雪夫大數(shù)定律。

(三) 切比雪夫大數(shù)定律

若隨機(jī)變量序列{Xn}滿足：兩兩不相關(guān)，且?C>0,D(Xn)≤C(方差一致有界)。則{Xn}服從大數(shù)定律。

在概率論門(mén)戶蕭條的年代里，切比雪夫的工作無(wú)疑起到了振聾發(fā)聵的作用。但是由于處理手法還不夠完善，所得結(jié)果還是比較粗糙的。后來(lái)，他的得意弟子馬爾可夫，經(jīng)過(guò)努力找到了更為合理的條件，這就是馬爾可夫大數(shù)定律。

(四) 馬爾可夫大數(shù)定律

若隨機(jī)變量序列{Xn}滿足：

(6)

(五) 辛欽大數(shù)定律

現(xiàn)代概率論的奠基人之一，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽研究出了聞名于世的辛欽大數(shù)定律。

若隨機(jī)變量序列{Xn}滿足：獨(dú)立同分布，且E(Xn)=μ，則{Xn}服從大數(shù)定律。即

(7)

這一結(jié)果表明，平均值“穩(wěn)定”于期望值，這種“穩(wěn)定”指的是從概率的角度刻畫(huà)的。當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量在n次觀察中的算術(shù)平均值以較大的概率接近于它的數(shù)學(xué)期望值。將它推廣的結(jié)論，即“總體矩依概率收斂于樣本矩”，是后續(xù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分中矩法估計(jì)的重要理論依據(jù)。

圖3 辛欽大數(shù)定律的直觀演示圖

辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑，即可以用多次取值的平均值來(lái)近似期望值。事實(shí)上，在生活中，我們已經(jīng)不知不覺(jué)應(yīng)用這一理論解決了很多實(shí)際問(wèn)題。比如，在測(cè)量身高時(shí)，可以用多次測(cè)量結(jié)果的平均值作為身高的近似值。在競(jìng)技比賽中，通常我們用多個(gè)評(píng)委打分的平均值來(lái)反映選手的真實(shí)水平。另外，在保險(xiǎn)領(lǐng)域，我們用大量投保人所能獲得平均賠償金額作為其需要繳納的純保費(fèi)。

在這5個(gè)大數(shù)定律中，通常要求重點(diǎn)掌握伯努利、切比雪夫和辛欽這3個(gè)大數(shù)定律，而對(duì)于泊松和馬爾可夫兩個(gè)大數(shù)定律，只要求簡(jiǎn)單了解。

三、常見(jiàn)大數(shù)定律之間的關(guān)系

這5個(gè)大數(shù)定律之間有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，下面我們進(jìn)行兩兩比較，從而得出它們之間的邏輯關(guān)系圖(見(jiàn)圖4)。

圖4 大數(shù)定律的邏輯關(guān)系圖

伯努利大數(shù)定律要求在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)前提下，每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率同為p。在這里，事件A發(fā)生的次數(shù)ηn可以看作為n個(gè)服從(0-1)分布且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和。即

泊松將前提條件修改為第i次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為pi，即各次試驗(yàn)概率不同，顯然條件更一般。因此，伯努利大數(shù)定律是泊松大數(shù)定律的特殊情況。

將切比雪夫大數(shù)定律的前提條件和泊松大數(shù)定律相比較，“兩兩不相關(guān)”弱于“相互獨(dú)立”。另外，在獨(dú)立試驗(yàn)中，由于

滿足方差一致有界。因此，泊松大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況。

同時(shí)去掉了“兩兩不相關(guān)”的條件。所以，切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特殊情況。

與馬爾可夫大數(shù)定律的前提條件相比，辛欽要求“隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布”這個(gè)條件比較強(qiáng)，而只要求“期望存在”，弱于方差存在的條件，故而二者不作比較。

最后，伯努利大數(shù)定律顯然滿足辛欽大數(shù)定律的兩個(gè)條件，即伯努利最特殊。

綜上所述，伯努利、泊松、切比雪夫、馬爾可夫這4個(gè)大數(shù)定律，一個(gè)比一個(gè)更一般，它們的證明都可以利用切比雪夫不等式作為工具。關(guān)于辛欽大數(shù)定律的證明則需要借助特征函數(shù)理論。在這5個(gè)大數(shù)定律中，伯努利大數(shù)定律是泊松、切比雪夫、馬爾可夫和辛欽大數(shù)這4個(gè)大數(shù)定律的特殊情況。

四、 結(jié) 語(yǔ)

(1) 大數(shù)定律作為概率統(tǒng)計(jì)的重要極限理論，其本質(zhì)含義即為大量隨機(jī)變量的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性。這使得我們對(duì)于看似捉摸不定的隨機(jī)現(xiàn)象似乎有了內(nèi)在的把握。

(2) 這種概率思想在很多領(lǐng)域的問(wèn)題中都有所體現(xiàn)。比如，物理學(xué)告訴我們，一杯水中的每個(gè)水分子的運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的，但整體卻呈現(xiàn)出穩(wěn)定的狀態(tài)；經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，價(jià)值規(guī)律的表現(xiàn)形式，正是價(jià)格上下波動(dòng)而穩(wěn)定于價(jià)值。

(3) 將這樣的思想應(yīng)用到哲學(xué)中，可以思考，人的一生是起伏不定的，但總體來(lái)看，得失也是趨于平衡的。如此看來(lái)，我們應(yīng)該遇到挫敗時(shí)不氣餒，好運(yùn)來(lái)時(shí)不驕傲，正所謂“不以物喜，不以己悲，榮辱不驚，淡定人生?！边@一點(diǎn)正是“大數(shù)定律”帶給我們的課程思政元素。