淺談導(dǎo)函數(shù)隱零點(diǎn)范圍的估計(jì)策略

◇ 江西 李樹(shù)森

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式，需要構(gòu)造函數(shù)，將所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)處理，在求函數(shù)的最值時(shí)，常常需要確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，有時(shí)會(huì)碰到導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)但求解其零點(diǎn)比較困難的情況，此時(shí)稱此零點(diǎn)為隱零點(diǎn).雖然將這個(gè)零點(diǎn)虛設(shè)出來(lái)，通過(guò)整體代入能簡(jiǎn)化函數(shù)并研究其函數(shù)值的范圍，但有時(shí)需要將這個(gè)零點(diǎn)的范圍較為精準(zhǔn)地進(jìn)行估計(jì)，才能達(dá)到解決問(wèn)題的目的，因此如何確定隱零點(diǎn)的范圍，成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵.本文從解不等式、目標(biāo)函數(shù)反解、二分法、放縮法、利用單調(diào)性等角度介紹其范圍的估計(jì)方法.

1 構(gòu)造隱零點(diǎn)的不等式求解隱零點(diǎn)的范圍

分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為fmin(x)≥0，因此研究導(dǎo)函數(shù)，利用零點(diǎn)存在判定定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在，但求解困難，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)，將其零點(diǎn)與參數(shù)a 之間的關(guān)系整體代入，簡(jiǎn)化函數(shù)，根據(jù)條件構(gòu)造含零點(diǎn)的不等式，通過(guò)解不等式確定零點(diǎn)的范圍，最后利用函數(shù)思想可以求解參數(shù)a 的范圍.

解由已知條件可得fmin(x)≥0，且

令φ(x)＝aexx2－(a＋1)(a＞0)，則

當(dāng)x∈(0，＋∞)，φ′(x)＞0，所以φ(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又φ(0)＝－(a＋1)＜0，而

當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，φ(x)＜0，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)上為減函數(shù)；

當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，φ(x)＞0，f′(x)＞0，所以f(x)在(x0，＋∞)上為增函數(shù).

又因?yàn)棣?x)＝aexx2－(a＋1)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且0＜x0≤1，所以0＝φ(x0)≤φ(1)，由0≤φ(1)，可得

利用零點(diǎn)存在判定定理，判定零點(diǎn)的存在，找到隱零點(diǎn)x0與參數(shù)a 的關(guān)系aex0＝，將其整體代入函數(shù)中，簡(jiǎn)化目標(biāo)函數(shù)得，從而構(gòu)造了隱零點(diǎn)x0的不等式，解出零點(diǎn)的范圍，這即為所求的隱零點(diǎn)的范圍.

2 通過(guò)隱零點(diǎn)代換，利用多項(xiàng)式函數(shù)的臨界值反解出隱零點(diǎn)的邊界

分析解決不等式f(x)＞kx 恒成立，可以通過(guò)分離參數(shù)，得到構(gòu)造函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)g(x)的最小值(最小值的取值范圍)，借助導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)g′(x)存在零點(diǎn)，此零點(diǎn)不易求解，再通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)的關(guān)系整體代入，求出函數(shù)g(x)的最小值，其值不是一個(gè)具體的數(shù)，需要估計(jì)零點(diǎn)的精確的范圍，將其最小值的范圍限定在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，從而確定整數(shù)k 的最大值.

解當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＞kx 恒成立，等價(jià)于當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，恒成立.

因此當(dāng)x∈(1，m)時(shí)，h(x)＜0，即g′(x)＜0，則g(x)在x∈(1，m)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(m，＋∞)時(shí)，h(x)＞0，即g′(x)＞0，則g(x)在x∈(m，＋∞)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，

3 利用二分法估計(jì)隱零點(diǎn)的范圍

分析由題意函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y1＝－k 與函數(shù)y2＝2xe－x－ex的圖象有2 個(gè)交點(diǎn)，即研究函數(shù)y2＝φ(x)＝2xe－x－ex的單調(diào)性和極值的范圍，通過(guò)求導(dǎo)得φ′(x)＝e－x(2－2x－e2x)，此函數(shù)的零點(diǎn)不易求解，故可虛設(shè)零點(diǎn)，整體代入，預(yù)設(shè)存在零點(diǎn)的一個(gè)范圍，利用二分法，將零點(diǎn)存在的區(qū)間逐步縮小，以便準(zhǔn)確求出極值的范圍，順利尋找到滿足條件的整數(shù)k的最小值.

解由題意函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1＝－k 與函數(shù)y2＝2xe－x－ex的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，令φ(x)＝2xe－x－ex，則

當(dāng)x∈(－∞，x0)，h(x)＞0，即φ′(x)＞0，所以φ(x)在(－∞，x0)為增函數(shù)；當(dāng)x ∈(x0，＋∞)，h(x)＜0，即φ′(x)＜0，所以φ(x)在(x0，＋∞)為減函數(shù).

在判斷隱零點(diǎn)的范圍時(shí)，我們常在預(yù)判的過(guò)程中將范圍擴(kuò)大，借助“二分法”思想，將其范圍一分為二，重新確定一個(gè)新的有解范圍，直至將隱零點(diǎn)精確在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，往往能夠達(dá)到解題的目的.在本題中，開(kāi)始預(yù)設(shè)零點(diǎn)x0∈(0，1)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的極大值范圍較大，通過(guò)“二分法”將其零點(diǎn)x0縮小到一個(gè)小的區(qū)間(0，)，此時(shí)函數(shù)φ(x)的極大值φ(x0)∈(－，－1)，從而確定了符合條件的最小整數(shù)k.其實(shí)二分法思想是一種逼近的思想，最終將零點(diǎn)控制在一個(gè)精準(zhǔn)的范圍內(nèi).

4 放縮函數(shù)，通過(guò)解不等式確定零點(diǎn)的邊界

分析證明不等式f(x)＜ex－x2－3x＋1，可構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xlnx＋ex－x2－2x，研究其最小值，通過(guò)求導(dǎo)得g′(x)＝ex＋lnx－x－1，此零點(diǎn)不可求，虛設(shè)零點(diǎn)，整體代入得g(x0)＝(x0－1)lnx0－再確定零點(diǎn)的范圍，即可證明.

解設(shè)g(x)＝xlnx ＋ex－x2－2x，則g′(x)＝ex＋lnx－x－1，g″(x)＝ex＋－1，因?yàn)閤＞0時(shí)，g″(x)＝ex＋－1＞0，所以g′(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又因?yàn)?/p>

即

本題在不等式證明過(guò)程中，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，并且運(yùn)用了兩次求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在定理判定了零點(diǎn)的存在，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)、整體代換進(jìn)行求解.其中取點(diǎn)估算是此題的難點(diǎn)，本題中通過(guò)對(duì)代換后的目標(biāo)函數(shù)g(x0)＝(x0－1)lnx0－(x0＋1)2＋分析，要證明g(x0)＞0，注意到(x0－1)lnx0＞0，將目標(biāo)函數(shù)放縮得g(x0)＝(x0－1)lnx0－(x0＋1)2＋，通過(guò)解不等式－(x0＋1)2＋，得到零點(diǎn)的一個(gè)邊界點(diǎn)－1，通過(guò)計(jì)算確定隱零點(diǎn)類似本題中運(yùn)用放縮法取點(diǎn)，在近幾年的高考中常常考查.

5 構(gòu)造隱零點(diǎn)的等量關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性確定隱零點(diǎn)的范圍

分析為了研究函數(shù)f(x)的最小值，可借助導(dǎo)數(shù)工具.f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x＋1)，利用零點(diǎn)存在判定定理判定零點(diǎn)存在，發(fā)現(xiàn)此導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)求解很困難，需要虛設(shè)此零點(diǎn)，整體代換，簡(jiǎn)化目標(biāo)函數(shù).但是為了求出函數(shù)f(x)的最小值g(a)的值域，此時(shí)需要準(zhǔn)確確定隱零點(diǎn)的范圍，利用隱零點(diǎn)x0與a 之間的關(guān)系，利用函數(shù)思想，確定函數(shù)的單調(diào)性，借助反解出零點(diǎn)的范圍，從而求出函數(shù)g(a)的值域.

解因?yàn)閒′(x)＝(x－1)ex＋2a(x＋1)(x＞0)，令φ(x)＝f′(x)，則φ′(x)＝xex＋2a＞0，則f′(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，f′(0)＝2a－1＜0，f′(1)＝4a＞0，故?x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0，即(x0－1)ex0＋2a(x0＋1)2＝0，即

又因f′(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f′(x0)＝0，所以當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)＜0，則f(x)在(0，x0)上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)在(x0，＋∞)上為增函數(shù).又因?yàn)椋畹?，即h(x)在(0，1)為減函數(shù)，又因?yàn)閔(0)＝，h(1)＝0，

所以0≤x＜1，即0≤x0＜1，所以

這是一道比較復(fù)雜的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求的問(wèn)題，這種題的解題通法是先利用零點(diǎn)存在原理，找出零點(diǎn)x0的大致區(qū)間，再繞開(kāi)x0的具體值，轉(zhuǎn)而判斷導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，同時(shí)借助f′(x0)＝0整體代換，進(jìn)而將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).本題之所以比較復(fù)雜，就是因?yàn)楸绢}設(shè)置了一個(gè)參數(shù)0＜a≤，通過(guò)這個(gè)參數(shù)的取值范圍使得零點(diǎn)精確的范圍原形畢露，為求最小值的值域立下了汗馬功勞.

處理函數(shù)與不等式問(wèn)題，常常需要研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，這是處理不等式問(wèn)題的關(guān)鍵之處，解題時(shí)先利用零點(diǎn)存在判定定理，預(yù)設(shè)出零點(diǎn)存在的范圍，虛設(shè)此零點(diǎn)，整體代換簡(jiǎn)化目標(biāo)函數(shù).預(yù)設(shè)的零點(diǎn)在研究最值(極值)范圍過(guò)大時(shí)，往往需要將零點(diǎn)的范圍進(jìn)一步縮小.若遇到隱零點(diǎn)的關(guān)系式無(wú)參數(shù)時(shí)，常常利用“二分法”思想將范圍縮小，或者借助目標(biāo)函數(shù)的臨界值反解出零點(diǎn)的邊界點(diǎn)，并驗(yàn)證該邊界點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)號(hào)，將零點(diǎn)范圍縮?。挥龅絽?shù)時(shí)，往往需要借助參數(shù)與隱零點(diǎn)之間的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的單調(diào)性，來(lái)估算其范圍.確定范圍的方法有很多，在研究問(wèn)題時(shí)需要同學(xué)們靈活多變，才能輕松破解此類問(wèn)題.