從艷芳，王祝君

（1.福州大學 數學與計算機科學學院，福州 350000；2.湖南工程學院 計算科學與電子學院，湘潭 411104）

0 引言

種群是指在特定時間和空間中生活和繁殖的同種個體的總和.在同一空間，兩個群體之間有競爭、合作、替代等關系.兩個種群的種群功能類似，但是彼此提供能源的方式、技術以及數量不盡相同，雙方給環(huán)境帶來的影響也不同.兩個種群之間相互抑制，又互相促進，受各種復雜關系的制約，要想獲得種群在特定時刻的準確分布數量或者密度值，往往相當困難.但是，研究與其等效的穩(wěn)定狀態(tài)的數量或密度關系，卻有著重要的理論與應用價值.對于種群關系的研究，大多是建立在Lotka-Volterra模型［1-2］的基礎上，通過分析常微分方程的穩(wěn)定性，研究不同條件下種群的食餌模型達到穩(wěn)定狀態(tài)的情況.

自從Nash［3-4］對非合作博弈提出了一種被稱為Nash均衡解的概念之后，如何找到非合作博弈的Nash均衡已成為一個非常經典的問題.Nash均衡問題是經濟學和管理學等的基礎，在計算機工程，生物信息學等各個領域也有著廣泛的應用［5-7］.本文從博弈論角度研究兩個種群生態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)響應算法及其收斂性，即將兩個種群競爭模型當作一個博弈模型，設計一個最優(yōu)響應算法，證明算法收斂于Nash均衡解.

1 問題描述

自然界中任何一種物種都不是孤立存在的，總是同其他物種發(fā)生這樣或那樣的關系.物種之間的相互作用關系對于整個生物界的生存和發(fā)展是極其重要的，這種作用關系將各個物種連接為一個復雜的生命之網，決定著群落和生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.不同種群之間存在著一種相互依賴、相互制約的生存方式，如種群甲靠豐富的自然資源生長，而種群乙靠捕食種群甲為生，生態(tài)學上稱種群甲為食餌，種群乙是捕食者，二者共處組成捕食者-食餌系統(tǒng).由于生物的很多適應性都可以用捕食者和食餌之間的協同進化加以說明，所以對于捕食者-食餌相互作用關系的研究具有非常重要的理論意義和應用價值.在這里我們僅以文獻［8］中經典的Lotka-Volterra模型為例.兩個種群競爭模型為：

設θ1(x ,y )，θ2(x ,y)分別表示兩個種群的數量，則：

用博弈模型來表達同一生態(tài)系統(tǒng)中兩個具有競爭關系的種群平衡問題，我們得到

在有限資源環(huán)境下，種群數量隨著時間動態(tài)地逼近均衡狀態(tài)，因此有

由Nash均衡的定義知，w*=(x*,y*)∈X×Y是上述博弈的一個Nash均衡解，當且僅當x*=

2 投影梯度法

給出一些符號說明：對任意的x∈Rn，‖‖x定義為x的Euclidean范數，即定義為x的橢球范數，即‖x ‖=xTGx，G ∈ Sn+；在閉凸集Ω上的投影算子定義為

2.1 臨近型線性化迭代算法

因為 θ1(x ,y )，θ2(x ,y)均為未知，直接求解（2）具有一定的困難，根據種群的生態(tài)系統(tǒng)模型可知，?xθ1(x .y)=f(x ,y )，?yθ2(x .y)=g(x ,y).因此，我們可采用臨近型線性化迭代方法得到：

對于非合作博弈的Nash均衡問題，常見的求解算法包括正則化Gauss-Seidel算法、信賴域算法等［9］.Zhang等［10］借助預測-校正的思想，提出了通過投影算法獲得博弈的廣義Nash平衡點，Peng等［11］將兩人輪流博弈問題轉變成求解變分不等式問題，在預測-校正過程中利用非精確的臨近點交替方向法求得Nash平衡點.對于運用預測和校正兩個步驟來求解博弈問題，相當于對于博弈的策略進行了外界因素的調整，在自然環(huán)境下食物鏈適應于“物競天擇，適者生存”法則，排除人為因素的影響.針對這種不允許校正的非合作博弈Nash均衡來說，本文提出一種投影梯度算法，并在一定條件下證明算法全局收斂到Nash平衡點.

全文通篇做如下假設：

假設1兩種群的數量函數θ1(x ,y )，θ2(x ,y)都是自身控制的可微凹函數，即：對于任意固定y，θ1(x ,y)是x∈X(y)?Rn的可微凹函數；對于任一固定的x，θ2(x ,y)是y∈Y(x)?Rm的可微凹函數.

由 模 型（1）知 ，?xθ1(x .y)=f(x ,y )，?yθ2(x .y)=g(x ,y).根據假設1，任意給定y，f(x ,y)關于x∈X(y)單調.同樣，任意給定x，g(x ,y)關于y∈Y(x)單調.故：

假設2決策集X、Y是簡單的有界閉凸集，以保證其在閉集上的投影比較容易計算.在上述假設條件下，兩種群博弈的Nash均衡解等價于下列變分不等式組的解：

這種等價性提示，可以借助變分不等式的求解方法來計算博弈的Nash均衡解，本文用投影梯度的方法求解變分不等式問題.迭代（3）和（4）等價于：

2.2 算法描述及收斂性分析

本節(jié)先給出一種求解兩個種群的生態(tài)系統(tǒng)博弈Nash均衡問題的最優(yōu)響應算法，然后對算法的全局收斂性進行分析.

算法1最優(yōu)響應算法

步驟1初始化，令ε＞0，對任意給定的初始點x0∈X，X ?Rn，Y ?Rm，通過求解問題得到y(tǒng)1∈Y：y-y1,g(x0,y1)-β0(y1-y0) ≤ 0,?y∈ Y(x0).

步驟2對于給定的(xk,yk)，分別求解如下的變分不等式，得到當前情況下的最優(yōu)策略：xk+1∈X(yk)和yk+1∈Y(xk+1)：

步驟3計算εk=max{‖ xk+1-xk‖,‖yk+1-yk‖}，如果εk＜ ε，則停止.否則，令k:=k+1，返回步驟1.

則迭代（7）和（8）可以寫成下列的緊湊形式：求wk+1∈W，使得

假設3若w*=(x*,y*)∈W是博弈的一個Nash均衡點，則

引理1對于給定的wk，設wk+1是由算法1產生新迭代點，若

w*=(x*,y*)∈W是種群博弈問題的一個Nash均衡點，則

證明.由f(x ,y)，g(x ,y)的單調性，將(x ′,y′)=(xk+1,yk+1)代入式（5）

將(x ,y)=(xk+1,yk)和(x ,y)=(x*,y*)分別代入（12），將兩式相加求和，得到：

把(x ,y)=(xk+1,yk)和(x ,y)=(xk+1,yk+1)分別代入式（10）的第一個和第二個不等式并結合式（6），（12）和（13），直接得到式（11）.證畢.

定理1設{wk}是算法1產生的迭代序列，w*是所考慮的種群博弈模型的一個Nash均衡點，則

證明將w=w*，代入（9）可得

展開得到 w*-wk+1,D(wk,wk+1) ≤

(w*-wk+1,G(wk+1-wk))，所以

再結合上式和引理1可以直接得到（14），定理得證.

定理2算法1產生的迭代序列{ }wk收斂于Nash均衡點.

證明.由定理1可得

3 結論

本文研究種群動力學中捕食者-食餌模型的Nash均衡問題，即在有限資源環(huán)境下，種群數量隨著時間動態(tài)逼近均衡狀態(tài).建立了兩個種群競爭博弈的Nash均衡模型，采用交替投影梯度算法求解所得的博弈模型，證明了所提出的算法收斂到該博弈的Nash均衡點，即兩種群競爭生態(tài)系統(tǒng)的均衡點.