錢麗麗，劉思峰，鄧桂豐

(1.南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇 南京 210016；2.上海立信會計金融學院統(tǒng)計與數(shù)學學院，上海 201209)

1 引言

灰靶決策模型是灰色系統(tǒng)理論中的重要內(nèi)容，自鄧聚龍教授[1]最早提出灰靶概念以來，灰靶決策[2]不僅在經(jīng)濟管理、軍事決策、石油開發(fā)等眾多領域被廣泛應用，而且其理論本身也得到了很大的發(fā)展。目前關于灰靶決策的研究主要集中在以下四方面的工作：①優(yōu)化研究方法。文獻[3]構造了4種新型一致效果測度函數(shù)，充分考慮目標效果值中靶和脫靶兩種不同情形，建立了一種新的多目標加權灰靶決策模型；文獻[4]考慮到?jīng)Q策指標間的相關性、重要性差異以及不同量綱對決策結(jié)果產(chǎn)生的影響，引進加權馬氏距離對傳統(tǒng)灰靶決策方法進行了改進；文獻[5]構造了基于非線性函數(shù)的強“獎優(yōu)罰劣”算子，進一步擴大了指標間的區(qū)分度，從而提高了決策質(zhì)量。②拓展研究范圍。由于環(huán)境的復雜性以及人類認識的局限性，決策信息往往表現(xiàn)出不確定性或灰性，人們對灰靶決策信息的研究也從實數(shù)不斷延伸拓展到區(qū)間數(shù)、區(qū)間灰數(shù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)以及直覺模糊數(shù)等，且不少研究者在拓展建模對象的同時也不斷優(yōu)化了灰靶決策的建模方法。文獻[6]首次將灰靶決策模型由實數(shù)序列拓展到區(qū)間數(shù)序列，建立了區(qū)間數(shù)多指標灰靶模型；文獻[7]則專門針對決策對象眾多的多屬性決策問題建立了基于樣本集的區(qū)間數(shù)灰靶分類決策模型；文獻[8]針對屬性值為區(qū)間灰數(shù)的情形建立了正、負靶心灰靶決策模型，使決策更加全面合理，提供了灰靶模型發(fā)展的新視角；文獻[9]在研究區(qū)間灰數(shù)距離計算方法的基礎上，通過比較指標集中各指標值與靶心連線所圍成圖形(蛛網(wǎng))面積大小對方案進行判斷，在一定程度上弱化了指標異常值對灰靶決策的影響；文獻[10]從備選方案當前狀態(tài)和未來發(fā)展趨勢兩方面考慮，提出了基于區(qū)間灰數(shù)的動態(tài)灰靶決策方法；文獻[11-13]則分別針對區(qū)間灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)以及直覺模糊數(shù)構建了相應的灰靶決策模型。③融合行為科學。在研究方法不斷優(yōu)化以及研究范圍不斷拓展的基礎上，眾多學者在決策過程中進一步考慮融入決策者的風險態(tài)度和心理行為。文獻[14]將前景理論與灰靶決策方法相結(jié)合，定義正負理想靶心以及前景價值函數(shù)，構建基于區(qū)間數(shù)的方案綜合前景值最大化的優(yōu)化模型；文獻[15]定義了區(qū)間灰數(shù)的距離測度和排序方法，針對區(qū)間灰數(shù)的風險型動態(tài)決策問題，建立了基于累積前景理論的正負橢球灰靶模型；文獻[16]則將決策者的后悔心理融入決策過程中，建立了基于后悔理論的多目標灰靶決策方法。④集結(jié)群體意見。文獻[17-18]分別針對信息值為區(qū)間灰數(shù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的情形，在確定決策者權重后，按照方案的綜合前景值對方案進行排序；文獻[19]考慮群體決策中決策者評價信息的差異程度，提出相應的類別加權算子，建立了具有多個靶心的環(huán)形灰靶決策方法；文獻[20]在權重信息不完全的情境下基于多粒度語言信息提出了多階段灰靶決策方法并將其推廣至群決策模型中；文獻[21]則提出了灰色多屬性的偏離靶心度群體決策模型。

目前，灰靶決策在方法優(yōu)化、對象拓展以及科學行為融合方面都比較成熟，而關于群體灰靶決策的研究尚處于起步階段。在實際中，由于決策問題的復雜性以及單個決策者自身的限制，如何有效集結(jié)群體專家的評價信息顯得尤為重要，因此群體灰靶決策值得深入研究，研究的視角也可多樣化。文獻[21]就是首次引入了群體正負靶心的概念，建立了群體偏離靶心度矩陣，利用各群體偏離靶心度的大小對各方案的優(yōu)劣進行判斷，其基本思想是“群決策的結(jié)論應盡量接近所有成員最理想方案，越接近群體正靶心而同時又遠離群體負靶心的方案越優(yōu)”[21]。本文認為，群體正負靶心的構造能夠體現(xiàn)群體意見的集結(jié)，群體偏離靶心度對于群體灰靶決策是一個有益的嘗試。然而，文獻[21]也有不足之處：(1)決策者的權重向量是已知的、確定的。群決策中專家權重的確定是重點也是難點，權重值會影響決策結(jié)果的科學性。文獻[21]直接給定了專家權重，這種處理方式?jīng)]有考慮決策問題本身含有的信息對權重賦值的影響，不夠客觀；(2)對區(qū)間灰數(shù)的運算處理在很大程度上都是借鑒了區(qū)間數(shù)的運算規(guī)則，未能體現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)的特征和本質(zhì)；(3)沒有考慮未來自然狀態(tài)的不確定性，同時也沒有考慮決策者的風險態(tài)度和心理行為，而決策者們對方案主觀上的風險偏好及心理因素對決策結(jié)果有直接影響。另外，縱觀關于群體灰靶決策的文獻，盡管文獻[17-18]已考慮了決策者的心理行為，將前景理論引入決策過程中，但由于計算中有不少未知參數(shù)，且一般需要決策者事先確定參照點信息，使得應用有些不方便。在此背景下，由文獻[22-23]提出的后悔理論引起廣泛關注，其在各類決策問題中得到了充分應用[24-31]。文獻[24-31]一致認為，融入后悔理論的計算過程涉及的參數(shù)相對較少，且決策者不需要事先給定參考點，在應用上比前景理論有優(yōu)勢。但目前還沒有文獻將后悔理論融進風險型群體灰靶決策模型中。

基于此，本文嘗試將后悔理論引入到信息值和狀態(tài)概率均為區(qū)間灰數(shù)的風險型多指標群體決策過程中，通過建立決策者的綜合灰色感知效用矩陣引入灰色偏離靶心度的概念，由此構建群體正負靶心灰靶決策模型；在專家權重未知的背景下以灰色群體偏離靶心度綜合值最大化為目標、并依據(jù)極大熵原理構建優(yōu)化模型，求解最優(yōu)權重向量，得出各方案的灰色群體偏離靶心度并進行排序；最后運用本文所提方法分析解決了一個新產(chǎn)品投資方案選擇的案例，說明該模型的實用性。

2 考慮后悔規(guī)避的群體灰靶決策方法

2.1 問題描述

(1)

現(xiàn)欲對上述群體決策問題確定最佳方案。

決策過程中會涉及區(qū)間灰數(shù)的運算和排序，關于具體運算規(guī)則和排序方法可參見文獻[27]，這里不再重復列述。

由于各指標具有不同的量綱，為便于直接比較，需要將原始數(shù)據(jù)進行規(guī)范化處理。

對于效益型指標值和成本型指標值，可分別采用上限效果測度和下限效果測度

(2)

(3)

由此可得決策者Mk在狀態(tài)St下的規(guī)范化灰色決策矩陣

(4)

以及加權規(guī)范化灰色決策矩陣

(5)

其中

(6)

2.2 后悔理論在群體灰靶決策中的應用

后悔理論最早由Bell[22], Loomes 和Sudgen[23]分別獨立提出，它們的表現(xiàn)形式不同，但思想相同，都認為在決策過程中決策者會將其選擇方案獲得的結(jié)果與其他方案可能獲得的結(jié)果進行比較，因而產(chǎn)生后悔和欣喜兩種心理，且試圖避免選擇會使其后悔的方案，即決策者是后悔規(guī)避的[25]。本文依據(jù)經(jīng)典的后悔理論，研究如何將決策者的后悔規(guī)避心理融入到群體灰靶決策過程中。

文獻[27]已針對區(qū)間灰數(shù)情形給出了灰色效用函數(shù)、灰色后悔-欣喜函數(shù)以及灰色感知效用函數(shù)的定義，并分別采用冪函數(shù)v(x)=xα(0<α<1)、R(Δv)=1-exp(-δΔv)(δ>0)表示效用函數(shù)和后悔-欣喜函數(shù)。這里α和δ分別表示決策者的風險厭惡系數(shù)和后悔規(guī)避系數(shù)；α越小，表示決策者的風險厭惡程度越大；δ越大，表示其后悔規(guī)避程度越大。Δv則是關于兩個方案結(jié)果效用值之差的變量，可證若Δv0>0，則有|R(-Δv0)|>R(Δv0)，這表明決策者對-Δv0的心理感知比對Δv0更加敏感[24-25]。與欣喜這種正面情緒相比較，后悔作為一種負面情緒對效用的影響更強。

由此，在狀態(tài)St下，決策者Mk對方案Ai關于指標Bj的灰色感知效用函數(shù)可表示為

(7)

這里

(8)

從而可建立決策者Mk的綜合灰色感知效用矩陣為

(9)

(10)

為決策者Mk的灰靶決策的最優(yōu)效果向量，稱為Mk的灰色正靶心。

(11)

為決策者Mk的灰靶決策的最劣效果向量，稱為Mk的灰色負靶心。

定義3 決策者Mk對方案Ai的灰色正靶心距為

(12)

定義4 決策者Mk對方案Ai的灰色負靶心距為

(13)

定義5

(14)

稱為決策者Mk對方案Ai的灰色偏離靶心度。

2.3 群體正負靶心灰靶決策

現(xiàn)有l(wèi)個決策者，依據(jù)定義5建立灰色偏離靶心度矩陣如下：

(15)

+S(?)={+s(1)(?),+s(2)(?),…,+s(l)(?)}

(16)為群體灰色正靶心。

-S(?)={-s(1)(?),-s(2)(?),…,-s(l)(?)}

(17)

為群體灰色負靶心。

設決策者的權重向量為L={λ1,λ2,…λl}

定義8 方案Ai關于群體灰色正靶心的灰色正靶心距為

(18)

定義9 方案Ai關于群體灰色負靶心的灰色負靶心距為

(19)

定義10 稱

(20)

為方案Ai的灰色群體偏離靶心度。

εi(?)越大，說明方案Ai離群體正靶心越近，同時離群體負靶心越遠，從而Ai越優(yōu)。

2.4 決策者權重的確定

(21)

2.5 方法步驟總結(jié)

步驟1 依據(jù)文獻[27]將原始數(shù)據(jù)信息轉(zhuǎn)化為“核”和灰度的區(qū)間灰數(shù)形式，并由式(2) (3) (4)得到每個狀態(tài)下的各決策者的規(guī)范化灰色決策矩陣。

步驟2 確定決策者關于指標值權重向量的標準區(qū)間灰數(shù)形式，由式(5) (6)得出各狀態(tài)下各決策者的加權規(guī)范化灰色決策矩陣。

步驟3 根據(jù)式(7) (8) (9)，建立各決策者的綜合灰色感知效用矩陣。

步驟4 根據(jù)式(10) - (14)，計算各決策者對各方案的灰色偏離靶心度，并由式(15)建立灰色偏離靶心度矩陣。

步驟5 根據(jù)式(16) - (19)，計算各方案關于群體灰色正負靶心的靶心距，再由式(20)得出各方案的灰色群體偏離靶心度的表達式。

步驟6 據(jù)式(21)建立目標優(yōu)化模型，計算出最優(yōu)權重向量并代入式(18)-(20)，求出各方案的灰色群體偏離靶心度的具體值并進行排序。

3 算例分析

某公司欲投資開發(fā)一種新產(chǎn)品，根據(jù)考察的情況擬定了3種開發(fā)方案，考慮的指標主要包括銷售量B1、市場占有率B2、開發(fā)成本B3等三方面。而未來經(jīng)濟形勢、市場環(huán)境不確定，“好”“中”“差”的概率分別為區(qū)間灰數(shù)[0.4,0.6]、[0.4.0.5]、[0.1,0.3]?，F(xiàn)公司邀請了三位專家Mk(k=1,2,3)對這三個方案Ai(i=1,2,3)進行評估決策。根據(jù)公司提供的數(shù)據(jù)資料，專家們的評估值具體可見表1。三位專家對三個指標的區(qū)間灰數(shù)權重向量分別為：[0.5,0.7]、[0.3,0.4]、[0.5,0.6]；[0.6,0.8]、[0.3,0.5]、[0.4,0.5]；[0.5,0.7]、[0.4.0.5]、[0.4,0.6]。現(xiàn)欲選出最佳投資開發(fā)方案。

表1 風險決策矩陣

步驟1設銷售量B1、市場占有率B2、開發(fā)成本B3的論域[27]分別為[0,30]、[0,20]、[80,130]，由此將原始區(qū)間灰數(shù)轉(zhuǎn)化為“核和灰度”的簡化形式，并對效益型指標B1、B2和成本型指標B3，分別采用上限效果測度和下限效果測度規(guī)范化處理后，得三種狀態(tài)下三位專家的規(guī)范化灰色決策矩陣

步驟2將三位專家對三個指標的區(qū)間灰數(shù)權重向量轉(zhuǎn)化為“核和灰度”的簡化形式：

ω(1)(?)=(0.40.2,0.230.2,0.370.2)

ω(2)(?)=(0.450.2,0.260.2,0.290.2)

ω(3)(?)=(0.390.2,0.290.2,0.320.2)

由式(5)，得三種狀態(tài)下三位專家的加權規(guī)范化灰色決策矩陣

步驟3依據(jù)文獻[33][25]，分別構造效用函數(shù)v(x)=x0.88、后悔-欣喜函數(shù)R(Δv)=1-e-0.3Δv，并將市場“好”“中”“差”的概率轉(zhuǎn)化為“核和灰度”的形式0.440.2、0.390.2、0.170.2。由式(7) (8) (9)，得三位專家的綜合灰色感知效用矩陣如下：

U(1)(?)=

U(2)(?)=

U(3)(?)=

步驟4由式(10) - (13)計算出三位專家的灰色正靶心和灰色負靶心，以及對方案的正靶心距和負靶心距，由此依據(jù)定義5建立灰色偏離靶心度矩陣如下：

步驟5由式(16)(17)分別得出群體灰色正靶心和群體灰色負靶心

+S(?)={0.560.5,0.610.5,0.590.5}

-S(?)={0.440.5,0.320.5,0.460.5}

再由式(18)(19)計算出三個方案關于群體正靶心的正靶心距和關于群體負靶心的負靶心距，由此根據(jù)定義10得三個方案的灰色群體偏離靶心度如下：

ε1(?)=

ε2(?)=

ε3(?)=

步驟6建立目標優(yōu)化模型

這里取μ=0.5，利用matlab軟件求解上述模型，可得專家權重最優(yōu)解

0.3660)

代入式(20)，可得三種方案的灰色群體偏離靶心度，具體值見表2。

表2 各方案結(jié)果表

按照區(qū)間灰數(shù)大小排序規(guī)則[27]可知，方案A1最優(yōu)，且大幅度優(yōu)于A2,A3，應選擇方案A1。

本文的方法能夠反映決策者的后悔規(guī)避的心理行為和風險規(guī)避的風險態(tài)度，構建了融入科學行為情境下的群體灰靶決策模型，較好地解決了風險型多指標群決策問題。同時采用定量化的、客觀的方式求解專家權重，實現(xiàn)了主觀與客觀的結(jié)合和統(tǒng)一。

4 結(jié)語

本文針對信息值和狀態(tài)概率均為區(qū)間灰數(shù)的風險型多指標群決策問題，提出了一種基于后悔理論和區(qū)間灰數(shù)信息的群體偏離靶心度決策方法。在考慮區(qū)間灰數(shù)本身信息特征的基礎上，將決策者的后悔規(guī)避的心理行為融入到?jīng)Q策過程中，建立了灰色偏離靶心度矩陣；結(jié)合極大熵原理，以灰色群體偏離靶心度綜合值最大化為目標構建模型求解最優(yōu)專家權重，并對方案進行排序。本文所提方法引入了群體灰色正負靶心、灰色群體偏離靶心度的概念，同時也融入了決策者的科學行為心理，為群體灰靶決策模型提供了新的途徑和視角。