“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”豎式計(jì)算理解的困難與教學(xué)對(duì)策

劉芳　鄺孔秀

摘 要?? ?學(xué)生在學(xué)習(xí)“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”的豎式計(jì)算時(shí)不能把豎式的每一步與實(shí)物模型的均分過(guò)程聯(lián)系起來(lái)，是因?yàn)樨Q式中隱去了重要數(shù)據(jù)、運(yùn)算進(jìn)行了合并和簡(jiǎn)化、數(shù)字指代繁多和疊加。為此，“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”豎式計(jì)算的教學(xué)應(yīng)還原豎式計(jì)算中隱去的數(shù)量、合并的運(yùn)算，充分展開(kāi)豎式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)形式的形成過(guò)程。

關(guān)鍵詞? ?兩三位數(shù)除以一位數(shù) 豎式計(jì)算

近日聽(tīng)了一位特級(jí)教師的“兩三位數(shù)除以一位數(shù)（豎式計(jì)算）”課，教師在課堂中設(shè)計(jì)了多個(gè)環(huán)節(jié)、花了許多時(shí)間試圖讓學(xué)生把豎式計(jì)算的每一步與實(shí)物模型的均分過(guò)程聯(lián)系起來(lái)，但直到課末，仍有部分學(xué)生還是不能很好地理解這其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。既然豎式計(jì)算的每一步與均分實(shí)物模型的步驟是一一對(duì)應(yīng)的，那么學(xué)生為什么不明白它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？我們先來(lái)看教材，在蘇教版中[1]，這一內(nèi)容的編寫(xiě)如圖1所示。

由圖可見(jiàn)，“小蘿卜”在實(shí)物模型層面上分析和解決問(wèn)題，“小蕃茄”在語(yǔ)言層面分析和解決問(wèn)題，“小青椒”在數(shù)學(xué)符號(hào)層面分析和解決問(wèn)題。應(yīng)該來(lái)說(shuō)，第一個(gè)層面直觀形象，與小學(xué)生的思維發(fā)展水平吻合，小學(xué)生比較容易理解;第二個(gè)層面相對(duì)抽象，但學(xué)生在這個(gè)層面有較好的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，同時(shí)依托前面的實(shí)物模型均分，也是比較容易理解的;第三個(gè)層面相對(duì)抽象，學(xué)生基于之前有關(guān)整數(shù)及其乘法的學(xué)習(xí)，特別是借助實(shí)物模型均分和語(yǔ)言均分的表述，也可以理解。在這三個(gè)層面中，雖然呈現(xiàn)的形式不同，但它們的數(shù)學(xué)意義是相同的，后一個(gè)層面均可依托前一個(gè)層面來(lái)理解，學(xué)生理解起來(lái)并不困難。

但是，轉(zhuǎn)入豎式計(jì)算后，形式上有了很大的變化。第一，豎式中出現(xiàn)了兩個(gè)重要數(shù)據(jù)的缺失：以上三個(gè)層面中出現(xiàn)的40、20在這里均沒(méi)有出現(xiàn)，它們需要學(xué)生在頭腦中獨(dú)立地建構(gòu)出來(lái)，也即將被除數(shù)46還原為40和6，將商中的2視為20，將減數(shù)4視為40。由于這兩個(gè)重要數(shù)據(jù)的缺失，對(duì)于部分抽象思維能力不足的學(xué)生來(lái)說(shuō)，容易產(chǎn)生困難。第二，豎式計(jì)算將若干運(yùn)算進(jìn)行了合并和簡(jiǎn)化。如圖2、圖3所示，豎式計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)格式即是圖2、圖3兩個(gè)運(yùn)算合并、簡(jiǎn)化后的結(jié)果。這兩個(gè)運(yùn)算合并、簡(jiǎn)化后的壓縮形式不僅隱去了40、20，而且隱去了46=40+6、40÷2=20、40-40=0等運(yùn)算，從而不再如兩個(gè)運(yùn)算分別呈現(xiàn)時(shí)那么清晰、明了。因此，當(dāng)學(xué)生理解上述豎式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，需要在頭腦中還原以上數(shù)量及運(yùn)算，這自然增加了學(xué)生理解豎式計(jì)算的困難。

第三，把豎式計(jì)算的每一步與實(shí)物模型的均分過(guò)程聯(lián)系起來(lái)時(shí)，豎式計(jì)算中的數(shù)字出現(xiàn)了指代繁多和疊加：商中的“2”既代表均分后每一份中有2筒，又代表每一份中小棒總數(shù)量是20根;被減數(shù)4（“46”中的數(shù)字4）既代表最初的4筒，也代表這4筒中的小棒數(shù)量40;減數(shù)“4”既代表除數(shù)2與商2的積，又代表分開(kāi)后的2個(gè)2筒的筒數(shù)之和為4，還代表被分開(kāi)的2個(gè)2筒的小棒總數(shù)40。學(xué)生面對(duì)這么復(fù)雜的指代關(guān)系情境，需要有較高的抽象思維能力，抽象思維能力不足的學(xué)生容易出現(xiàn)若干指代關(guān)系難以建立的問(wèn)題，不能將豎式算式中的某一步與實(shí)物模型均分操作（包括其中的數(shù)量關(guān)系）聯(lián)系起來(lái)，形成了難點(diǎn)。

由以上的分析不難看出，為了解決學(xué)生把豎式計(jì)算的每一步與實(shí)物模型的均分過(guò)程聯(lián)系起來(lái)的困難，豎式計(jì)算的教學(xué)需要還原豎式計(jì)算中上述隱去的數(shù)量、合并的運(yùn)算，充分展開(kāi)豎式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)形式的形成過(guò)程。

為此，不妨作如下教學(xué)改進(jìn)：在完成“小青椒”這一環(huán)節(jié)后，向?qū)W生“介紹一種新的除法表示方式”，將“小青椒”的辦法表示如圖4、圖5：

圖4、圖5的豎式呈現(xiàn)方式將分的步驟和每一次分的結(jié)果、分掉的數(shù)量、余量、所用的除法運(yùn)算都清晰地呈現(xiàn)出來(lái)了，也即直接將除法豎式計(jì)算的算理完整、清晰地表征出來(lái)。另一方面，它們與“小青椒”的方法直接對(duì)應(yīng)，不僅是將“小青椒”的橫式計(jì)算對(duì)應(yīng)地轉(zhuǎn)換成了豎式計(jì)算，也是利用了“小青椒”的解決方法來(lái)理解除法的豎式計(jì)算。

之后，教師可以進(jìn)一步提出：能否將以上兩步豎式計(jì)算寫(xiě)在一個(gè)豎式中？這時(shí)可以讓學(xué)生討論如何辦，然后學(xué)生匯報(bào)或師生交流討論得到如圖6所示豎式（如果學(xué)生有較好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也可以省去前一環(huán)節(jié)，直接呈現(xiàn)圖6的豎式計(jì)算）：

接著，師生進(jìn)一步討論能否簡(jiǎn)化圖6的做法，容易達(dá)成以下共識(shí)：20與3合并成23，40÷2=20、6÷2=3可以省略不寫(xiě)。至此，得到了圖7的豎式。

那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材的豎式計(jì)算中，是否有與以上相同或相似的處理方式呢？事實(shí)上，在四則運(yùn)算的豎式計(jì)算中，“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的豎式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)形式與“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”的豎式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)形式相近、相似。如蘇教版數(shù)學(xué)教材中，“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的豎式計(jì)算呈現(xiàn)如圖8：

可以看出，蘇教版數(shù)學(xué)教材中“兩位數(shù)乘一位數(shù)”豎式計(jì)算（圖8）與“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”豎式計(jì)算（圖7）在呈現(xiàn)上有3個(gè)重要的不同：一是，前者先在左邊展示每一步計(jì)算的過(guò)程和結(jié)果，再在右邊呈現(xiàn)計(jì)算過(guò)程合并、簡(jiǎn)化后的標(biāo)準(zhǔn)形式;二是，前者在左邊將每一步的乘法運(yùn)算對(duì)應(yīng)地以紅字形式寫(xiě)出來(lái);三是，前者十位上的數(shù)字與一位數(shù)的積同時(shí)呈現(xiàn)了完整的形式和簡(jiǎn)寫(xiě)的形式。顯然，在這里，教材具體而完整地為學(xué)生呈現(xiàn)了“兩位數(shù)乘一位數(shù)”豎式計(jì)算的過(guò)程，以及這一豎式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)形式的形成過(guò)程，這對(duì)學(xué)生理解乘法豎式計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)形式及其算理是重要的，也是十分有利的。它符合數(shù)學(xué)知識(shí)由過(guò)程到對(duì)象化的發(fā)生原理[2][3]，以及小學(xué)生的認(rèn)知由具體到抽象、由繁到簡(jiǎn)的發(fā)生原理。

反觀本文提出的“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”豎式計(jì)算教學(xué)改進(jìn)方案，與教材中“兩位數(shù)乘一位數(shù)”豎式計(jì)算的呈現(xiàn)是相似、相通的。特別是，兩類(lèi)運(yùn)算在關(guān)系上的互逆性和豎式計(jì)算結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱(chēng)性，正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)在的整體對(duì)稱(chēng)美。

參考文獻(xiàn)

[1] 孫麗谷，王林.義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)[M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[2] A.Sfard.On the dual nature of mathematical conception，Reflections on processes and objects as deferent sides of the same coin[J].Educational Studies in Mathematics，1991（01）.

[3] 李士.熟能生巧嗎[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996（03）.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]