基于梯度法的PN結(jié)數(shù)值計(jì)算

任洪波，孟令輝

基于梯度法的PN結(jié)數(shù)值計(jì)算

任洪波，孟令輝

（衡水學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，河北 衡水 053000）

描述半導(dǎo)體PN結(jié)特性的方程為一組非線性方程，又稱為泊松方程。梯度法是一種有效求解非線性方程的數(shù)值方法，將其應(yīng)用于求解實(shí)際的物理問題，如PN結(jié)特性方程，有助于加深對(duì)物理概念的理解。推導(dǎo)了梯度法的一般原理，并通過將泊松方程線性化，成功應(yīng)用梯度法求解了PN結(jié)的內(nèi)建電場，電位，平衡載流子濃度等參數(shù)沿結(jié)方向的分布。進(jìn)一步研究了外加偏壓和摻雜濃度等參數(shù)對(duì)PN結(jié)特性的影響。數(shù)值結(jié)果表明，采用梯度法求解玻爾茲曼方程比牛頓迭代法精度更高。梯度法在求解非線性方程組所描述的半導(dǎo)體PN結(jié)問題上是可行的。

半導(dǎo)體；PN結(jié)；梯度法；數(shù)值計(jì)算

隨著集成電路的規(guī)模越來越大，對(duì)半導(dǎo)體行為的仿真計(jì)算也變得越來越重要。半導(dǎo)體所遵循的方程組一般由泊松方程、電荷連續(xù)性方程等方程組成。其中，泊松方程為一組非線性方程，在求解時(shí)需要采用數(shù)值方法將其線性化再求解，一般采用牛頓迭代法進(jìn)行處理[1]。泊松方程反映了PN結(jié)中個(gè)坐標(biāo)處電勢分布與電荷密度的關(guān)系，在整個(gè)求解過程中至關(guān)重要。在PN結(jié)的求解中一般選取電勢、載流子濃度、作為變量[2]。一般采用有限差分法通過差分方程替換偏微分方程的方式，得到各變量間的函數(shù)關(guān)系，給定一組初值和邊界條件進(jìn)行迭代求解[3]。這樣就把求解PN結(jié)的電勢、載流子濃度的物理問題轉(zhuǎn)變成了求解方程組根的數(shù)學(xué)問題。筆者研究了梯度法求解非線性方程組的可行性，并將其應(yīng)用于求解PN結(jié)中各參數(shù)分布。數(shù)值結(jié)果表明，采用梯度法求解PN結(jié)特性方程，方便簡單，精度更高。文中求解了突變結(jié)的電勢、電場及載流子濃度隨坐標(biāo)變化趨勢，研究了外加偏壓及載流子濃度對(duì)PN結(jié)的影響，數(shù)值結(jié)果與理論分析一致。

1 梯度法的一般原理

梯度法又稱最速下降法，通過構(gòu)造指標(biāo)函數(shù)，求解指標(biāo)函數(shù)極小值，使函數(shù)從初始值沿梯度下降的方向逼近真值。

圖1 線性緩變結(jié)電勢分布

圖2 平衡載流子濃度分布

2 突變結(jié)梯度法分析

圖3 取不同偏壓時(shí)電勢分布

圖4 取不同偏壓時(shí)電場分布

圖5 摻雜濃度對(duì)電勢的影響

圖6 摻雜濃度對(duì)電場的影響

3 結(jié)語

陳述了梯度法求解非線性方程組的數(shù)值方法，并將其應(yīng)用于求解PN結(jié)的泊松方程，得到了與文獻(xiàn)相同的結(jié)果，表明該方法的正確性。通過該方法研究了不同摻雜濃度和不同偏壓情況下PN結(jié)的電勢、電場等參數(shù)隨空間坐標(biāo)的變化趨勢。結(jié)果表明，摻雜濃度較低時(shí)電勢變化較緩和，平衡電勢也相對(duì)較小，空間電場也相應(yīng)降低，反之則升高。當(dāng)存在正向偏壓時(shí)，空間電荷密度降低，電勢降低；存在負(fù)向偏壓時(shí)，空間電荷密度增加，電勢升高。數(shù)值結(jié)果與理論分析一致，反映了PN結(jié)參數(shù)的空間變化情況。

[1] 鄧宏貴,郭俊,劉利強(qiáng),等.PN結(jié)泊松方程的一種改進(jìn)算法及其Matlab驗(yàn)證[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,39(5):913-917.

[2] 倉田衛(wèi).半導(dǎo)體器件的數(shù)值分析[M].北京:電子工業(yè)出版社,1985.

[3] 丁扣寶,潘駿.利用I-V正向特性提取PN二極管主要參數(shù)的研究[J].電子器件,2002,25(1):27-28.

[4] 趙鴻麟.半導(dǎo)體器件計(jì)算機(jī)模擬[M].天津:天津大學(xué)出版社,1989.

Numerical Simulation of PN Junction Based on Gradient Method

REN Hongbo, MENG Linghui

(College of Physics and Electronic Information, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China))

The equations describing the characteristics of semiconductor PN junction is a group of nonlinear equations, called Poisson equation. Gradient method is an effective numerical method for solving the nonlinear equations. Applying it to solving practical physical problems, such as the characteristic equation of PN junction, is conducive to deeply understanding the concept of physics. Firstly, the general principle of gradient method is deduced. By linearizing the Poisson equation, the gradient method is applied successfully to solving the distribution of the built-in electric field, potential, equilibrium carrier concentration and other parameters. The effects of external bias voltage and doping concentration on PN junction were also investigated. The numerical results show that the gradient method is feasible in solving the problems of PN junction.

semiconductor; PN junction; gradient method; numerical calculation

10.3969/j.issn.1673-2065.2020.04.003

任洪波（1975－），男，河北棗強(qiáng)人，助理實(shí)驗(yàn)師；

孟令輝（1985－），男，河北武邑人，實(shí)驗(yàn)師。

O475

A

1673-2065(2020)04-0012-04

2020-03-31

（責(zé)任編校：李建明 英文校對(duì)：李玉玲）